På grunn av hans akrobatiske redninger og tilbøyelighet til å kle seg i helsvart habitt under kamper, fikk han kallenavnet «den svarte panter». Han spilte hele sin karriere i Dinamo Moskva, der han fikk 326 kamper. Han fikk også med seg fire verdensmesterskap for Sovjetunionen. I 1958, 1962 og 1966 som førstemålvakt, og i 1970 som tredjevalg og «rådgiver».
Nasjonalt vant Jasjin den sovjetiske serien fem ganger i løpet av sin 20-årige karriere. Han fikk også like mange sølvmedaljer, samt én bronsemedalje. Tre ganger var han med på å vinne den sovjetiske cupen. Han ble også cupmester med Dinamo Moskva i ishockey i 1953, og gav nesten opp fotballen til fordel for ishockey. Han tok imidlertid til slutt plassen i Dinamo Moskva tilbake fra Aleksej «Tiger» Khomitsj.
Med landslaget kom høydepunktet i 1960, da han var med å vinne det første Europamesterskapet. Han fikk også sølv i det neste Europamesterskapet, i 1964. I VM var fjerdeplassen i 1966 lagets beste prestasjon. Det kan også nevnes at Jasjin i 1956 var med å vinne OL. Jasjin skal ha reddet i overkant av 150 straffespark i løpet av sin karriere. Jasjin er forøvrig også eneste målvakt som har vunnet Gullballen.
