Wikisida: Én sideversjon ble importert

2026-02-11T16:16:25Z

Én sideversjon ble importert

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. feb. 2026 kl. 16:16
(Ingen forskjell)

nb>4ingBot: autoritetsdata mm. using AWB

2021-09-05T19:43:50Z

autoritetsdata mm. using AWB

Ny side

Et '''maksimum''' eller en '''maksimumsverdi''' er i [[matematikk]] et største element i en [[mengde]]. Tilsvarende er et '''minimum''' eller en '''minimumsverdi''' et minste element.
For en [[funksjon (matematikk)|funksjon]] er en maksimumsverdi den største verdien funksonen tar globalt eller lokalt.<ref name=COLLINS>{{Kilde bok| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein| utgivelsesår=1989| tittel=Dictionary of mathematics| utgivelsessted=Glasgow| forlag=Collins| side=368| isbn=0-00-434347-6}}</ref>

En samlebetegnelse for maksimums- og minimumsverdier er '''ekstrema''' (flertall av '''ekstremum''') eller '''ekstremalverdier''' (ikke til å forveksle med ''[[ekstremverdi]]er'').

For en mengde <math>S</math> er en vanlig notasjon for maksimum og minimum <math>\max S</math> og <math>\min S</math>, og for en funksjon <math>f = f(x)</math> kan en tilsvarende skrive
<math>\max f</math> og <math>\min f</math>.

Karakterisering av ekstremalverdier er ofte viktig i analyse av både mengder og funksjoner, for eksempel i [[funksjonsdrøfting]].
I [[optimering]] er et viktig mål å lokalisere globale ekstremalverdier.

==Maksimum og minimum i en mengde==

I enkle tallmengder, som

:<math>S_1 = \{1,2,3,4,5\} \qquad \qquad S_2 = [3,7] </math>

kan en ha en intuitiv forståelse av hva som er det minste og det største elementet. Mer formelt er i [[mengdelære]] en [[Total orden|totalt ordnet mengde]] en mengde der det gitt en [[binær relasjon]] som definerer
rekkefølgen til samtlige element i mengden. En slik relasjon kan skrives som <math>\le</math>, og relasonen skal oppfylle tre [[aksiom]]er:<ref name=RDM9>[[#RDM|R.D. Milne: ''Applied functional analysis, ...'']] s.9f</ref>

# Relasjonen er ''antisymmetrisk'' : Hvis <math>a \le b</math> og <math>b \le a</math>, så er <math>a = b</math>.
# Relasjonen er ''transitiv'': Hvis <math>a\le b</math> og <math>b \le c</math>, så er <math>a \le c</math>.
# Relasjonen er ''total'', slik at for to elementer <math>a</math> og <math>b</math>, så er enten <math>a \le b</math> eller <math>b \le a</math>.

Med grunnlag i en slik [[ulikhet (matematikk)|ulikhetsrelasjon]] kan en definere et største element i en mengde som

:<math>\max S = x_0 \in S \ : \ (\ \forall x \in S\ )(\ x \le x_0\ ) </math>,

forutsatt at et slikt element eksisterer. En minimumsverdi defineres tilsvarende.

En gitt ordnet mengde kan ha ekstremalverdier, men det trenger ikke være tilfelle. To eksempler på mengder som ''ikke'' har ekstremalverdier
er det [[intervall|åpne intervallet]] <math>(a,b)</math> og mengden av [[reelt tall|reelle tall]] <math>{\mathbb R}</math>.

Hvis <math>S</math> er en [[delmengde]] av en større mengde <math>A</math>, så vil maksimum til <math>S</math> eksistere kun dersom <math>S</math> har en [[skranke (matematikk)|øvre skranke]] i <math>A</math>.
Hvis maksimum eksisterer, så vil [[skranke (matematikk)#Infimum og supremum|supremum]] og maksimum til <math>S</math> være like.

==Maksimum og minimum til en funksjon ==

=== Grunnleggende begrep ===

[[Fil:Extrema example no.png|thumb|Ekstremalverdier for funksjonen <math>f(x) = cos(3\pi x)/x</math>, definert i <math>[0.1,1.1]</math>.]]
En reell funksjon <math>f = f(x): D \to \mathbb{R}</math> av en eller flere variable kan ha flere ekstremalverdier. Et argument <math>x</math> der funksjonen har en ekstremalverdi kalles et ''ekstremalpunkt'',
henholdsvis et ''maksimumspunkt'' eller et ''minimumspunkt''.

De ''globale'' eller ''absolutte'' ekstremalverdiene til funksjonen er lik ekstremalverdiene til [[funksjon (matematikk)#Formell definisjon|verdimengden]] til funksjonen, forutsatt at disse finnes.
Dette vil være minste og største verdi som funksjonen har, for alle argument i definisjonsmengden. For den globale maksimalverdien gjelder at

:<math>\max f = f(x_0) \ \text{for} \ x_0 \in D \quad \text{hvis} \quad (\ \forall x \in D\ )(\ f(x) \le f(x_0) \ )</math>.

Den globale minimumsverdien defineres tilsvarende. En global ekstremalverdi kan svare til flere ekstremalpunkter.

En funksjon kan også ha en ''lokal'' (eller ''relativ'') ekstremalverdi for et punkt <math>x = x_0 \in D</math>, dersom definisjonmengden <math>D</math> er et [[metrisk rom]]. I et slikt rom kan en definere en [[omegn (matematikk)|omegn]]
<math>I</math> om punktet <math>x_0</math>. Funksjonen har et lokalt ekstremalpunkt i <math>x_0</math> dersom dette er et globalt ekstremalpunkt
når funksjonen begrenses til å være definert i <math>(D \cap I)</math>. Ofte utelates ordet «lokal», for eksempel i en setning som «funksjonen har en maksimumsverdi for <math>x=3</math>»,
og det er da underforstått at maksimumsverdien er lokal.<ref name=TL245>[[#TL|T. Lindstrøm: ''Kalkulus'']] s.245ff</ref> Et globalt maksimumspunkt er også et lokalt maksimumspunkt.

En lokalt eller globalt maksimumsverdi er en ''strikt'' eller ''streng'' maksimumsverdi, dersom relasjonen <math>\le</math> i definisjonen kan erstattes med streng ulikhet <math><</math>.

Uformelt svarer enhver lokal topp i [[graf]]en til en [[kontinuerlig funksjon]] til en lokal maksimumsverdi.

=== Ekstremalpunkt for en reell funksjon av én variabel ===

En reell funksjon av én reell variabel er en funksjon <math>f = f(x): D \to \mathbb{R}</math> der <math>D \cap \mathbb{R}</math>. Et ekstremalpunkt for en slik funksjon vil alltid være et [[kritisk punkt (matematikk)|kritisk punkt]],
det vil si et punkt <math>x = x_0</math> av en av de tre følgende typene:<ref name=TL245/>

* Et punkt der funksjonen er deriverbar, og <math>f'(x_0) = 0</math>. Slike punkt kalles [[stasjonært punkt|stasjonære punkt]].
* Et punkt der funksjonen ikke er deriverbar.
* Et endepunkt i et intervall som inngår i definisjonsmengden <math>D</math>.

For et punkt der funksjonen er deriverbar, er det altså et ''nødvendig'' vilkår for å ha et ekstremalpunkt at den deriverte av funksjonen er lik null.

For et punkt <math>x = x_0</math> der en funksjon er deriverbar vil hver av de to følgende testene gi ''tilstrekkelige'' vilkår for at punktet er et maksimumspunkt:<ref name=TL245/>

* <math>x=x_0</math> er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom <math>f'(x_0) = 0</math> og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ når <math>x</math> vokser gjennom <math>x_0</math>.
* <math>x=x_0</math> er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom <math>f'(x_0) = 0</math> og <math>f''(x_0) < 0 </math>.

Tilsvarende har en for et minimumspunkt:

* <math>x=x_0</math> er et lokalt strengt minimumspunkt dersom <math>f'(x_0) = 0</math> og den deriverte skifter fortegn fra negativ til positiv når <math>x</math> vokser gjennom <math>x_0</math>.
* <math>x=x_0</math> er et lokalt strengt minimumspunkt dersom <math>f'(x_0) = 0</math> og <math>f''(x_0) > 0 </math>.

=== Ekstremalverdisetningen ===

[[Ekstremalverdisetningen]] sier at dersom en reell funksjon er kontinuerlig på et lukket intervall <math>[a, b]</math>, må <math>f</math> ha både en maksimums- og en minimumsverdi minst én gang på dette intervallet.
Det vil si at det finnes tall <math>c</math> og <math>d</math> i [''a'', ''b''] slik at<ref name=RUDIN>{{Kilde bok| forfatter=W. Rudin| utgivelsesår=1976| tittel=Principles of Mathematical Analysis| utgivelsessted=Auckland| forlag=McGraw-Hill Book Company| side=89f| isbn=0-07-085613-3 }}</ref>

:<math>f(c) \le f(x) \le f(d)\quad \text{for alle }x \in [a,b].</math>

=== Ekstremalpunkt for et skalarfelt ===

[[Fil:Extrema6.gif|thumb|Maksimumspunktet til en funksjon av to variable. Dette er både et lokalt og et globalt maksimumspunkt.]]
Et [[skalarfelt]] er en reell funksjon av flere variable, på formen

:<math>y = f(x): D \rightarrow \mathbb{R} \qquad D \subset \mathbb{R}^n </math>.

Argumentet <math>x = (x_1, x_2, x_3, ...,x_n)</math> er her en ''n''-dimensjonal [[vektor]].

Dersom et skalarfelt har [[partiell derivasjon|partiell deriverte]] av første og andre orden, så er de to følgende vilkårene til sammen tilstrekkelig for at funksjonen skal ha en lokalt
ekstremalverdi:<ref name=APOSTOL310>[[#APOSTOL|T.M. Apostol: ''Calculus '', Bind II]] s.310ff</ref>

* [[Gradient]]en til funksjonen er lik null. Punkt der dette er oppfylt kalles ''stasjonære punkt''.
* [[Egenvektor|Egenverdiene]] til [[hessematrisen]] er alle positive, for en minimumsverdi, eller alle negative, for en maksimumsverdi.

Dersom hessematrisen har noen positive og noen negative egenverdier i et stasjonært punkt, så er dette et [[sadelpunkt]].

=== Ekstremalpunkt for en funksjonal ===

En [[funksjonal]] er en funksjon fra et [[vektorrom]] <math>V</math> inn i mengden av [[skalar]]er, vanligvis mengden av reelle tall:

:<math>y = f(x): V \rightarrow \mathbb{R} </math>.

Vektorrommet <math>V</math> kan for eksempel være mengden av kontinuerlige funksjoner på et gitt intervall. Ekstremalverdiproblemer for funksjonaler studeres i [[variasjonsregning]] og i [[funksjonalanalyse]].

Et nødvendig vilkår for at en funksjonal som er [[Gateaux-derivasjon|Gateaux-deriverbar]] skal ha en ekstremalverdi, er at Gateaux-deriverte i alle retninger er lik null.<ref name=RDM301>[[#RDM|R.D. Milne: ''Applied functional analysis, ...'']] s.301ff</ref>

=== Matematisk optimering ===

En type problemstilling i matematisk optimering er å finne ekstremalpunkt for en funksjonal, gitt et sett av sidevilkår på de uavhengige variable. Dersom sidevilkårene er gitt i form av
[[Likhetstegn|likheter]], så gir bruk av [[Lagrange-multiplikator]]er en metode for å løse problemet.<ref name=RDM311>[[#RDM|R.D. Milne: ''Applied functional analysis, ...'']] s.311ff</ref>
Et klassisk problem er å finne en funksjon <math>x = x(t)</math>, slik at kurven til funksjonen har en fast lengde <math>L</math>, faste endepunkt og samtidig avgrenser
et maksimalt areal <math>A</math>. En matematisk formulering kan være å finne <math>x(t)</math> som gir <math>\max A(x)</math>, når

:<math>
\begin{alignat}{2}
&A(x) = \int_0^1 x(t) dt \\
&x(0) = x(1) = 0 \\
&\int_0^1 \sqrt{1 + (x')^2}dt = L
\end{alignat}
</math>

== Referanser ==
<references/>

== Litteratur ==

*{{kilde bok
| ref =TL
| forfatter=Tom Lindstrøm
| utgivelsesår=1995
| tittel=Kalkulus
| forlag=Universitetsforlaget
| utgivelsessted=Oslo
| isbn=82-00-22472-4
| url= http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2008022700035}}
*{{Kilde bok
| forfatter=Tom M. Apostol
| utgivelsesår=1969
| tittel=Calculus
| bind=II
| utgivelsessted=New York
| forlag=John Wiley & Sons
| isbn=0-471-00008-6}}
*{{Kilde bok
| forfatter= Ronald Douglas Milne
| ref=RDM
| utgivelsesår=1980
| tittel=Applied functional analysis, an introductory treatment
| utgivelsessted= London
| forlag= Pitman Publishing Limited
| isbn=0-273-08404-6 }}

==Eksterne lenker==
*{{MathWorld|urlname=topics/MaximaandMinima|title=Maxima and Minima}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematisk analyse]]
[[Kategori:Mengdelære]]
[[Kategori:Matematisk optimalisering]]
[[Kategori:Differensialregning]]

Maksimum og minimum - Sideversjonshistorikk

Wikisida: Én sideversjon ble importert

nb>4ingBot: autoritetsdata mm. using AWB