nb>Phidus: /* Triangulær potensialbarriere */Lagt til seksjon om Kleins paradoks

2026-01-11T13:44:19Z

Triangulær potensialbarriere: Lagt til seksjon om Kleins paradoks

Ny side

[[Fil: QuantumTunnel.jpg|thumb|300px|Når partikkelen ikke har nok energi til å gå over potensialbarrieren, tillater [[kvantemekanikk]]en at den kan tunnelere gjennom.]]

'''Tunnelering''' er et [[kvantemekanikk|kvantemekanisk]] fenomen som medfører at partikler synes å trenge gjennom barrierer som er
[[klassisk fysikk|klassisk]] ugjennomtrengelige. Det skyldes at en kvantemekanisk partikkel beskrives ved en kontinuerlig [[bølgefunksjon]] som kan gi en viss sannsynlighet for å finne den i klassisk forbudte områder. Alternativt kan fenomenet forklares ved [[Heisenbergs uskarphetsrelasjon]].

Selv om kvantetunnelering ikke kan gis én enkel, intuitiv forklaring, kan effekten beregnes på en éntydig måte. Den har mange direkte konsekvenser med praktiske anvendelser samtidig som den opptrer indirekte i mange andre sammenhenger av kvantemekanisk natur. Dens betydning ble først innsett i 1928 i forbindelse med [[radioaktivitet]] som skyldes [[alfahenfall]]. Omtrent samtidig ga den en forklaring av [[Feltemisjon|emisjon]] av [[elektron]]er fra metaller når de utsettes for tilstrekkelig sterke, [[Elektrisk felt|elektriske felt]]. Akkurat denne prosessen benyttes i dag ved utviklingen av [[Transistor#Transistortyper|felteffekttransistorer]] og [[Fastminne|flashminnebrikker]] i moderne elektronikk.

Et sentralt spørsmål i fysikken har i lengre tid vært å finne et skille mellom den mikroskopiske verden hvor [[kvantemekanikk]]en gjelder, og den makroskopiske verden hvor [[klassisk mekanikk]] gjelder. Det betyr i denne sammenhengen å undersøke hvor stor kan en partikkel være for å kunne bevege seg ved tunnelering. [[Nobelprisen i fysikk]] for 2025 ble gitt til [[Liste over nobelprisvinnere i fysikk|tre eksperimentalfysikere]] som har vist at et makroskopisk stort antall med [[Superleder|superledende]] elektroner er i stand til å tunnelere samtidig gjennom et forbudt område i en [[Josephson-effekt|Josephson-kontakt]]. Akkurat dette fenomenet kan ligge til grunn for fremtidens [[kvantedatamaskin]]er.

==Generell bakgrunn==

En partikkel med masse ''m '' som beveger seg langs ''x''-aksen med en hastighet ''v'', har en [[kinetisk energi]] ''T'' = (1/2)''mv'' 2 når man kan se bort fra [[Relativitetsteori|relativistiske]] effekter. Den er derfor alltid positiv. Hvis partikkelen samtidig er påvirket av en kraft som gir den en [[potensiell energi]] ''V''(''x''), vil dens hastighet generelt variere med posisjonen. Men da dens totale energi

: <math> E = {1\over 2}mv^2 + V(x) </math>

er bevart under bevegelsen, kan den beregnes når totalenergien er kjent. Men det er bare mulig i posisjoner som oppfyller {{nowrap|''E'' ≥ ''V''(''x'')}}. Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, vil den kinetiske energien bli negativ, og partikkelen vil ha en [[Imaginært tall|imaginær]] hastighet. Det er ikke mulig i [[klassisk mekanikk]]. Et slikt område langs ''x''-aksen ville i så fall utgjøre en «potensialbarriere» hvor partikkelen ikke kan befinne seg.<ref name = mech> M.W. McCall, ''Classical Mechanics: A Modern Introduction'', John Wiley & Sons, New York (2001). ISBN 0-471-49714-2.</ref>

===Potensialstepp===
[[Fil:Potencialovy skok.svg|thumb|300px|Potensialstepp langs ''x''-aksen med høyde ''V''0.]]

I det enkleste tilfelle kan man tenke seg at potensialet ''V '' er null til venstre for origo og har en konstant verdi ''V''0 til høyre for dette. Det utgjør dermed et [[Schrödinger-ligning#Potensialstepp|potensialstepp]] med den matematiske formen

: <math>V(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ V_0, & x \ge 0 \end{cases}</math>

Hvis nå en klassisk partikkel har totalenergien ''E'', vil den derfor ha en [[Bevegelsesmengde|impuls]] {{nowrap|''p'' {{=}} ''mv ''}} som er √(2''mE'') for negative ''x'' når den beveger seg mot høyre i dette området. Under forutsetning av at {{nowrap|''E'' > ''V''0}} vil den så fortsette mot høyre når den kommer inn i potensialet. Men her er hastigheten mindre da den tilsvarerende impulsen er

: <math> p' = \sqrt{2m(E - V_0)} </math>

Denne er blitt redusert av kraften som virker på partikkelen i punktet ''x'' = 0. Når {{nowrap|''E'' ≤ ''V''0,}} er denne blitt så stor at partikkelen stoppes i dette punktet og blir slått tilbake slik at den beveger seg i negativ retning til venstre for origo. Ingen partikler klarer i dette tilfellet å trenge inn i potensialbarrieren.<ref name = mech/>

===Bølgemekanikk===

For en kvantemekanisk beskrivelse av den samme bevegelsen kan man benytte [[Schrödinger-ligning]]en. I dette tilfellet tar den formen

: <math> \left[ -{\hbar^2\over 2m}{d^2\over dx^2} + V(x) \right] \psi(x) = E\psi(x) </math>

hvor {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''π ''}} er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Denne kan nå løses eksakt i hvert område hvor potensialet ''V''(''x'') er konstant.<ref name = Griffiths>D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.</ref>

Til venstre for origo er den [[Komplekst tall|komplekse]] [[bølgefunksjon]]en en [[Schrödinger-ligning#Potensialstepp|superposisjon]] av to termer

: <math> \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} </math>

Den første beskriver den innkommende partikkelen som beveger seg mot høyre med [[Bølge#Plane bølger|bølgetallet]] ''k''. Dette er relatert til impulsen ved {{nowrap|''p'' {{=}} ''ħk'' }} som har den klassiske verdien {{nowrap|''p'' {{=}} √(2''mE'').}} [[Amplitude]]n ''A '' bestemmer intensiteten til disse partiklene. På tilsvarende måte beskriver det andre leddet partikler som beveger seg mot venstre med samme impuls i dette området. De er nå reflektert fra potensialsteppet med amplitude ''B '' og er en direkte, kvantemekanisk effekt. Den skyldes at på høyre side av steppet må det bare finnes partikler som beveger seg mot høyre. Derfor må de ha et positivt bølgetall med størrelse

: <math> k' = {1\over\hbar}\sqrt{2m(E - V_0)} </math>

som igjen følger fra Schrödinger-ligningen. Da bølgefunksjonen generelt må være glatt og kontinuerlig overalt, medfører dette kravet i punktet {{nowrap|''x'' {{=}} 0}} at det må eksistere en reflektert bølge for {{nowrap|''x'' ≤ 0}}. På denne måten kan man nå beregne sannsynligheten for at en innkommende partikkel skal fortsette videre mot høyre eller bli reflektert tilbake mot venstre.<ref name = Griffiths/>

===Inntrengning og tunnelering===

For det viktige tilfellet at {{nowrap|''E'' ≤ ''V''0,}} har Schrödinger-ligningen fremdeles en løsning i det klassisk forbudte området. Den er da på formen

: <math> \psi(x) = Ce^{-\kappa x} </math>

hvor nå

: <math> \kappa = {1\over\hbar}\sqrt{2m(V_0 - E)} </math>

Det eksisterer derfor en endelig sannsynlighet for å finne partikkelen til høyre for steppet, men denne avtar eksponensielt med avstanden til origo. Man sier derfor at den kan kvantemekanisk «trenge inn» i det forbudte området. Likevel kan ikke dette tas for bokstavelig da bølgefunksjonen i dette området er [[Reelt tall|reel]] slik at den tilsvarende [[Schrödinger-ligning#Sannsynlighetsstrøm|sannsynlighetsstrømmen]] er null. Så derfor kan ikke partikkelen sies å bevege seg her selv om den har en endelig sannsynlighet for å befinne seg der.<ref name = Ball > P. Ball, ''Beyond Weird'', The Bodley Head, London (2018). ISBN 978-1-847-92457-5.</ref>

[[Fil: TunnelEffektKling1.svg|thumb|360px|Skjematisk fremstilling av bølgefunksjonen til en partikkel som tunnelerer gjennom et endelig potensialstepp.]]
Sannsynlighetsamplituden for å trenge inn er gitt ved forholdet ''C'' /''A ''. Utregnet blir det

: <math> {C\over A} = {2k\over k + i\kappa} </math>

slik at sannsynligheten for at dette skal skje, er

: <math> T = \left|{C\over A} \right|^2 = {4k^2\over k^2 + \kappa^2} </math>

Samme beregning gir også amplituden for å bli reflektert,

: <math> {B\over A} = {k - i\kappa\over k + i\kappa} </math>

Brøkdelen av antall partikler som møter potensialsteppet og blir støtt tilbake, er nå gitt ved refleksjonskoeffisienten ''R'' = |''B'' /''A ''|2 = 1. Alle blir derfor reflektert. Ingen partikler klarer å fortsette sin ferd videre inn i det forbudte område selv om de trenger et lite stykke inn.<ref name = Schwabl> F. Schwabl, ''Quantum Mechanics'', Springer-Verlag, Berlin (1990). ISBN 3-540-54217-5. </ref>

Derimot kan en inntrengende partikkel komme ut som en fri partikkel på høyre side hvis potensialsteppet har en endelig lengde ''L''. Da blir bølgefunksjonen i det forbudte området redusert med en faktor ''e''-''κL'' som nå er en endelig størrelse. Denne resten av bølgefunksjonen kan så fortsette som en plan bølge for en fri partikkel som beveger seg mot høyre. Brøkdelen som reflekteres vil i dette tilfellet være ''R'' < 1. De resterende partiklene sies å ha «tunnelert» gjennom den endelige potensialbarrieren.

==Kvantemekanisk usikkerhet==

Når partikkelen kvantemekanisk ser ut til å kunne trenge gjennom en potensialbarriere, ser det formelt ut til at den da må ha imaginær hastighet eller impuls i dette forbudte området. Det er vanskelig å skjønne hvordan dette fenomenet skal forstås. En mulig forklaring kan man finne i [[Heisenbergs uskarphetsrelasjon|Heisenbergs usikkerhetsrelasjon]]

: <math> \Delta x \Delta p \ge {\hbar\over 2} </math>

for bevegelse langs ''x''-aksen. Hvis barrieren har en utstrekning av størrelsesorden ''L'', vil derfor partikkelens impuls ha en usikkerhet {{nowrap|Δ''p'' ≥ ''ħ ''/''L''}} i impulsen. Det følger fra sannsynligheten for å befinne seg i det forbudte området som har en endelig verdi når {{nowrap|''κL'' ≤ 1}}, det vil si for

: <math> L\sqrt{2m(V_0 - E)} \le \hbar </math>

Dermed vil det eksistere en usikkerhet i den kinetiske energien

: <math> {(\Delta p)^2\over 2m} \ge {{\hbar^2\over 4mL^2}} \ge V_0 - E </math>

som er stor nok til å føre partikkelen over barrieren. Desto mindre massen til partikkelen er, desto større er denne effekten.<ref name = LL> L.D. Landau and E.M. Lifshitz, ''Quantum Mechanics'', Pergamon Press, Oxford (1964). </ref>

===Tunneleringstid===

Ord som ''inntrengning'' og ''tunnelering'' forbindes lett med egenskaper til en klassisk partikkel uten utstrekning. Ved bruk av slike begrep er det naturlig å spørre seg hvor lang tid det tar for en partikkel å bevege seg gjennom det forbudte området. Men den kvantemekaniske beskrivelsen gjør bruk av bølger som her gir ingen lokalisasjon av partikkelen. Derfor er det ikke overraskende at det har vist seg vanskelig å definere en slik tunneleringstid på en éntydig måte. Heller ikke eksperimentelle undersøkelser har klart å påvise en slik tid. Den kan uansett være avhengig av hvordan eksperimentet utføres.<ref name = EHH> E. Hiis Hauge and J. A. Støvneng, ''Tunneling times: a critical review'', Rev. Mod. Phys. '''61''' (4), 917–936 (1989). [https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.61.917 Online]. </ref>

En nedre grense for en slik tunneleringstid Δ''t '' er forbundet med usikkerheten {{nowrap|Δ''E '' {{=}} (Δ''p'')2/2''m ''}} i det forbudte området gjennom Heisenbergs andre usikkerhetsrelasjon,

: <math> \Delta E \Delta t \ge {\hbar\over 2} </math>

Uavhengig av hvordan tunneleringstiden er definert, må denne betingelsen være oppfylt.

==Rektangulær potensialbarriere==
[[Fil: Kastenpotential.svg|thumb|360px|Firkantet potensialbarriere med høyde ''V''0  og lengde ''L'' = 2''a''.]]

Sannsynligheten for å tunnelere gjennom et forbudt område kan bare beregnes eksakt for noen få spesialtilfeller. Ett av dem er et endelig potensialstepp med høyde ''V''0  og utstrekning {{nowrap|''L'' {{=}} 2''a'' }} slik at potensialet ''V''(''x'') er null for ''x'' < -''a '' og ''x'' > ''a''. Med en innkommende bølge fra venstre, vil da den totale bølgefunksjonen for ''x'' < -''a '' være

: <math> \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} </math>

hvor bølgetallet ''k '' avhenger av energien ''E '' på samme måte som for et uendelig langt stepp. På samme måte må bølgefunksjonen i det forbudte området ha formen

: <math> \psi(x) = C e^{\kappa x} + D e^{-\kappa x} </math>

når {{nowrap|''E'' ≤ ''V''0}} slik at også ''κ '' har samme verdi som tidligere. Til høyre for barrieren der {{nowrap|''x'' > ''a'',}} vil det nå bare eksistere en utgående bølge {{nowrap|''ψ''(''x '') {{=}} ''F'' ''e''''ikx'' }} hvor amplituden ''F '' vil gi sannsynligheten for at partikkelen tunnelerer gjennom barrieren.<ref name = Griffiths/>

De ukjente amplitudene ''B'', ''C'', ''D '' og ''F '' kan beregnes i forhold til den innkommende amplituden ''A '' ved å benytte kravet om at bølgefunksjonen overalt må være kontinuerlig og glatt, også i punktene ''x'' = ± ''a''. Sannsynlighetsamplituden for tunnelering finnes da som

: <math> {F\over A} = {2\kappa k\, e^{-ikL}\over 2\kappa k \cosh\kappa L + i(\kappa^2 - k^2) \sinh\kappa L} </math>

hvor igjen {{nowrap|''L'' {{=}} 2''a'' .}} Dermed kan selve sannsynligheten for at dette skal skje, skrives som

: <math> P = \left|{F\over A}\right|^2 = {(2\kappa k)^2\over (2\kappa k)^2 + (\kappa^2 + k^2)^2\sinh^2\kappa L}</math>

Dette resultatet gir den eksakte verdien avhengig av potensialbarrierens lengde og høyde samt partikkelens energi og har hovedsaklig mest teoretisk interesse.<ref name = Merzbacher> E. Merzbacher, ''Quantum Mechanics'', John Wiley & Sons, New York (1961). </ref>

===Generalisering===
For de fleste praktiske anvendelser er denne sannsynligheten et lite tall ''P'' << 1 som skyldes at argumentet i nevneren ''κL'' >> 1. Da forenkles resultatet til

: <math> P = \Big({4\kappa k\over \kappa^2 + k^2}\Big)^2 e^{-2\kappa L} </math>

hvor den [[Eksponensialfunksjon|eksponensielle]] faktoren er den dominerende og bestemmer størrelsen til tunneleringssannsynligheten. Derimot er prefaktoren uavhengig av lengden ''L '' og involverer kun sannsynlighetene for å trenge inn i barrieren og kom ut av denne igjen. Denne avhenger bare av partikkelenergien ''E '' og potensialhøyden ''V''0 . Man kan derfor benytte approksimasjonen

: <math> P \simeq e^{-2\kappa L} </math>

som gir god nok nøyaktighet i de fleste tilfeller der ''P'' << 1.

Denne kompakte formelen tillater nå en generalisering til en vilkårlig potensialbarriere ''V''(''x'') i intervallet - ''a'' < ''x'' < ''a''. Man kan nå delle dette opp i et stort antall mindre, rektangulære barrierer med samme bredde Δ''x '' og variable høyder {{nowrap|''Vi'' {{=}} ''V''(''xi '')}}. Sannsynligheten for å trenge gjennom en slik smal barriere er nå {{nowrap|''Pi'' {{=}} ''e'' -2''κi ''Δ''x''}}. Den totale sannsynlighet for å trenge gjennom hele barrieren blir dermed

: <math>\begin{align} P &\simeq \prod_i P_i = e^{ -2\sum_i \kappa_i \Delta x} \\ &= \exp\Big(-{2\over\hbar}\!\int_{-a}^a\!dx\sqrt{2m(V(x) - E)}\Big) \end{align} </math>

i grensen der Δ''x '' → 0. Dette er i overensstemmelse med den mer systematiske utledningen basert på [[WKB-approksimasjon]]en. Det er også på denne formen at tunneleringssannsynlighten blir vanligvis beregnet for vilkårlige potensialbarrierer.<ref name = Merzbacher/>

==Triangulær potensialbarriere==

[[Fil: Tunnel-3.jpg|thumb|300px|Tunnelering gjennom en triangulær barriere.]]

En typisk anvendelse av WKB-approksimasjonen til sannsynligheten for kvantetunnelering, er når denne skjer gjennom en lineært avtagende potensialbarriere

: <math> V(x) = \begin{cases} 0 ,\quad x < 0, \\ a - bx, \quad x \ge 0 \end{cases} </math>

Resultatet er da avhengig av integralet gjennom det forbudte området som strekker seg fra hvor partikkelen trenger inn i dette ved {{nowrap|''x'' {{=}} 0}} til den slipper ut igjen ved ''x''1. Da blir

: <math> \int_0^{x_1}\! dx\sqrt{2m(V(x) - E)} = \int_0^{x_1}\! dx\sqrt{A - Bx}</math>

hvor ''A'' = 2''m''(''a'' - ''E '') og ''B'' = 2''mb'' slik at man har ''x''1 = ''A'' /''B''.
Ved her å innføre den nye variable {{nowrap|''y'' {{=}} ''A'' - ''Bx''}}, forenkles integralet til

: <math> {1\over B} \int_0^A dy\, y^{1/2} = {2A^{3/2}\over 3B} </math>

Sannsynligheten for å trenge gjennom denne triangulære barrieren blir dermed

: <math> P(E) = \exp\Big[ - \sqrt{{2m\over \hbar^2}} {4(a - E)^{3/2}\over 3b} \Big] </math>

og viser hvordan den varierer med partikkelens energi ''E '' i eksponenten.<ref name = Schwabl/>

Dette resultatet ble benyttet første gang i 1928 av [[Ralph Fowler]] og [[Lothar Nordheim]] til å forklare [[Feltemisjon|emisjon]] av elektroner fra metaller når de blir utsatt for sterke, [[elektrisk felt|elektriske felt]]. Siden den gang har kvantetunnelring forblitt et av de mest markante brudd med klassisk fysikk og i tillegg fått stor, praktisk bruk i mange forskjellige sammenhenger.

==Kleins paradoks==
[[Fil: Relativistic particle tunnelling.jpg|thumb|400px|Ved tunnelering gjennom det klassisk forbudte området (gult) opptrer en partikkel til venstre og en antipartikkel til høyre.]]

Fowler og Nordheims forklaring av [[feltemisjon]] av elektroner i sterke, elektriske felt, er basert på eksistensen av elektroner som alltid finnes inni metaller. og som dermed kan frigjøres ved tunnelering. En lignende mekanisme ligger til grunn for løsningen av [[Kleins paradoks]] som skyldes frigjøring av [[Spesiell relativitetsteori|relativistiske]] elektroner ved enda kraftigere felt når det virker på det tomme rom, det vil si fra et [[vakuum]].<ref name = Yndurain> F.J. Ynduráin, ''Relativistic Quantum Mechanics and Introduction to Field Theory'', Springer-Verlag, Berlin (1996). ISBN 978-3-540-60453-2. </ref>

Relativistiske partikler kan formelt ha både positive og negative energier. Mens de med postiv energi tilsvarer partikler man beskriver i ikke-relativistisk fysikk, vil de med negativ energi opptre som [[Antipartikkel|antipartikler]].Tilsammen må begge typer beskrives ved bruk av [[kvantefeltteori]]. Dette ble først klarlagt ved etableringen av [[Dirac-ligning]]en for relativistiske elektroner. Løsninger med negativ energi gir der opphav til ''hull'' i et vakuum da de tilsvarer fraværet av en partikkel med positiv energi. For at et slikt [[Dirac-ligning#Diracs partikkelsjø|hull]] skal kunne opptre som en antipartikkel, må det trenge gjennom en klassisk forbudt energiebarriere med størrelse 2''mc''2 der ''m '' er massen til partikkelen og ''c '' er [[lyshastighet]]en. Det er mulig når man utsetter dette vakuumet for et tilstrekkelig sterkt, elektrisk felt. Kleins paradoks er derfor løst når man tar hensyn til at denne form for [[pardannelse]] vil opptre under slike forhold.<ref name = HR> A, Hansen and F. Ravndal, ''Klein’s Paradox and Its Resolution'', Physica Scripta '''23''', 1036-1042 (1981). [http://images.shoutwiki.com/gamebm/4/46/Alex_Hansen_1981_Phys._Scr._23_002.pdf Online]. </ref>

==Senere anvendelser==

Kort tid etter beregningen til Fowler og Nordheim, benyttet [[George Gamow]] samme beskrivelse til å forklare [[alfahenfall]] av [[Radioaktivitet|radioaktive ]][[atomkjerne]]r. Istedenfor en triangulær potensialbarriere involverer integralet i tunneleringssannsynligheten da [[Coulombs lov#Coulomb-potensialet|Coulomb-potensialet]] som har en lignende form. Omtrent samtidig kom [[Edward Condon]] og [[Ronald Gurney]] frem til samme resultat. Dette var første gang at kvantemekanikk ble benyttet inne i atomkjernen da tidligere anvendelser angikk atomer og molekyler som er mer enn tusen ganger større.<ref name = Gasiorowicz>S. Gasiorowicz, ''The Structure of Matter'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1979). ISBN 0-201-02511-6.</ref>

Det teoretiske grunnlaget for [[maser]]e ble lagt allerede i 1932 av [[George Uhlenbeck]] da han viste at grunntilstanden til ammoniakkmolekylet NH3 er splittet i to nærliggende tilstander med samme energi. Det skyldes at [[nitrogen|N-atomet]] kan ligge over eller under planet som de tre [[hydrogen|H-atomene]] danner. Da det ved kvantetunnelering kan trenge gjennom dette planet, vil de to tilstandene bli koblet sammen og splittes opp i to nye tilstander med en liten energiforskjell. Denne bestemmer så frekvensen til den tilsvarende [[mikrobølge]]stråling som kan utsendes eller absorberes.<ref name = RPF> R.P. Feynman, ''The Ammonia Maser'', Feynman Lectures on Physics, [[Caltech]] (1964). [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_09.html Online].</ref>

Nye anvendelser ble oppdaget etter at [[halvleder]]e ble tatt i bruk i moderne [[elektronikk]]. [[Leo Esaki]] i 1957 viste at tunnelering av elektroner kunne finne sted gjennom et tynt [[oksid]]lag mellom en P- og en N-dopet halvleder. Snart ble denne innretningen masseprodusert som en [[diode|tunneldiode]] med mange nyttige egenskaper. Denne oppdagelsen inspirerte [[Ivar Giæver]] til å undersøke tilsvarende kvantetunnelering mellom [[superleder]]e, noe som han eksperimentelt påviste i 1960. Dette fenomenet ledet så [[Brian Josephson]] et par år senere til å vise at til og med [[BCS-teori|Cooper-par]] av elektroner vil kunne tunnelere i et slik sammenheng.<ref name = Ivar> I. Giæver, [https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/giaever-lecture.pdf ''Electron Tunneling and Superconductivity''], Nobel Prize talk, Stockholm (1973).</ref> Også denne teoretiske forutsigelsen ble raskt eksperimentelt verifisert og danner nå grunnlaget for [[Josephson-effekt]]en. Den spiller i dag en viktig rolle i utviklingen av moderne [[kvantedatamaskin]]er.<ref name = Galileo> D.D. Nolte, [https://galileo-unbound.blog/2022/11/06/a-short-history-of-quantum-tunneling/ ''A Short History of Quantum Tunneling''], Galileo blog (2022).</ref>

Esaki, Josephson og Giæver delte [[nobelprisen i fysikk]] for 1973. Mens denne handlet om tunnelering av ett eller to elektron, ble den samme nobelprisen for 2025 gitt til [[John Clarke]], [[Michel H. Devoret]] og [[John M. Martinis]] for å ha påvist at også et makroskopisk stort antall elektroner vil også kunne tunnelere under lignende, eksperimentelle forhold.<ref name = Asle> A. Sudbø, ''Kvantemekanisk tunnelering'', Fra Fysikkens Verden '''3''', 108-111 (2025).</ref>

==Referanser==
<references/>

==Eksterne lenker==

* D.D. Nolte, [https://galileo-unbound.blog/2022/11/06/a-short-history-of-quantum-tunneling/ ''A Short History of Quantum Tunneling''], Galileo Unbound blog (2022).
* PhysLibreTexts, [https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/University_Physics_III_-_Optics_and_Modern_Physics_(OpenStax)/07%3A_Quantum_Mechanics/7.07%3A_Quantum_Tunneling_of_Particles_through_Potential_Barriers ''Quantum Tunneling of Particles through Potential Barriers''], detaljert fremstilling
* A. Walker, [https://medium.com/@AndrewJanWalker/the-triumph-of-quantum-mechanics-at-the-heart-of-solid-state-data-storage-baa0c7b5a2ca ''The Triumph of Quantum Mechanics at the Heart of Solid State Data Storage''], Medium blogg (2016).

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kvantemekanikk]]
[[Kategori:Nanoteknologi]]

Kvantetunnelering - Sideversjonshistorikk

Wikisida: Én sideversjon ble importert

nb>Phidus: /* Triangulær potensialbarriere */Lagt til seksjon om Kleins paradoks

← Eldre sideversjon	Sideversjonen fra 12. mai 2026 kl. 09:34
(Ingen forskjell)