Redigerer Virialteoremet

[[Fil:Coma cluster leo.jpg|thumb|320px|Virialteoremet ble benyttet til å vise at [[Galaksehop|Coma-hopen]] med galakser inneholder [[mørk materie]].]]

'''Virialteoremet''' i [[klassisk mekanikk]] gir en sammenheng mellom middelverdien til den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] og middelverdien til den [[potensiell energi|potensielle energien]] i et system. Det ble formulert på et mer generelt vis av den tyske fysiker [[Rudolf Clausius]] rundt 1870  som benyttet det for å få en bedre forståelse av egenskapene till en samling partikler med gjensidige vekselvirkninger når de er i [[termisk likevekt]]. Siden er teoremet benyttet i mange andre  sammenhenger og da spesielt innen [[astrofysikk]] og [[kosmologi]]. Navnet er en avledning av det [[latin]]ske order ''vis'' for [[kraft]].

Når systemet inneholder ''N&thinsp;'' partikler, sier det generelle teoremet på matematisk form at middelverdien til deres kinetiske energi ''K&thinsp;'' er gitt som

: <math> \left\langle K \right\rangle = -\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^N \left\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \right\rangle, </math>

der middelverdien på høyre side involverer kraften <math>\mathbf{F}_k </math> som virker på partikkelen med posisjon <math>\mathbf{r}_k . </math>  Summen av [[indreprodukt]]ene til disse to vektorene definerer «virialet» for systemet. For et [[Potensiell energi#Konservative krefter|konservativt system]] kan den uttrykkes ved den potensielle energien til systemet.<ref name = Collins>G.W. Collins, ''The Virial Theorem in Stellar Astrophysics'', Pachart Publishing House (1978). [https://ads.harvard.edu/books/1978vtsa.book/ PDF].</ref>

==Utledning==

For en ikke-relativistiske partikkel er dens [[Bevegelsesmengde|impuls]] <math> \mathbf{p}_k </math> og [[hastighet]]  <math> \dot{\mathbf{r}}_k </math> forbundet med  <math> \mathbf{p}_k = m_k\dot{\mathbf{r}}_k </math> når den har masse <math> m_k. </math> Hvis man summerer skalarproduktene mellom disse to vektorene for alle ''N&thinsp;'' partikler i systemet, gir det

: <math> \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k  = \sum_{k=1}^N m_k \dot{\mathbf{r}}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k  = 2 K </math>

som er den doble, [[kinetisk energi|kinetiske energien]] til systemet. Dermed er det naturlig å betrakte den relaterte størrelsen  <math> G = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{r}_k </math> hvis tidsderiverte er

: <math>\begin{align} {dG\over dt} &=  \sum_{k=1}^N(\dot{\mathbf{p}}_k \cdot \mathbf{r}_k +  \mathbf{p}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k) \\ &=   \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k + 2K \end{align} </math>

da [[Newtons lover|Newtons andre lov]] sier at <math> \dot{\mathbf{p}}_k = \mathbf{F}_k </math> er den totale kraften som virker på partikkelen med posisjon <math>\mathbf{r}_k . </math>  På denne formen er man bare kommet frem til en identitet i klassisk mekanikk.<ref name = Goldstein> H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).</ref>

Teoremet fremkommer hvis man nå midler denne identiteten over et langt tidsrom ''&tau;''. Venstresiden er da

: <math>  \left\langle {dG\over dt} \right\rangle = {1\over \tau} \int_0^\tau \! dt {dG\over dt}  = {1\over \tau} \left(G(\tau) - G(0) \right) </math>

Anvendes dette resultatet på et periodisk eller bundet systemet hvor alle variable tar endelige verdier, blir dette null når tiidsmidlet tas over et veldig  langt tidsrom. Det gir

: <math> \sum_{k=1}^N \left\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \right\rangle = - 2\left\langle K \right\rangle  </math>

der de to middelverdiene beregnes på samme måte. Dette er virialteoremet på sin mest generelle form.<ref name = Collins/>

===Konservative system===

Teoremet får sin viktigste konsekvens for [[Potensiell energi#Konservative krefter|konservative system]] der kraften på en partikkel kan avledes fra den potensielle energien ''U&thinsp;'' til hele systemet,

: <math> \mathbf{F}_k = -  {\partial \over\partial\mathbf{r}_k} U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N)</math>

I tillegg må man anta at den kan splittes opp i påvirkningen fra alle andre partikler via et to-partikkelpotensial <math>  u(r_{kj}) </math> der den skalare størrelsen <math> r_{kj} = |\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j| </math> angir avstanden mellom dem.  Den totale, potensielle energien til systemet er da

: <math>  U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N) = \sum_{k=1}^N \sum_{j<k} u(r_{kj}).  </math>

Det betyr at den totale kraften som inngår i teoremet, kan skrives som <math> \mathbf{F}_k=\sum_{j=1}^N \mathbf{F}_{kj} </math> hvor 

: <math> \mathbf{F}_{kj} = - {\partial \over\partial\mathbf{r}_k}  u(r_{kj}) = - {du\over dr_{kj}} {\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j\over r_{kj}} </math>

er kraften fra partikkelen i posisjon <math> \mathbf{r}_j </math> på den i  posisjon <math> \mathbf{r}_k. </math> Da er automatisk <math>  \mathbf{F}_{kj} = - \mathbf{F}_{jk}  </math> slik at  [[Newtons lover|Newtons tredje lov]] err oppfylt.<ref name = LL> L.D. Landau and E.M. Lifshitz, ''Mechanics'', Pergamon Preess, London (1960). </ref>

På denne måten kommer man frem til

: <math> \begin{align}  \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k =  \sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N \mathbf{F}_{kj} \cdot \mathbf{r}_k = \sum_{k=1}^N \sum_{j<k}  \mathbf{F}_{kj} \cdot (\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j)  \end{align} </math>

slik at virialteoremet for konservative system blir

: <math>  2 \left\langle K \right\rangle =  \sum_{k=1}^N \sum_{j<k}  \left\langle r_{kj}  {du\over dr_{kj}} \right\rangle </math>

Den midlere, kinetiske energien er dermed gitt ved middelverdien til den deriverte av to-partikkelpotensialet <math> u(r) </math> over alle partiklene i systemet.<ref name = LL/>

===Homogent potensial===

Virrialteoremet tar en spesielt enkel form når det konservative potensialet er ''homogent'', det vil si at det oppfyller <math> u(\lambda r) = \lambda^n u(r) . </math> Det betyr at det er en [[Potens (matematikk)|potensfunksjon]] av formen <math> u(r) = kr^n . </math>  Da blir <math>  r du/dr = n u </math> som innsatt i virialteoremet gir

:  <math>  2 \left\langle K \right\rangle =  n  \sum_{k=1}^N \sum_{j<k}  \left\langle  u(r_{kj})  \right\rangle =  n \left\langle  U \right\rangle </math>

Den midlere kinetiske energi kan derfor direkte finnes fra den midlere potensielle energien. Det er velkjent fra den [[Harmonisk oscillator|harmoniske oscillatoren]] hvor <math> n = 2 </math> slik at <math> \left\langle  K \right\rangle = \left\langle  U \right\rangle. </math> Likedan for et [[Coulombs lov|Coulomb-potensial]] med <math> n = -1 </math> gir teoremet at <math> 2\left\langle  K \right\rangle = -\left\langle  U \right\rangle . </math> Da venstresiden her må være positiv, gjelder dette bare for et attraktivt potensial. Det reflekterer nødvendigheten for at bevegelsen til systemet må være bunden for at virialteoremet skal kunne anvendes.<ref name = Goldstein/>

Da systemets totale energi <math> E = \left\langle  K \right\rangle + \left\langle  U \right\rangle </math> er konstant, vil man nå ha

: <math>  \left\langle  U \right\rangle =  {2\over 2 + n} E \, ,\quad  \left\langle  K \right\rangle = {n\over 2 + n} E \ . </math>

For et [[gravitasjonspotensial]] eller Coulomb-potensial er derfor den midlere, kinetiske energien <math>  \left\langle  K \right\rangle = - E. </math>

==Anvendelser==

En [[galakse]] kan bestå av mange millioner eller milliarder med stjerner som blir holdt sammen av [[Gravitasjonskraft|gravitasjonskrefter]], det vil si at de skyldes  et homogent vekselvirkningspotensial med <math> n = -1.</math> Den midlere, kinetiske energien til stjernene i galaksen kan nå skrives som

: <math>   \left\langle K \right\rangle  = {1\over 2} \sum_{k=1}^N  \left\langle m_k v_k^2\right\rangle \equiv   {1\over 2} M  \left\langle v^2 \right\rangle  </math>

når hver av dem har massen <math> m_k </math> og hastigheten <math> v_k </math>  relativt til tyngdepunktet til galaksen. På høyresiden er summen over bidragene fra alle stjernene forenklet ved å innføre den totale massen <math> M </math> og deres midlere, kvadratiske hastighet <math>  \left\langle v^2 \right\rangle. </math> Den kan måles av astronomene ved å observere stjernenes [[rødforskyvning]]er.

Hvis nå massen <math> M </math> av lysende stjerner er den totale massen i galaksen, vil den midlere, potensielle energien til alle stjernene ha en verdi 

: <math>   \left\langle U \right\rangle = - \alpha {GM^2\over R} </math>

Her inngår en numerisk faktor <math> \alpha \approx 1</math> fra [[Newtons gravitasjonslov]] samt galaksens radius <math> R </math> som kan observeres.  Sammenholdes dette med virialteoremet <math> \left\langle  K \right\rangle = -\left\langle  U \right\rangle/2,  </math> viser det seg at  dette ikke er oppfylt. Den potensielle energien må være mye større enn hva den synes å være fra observasjonene. Det er blandt annet fra slike betraktninger man er kommet frem til at galakser må inneholde en stor mengde ekstra masse som ikke sender ut lys. Den omtales i dag som [[mørk materie]] og utgjør i et virkelig mysterium i moderne [[kosmologi]].<ref name="Weinberg"> S. Weinberg, ''Gravitation and Cosmology'', John Wiley & Sons, New York (1972). ISBN 0-471-92567-5.</ref>

Mørk materie ble foreslått av den sveitsiske fysiker og astronom [[Fritz Zwicky]] i 1933. Han studerte på lignende vis [[Galaksehop|Coma-hopen]]  som inneholder et stort antall lysende galakser. Deres rødforskyvninger var på den tiden nylig blitt målt. I tillegg kunne han anslå hvor mange galakser en hop inneholder og massen til hver dem. Igjen viste virialteoremet at de må inneholde mye ikke-lysende materie i tillegg til de observerte galaksene.<ref name = BH> G. Bertone and D. Hooper, ''A History of Dark Matter'', Review of Modern Physics, '''90''', 45002 (2018). [https://arxiv.org/pdf/1605.04909 PDF]. </ref>

===Statistisk mekanikk===

Den aller første anvendelse av virialteoremet var i [[statistisk mekanikk]] da [[Johannes Diderik van der Waals| Johannes van der Waals]] i 1873 utledet sin [[Van der Waals tilstandsligning|tilstandsligning]] for [[gass|reelle gasser]]. I tillegg til interne vekselvirkninger mellom partiklene beskrevet ved potensialet <math> u(r), </math> vil også kreftene fra veggene i volumet ''V&thinsp;'' da bidra i virialteoremet.

Når systemet er i [[termisk likevekt]] med [[Absolutt temperatur|temperatur]] ''T'', kan den midlere, kinetiske energien beregnes fra [[kinetisk teori]] og er <math>  2 \left\langle  K \right\rangle = 3N k_B T</math> når den uttrykkes ved [[Boltzmanns konstant]] ''k<sub>B</sub>''. Det fulle teoremet tar dermed formen

: <math> 3Nk_B T =  \sum_{k=1}^N \left(- \left\langle\mathbf{F}_k^{ext} \cdot \mathbf{r}_k\right\rangle  + \sum_{j<k}  \left\langle r_{kj}  {du\over dr_{kj}} \right\rangle  \right) </math>

Det første leddet representerer bidraget fra kollisjonene som partiklene har med de omsluttende veggene. Hvis [[trykk]]et i gassen er ''P'', kan denne eksterne kraften skrives som <math> \mathbf{F}_k^{ext} = - P\Delta \mathbf{S}_k </math> hvor diet lille flateelementet <math> \Delta\mathbf{S}_k </math> har en retningsnormaal som er rettet inn i volumet. Dermed gir dette bidraget

: <math>  -\sum_{k=1}^N \left\langle\mathbf{F}_k^{ext} \cdot \mathbf{r}_k\right\rangle =  P \oint_S \!d\mathbf{S}\cdot \mathbf{r}  = 3PV </math>

i den kontinuerlige grensen der man kan gjøre bruk av [[divergensteoremet]] med <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{r} = 3. </math> Det siste bidraget fra interne krefter kan beregnes ved hjelp av statistisk mekanikk. Da har man

: <math>  \sum_{k=1}^N\sum_{j<k}  \left\langle r_{kj}  {du\over dr_{kj}} \right\rangle = {1\over 2}N \rho \int_V \! d^3r \,r {du\over dr} g(r) </math>

hvor <math> \rho = N/V </math> er tettheten av partikler og <math> g(r) </math> er en «korrelasjonsfunksjon». Den beskriver sannsynligheten for å finne andre partikler i avstand ''r&thinsp;'' fra en gitt partikkel. Tilstandsligningen for en reell gass tar dermed formen

: <math> P = \rho k_BT - {1\over 6}\rho^2  \int_V \! d^3r \,r {du\over dr} g(r) </math>

hvor korreksjonene til den [[ideell gass|ideelle gassloven]] finnes i det siste leddet.<ref name="Lay"> J.E. Lay, ''Statistical Mechanics and Thermodynamics of Matter'', Harper & Row Publishers, New York (1990). ISBN 0-06-043884-3.</ref>

Dette resultatet for trykket skal også være gyldig i den kondenserte fasen, det vil si der gassen er godt over til å bli en væske. Det første leddet kan tilskrives bevegelsen til partiklene, mens det andre  skyldes deres vekselvirkninger. Da tettheten ''&rho;&thinsp;'' for en væske kan være typisk en faktor tusen ganger større enn for gassen, vil dens trykk være bestemt av begge leddene i motsetning til en gass hvor det første ledet dominerer. For at en væske skal ha et trykk rundt 1&thinsp;[[atm]], vil det derfor fremkomme ved en delikat balanse mellom disse to leddene som da hver for seg vil være mye større.

===Gasser med lav tetthet===

Den nøyaktige formen till vekselvirkningspotensialet <math> u(r) </math> er ikke kjent. Det kan ikke være noen homogen funksjon, og må være frastøtende for små separasjoner mellom partiklene da molekyler ikke kan trenge inn i hverandre. Dessuten må det være tiltrekkende for llitt større avstander slik at gassen kan [[kondensasjon|kondensere]] og gå over til en [[væske]] ved lavere temperaturer.

Hvis tettheten av partikler er tilstrekkelig liten, kan man benytte den statistiske [[Boltzmann-fordeling]]en til å vise at korrelasjonsfunksjonen har formen

: <math> g(r) = e^{-\beta u(r)} </math>

når man i eksponenten definerer  <math> \beta = 1/k_BT .</math> For små avstander der potensialet er sterkt positivt, er denne funksjonen svært liten i overensstemmelse med forventingen om at sannsynligheten for å finne andre partikler så nærme skal være liten. Derimot for større avstander hvor potensialet går mot null, blir denne sannsynligheten  <math> g(r) \rarr 1 </math> fordi der vil det alltid finnes en annen partikkel.<ref name = Lay/>

Med denne korrelasjonsfunksjonen blir tilstandsligningen nå

: <math>\begin{align}  {P\over k_BT} &=  \rho  - {1\over 6}\rho^2  \int_V \! d^3r \,r {d\over dr} \left[1 -  e^{-\beta u(r)} \right] \\ &=   \rho  +  {1\over 2}\rho^2  \int_V \! d^3r  \left[1 -  e^{-\beta u(r)} \right] \end{align} </math>

etter en partiell integrasjon. På dette viset kommer korreksjonen til ideell gass frem med et ledd som kalles den andre [[Van der Waals tilstandsligning#Virial tilstandsligning|virialkoeffisienten]] ''B''<sub>2</sub>. Ved en mer nøyaktig fremgangsmåte  gyldig ved større tettheter, vil korreksjonene opptre i en rekke med ledd av høyere orden i tettheten ''&rho;&thinsp;''. De tilsvarende koeffisientene kan systematisk beregnes, og man har en [[Tilstandsligning#Andre tilstandsligninger|virial tilstandsligning]].

==Referanser==
<references/>

==Eksterne lenker==
* LibreTexts, [https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Classical_Mechanics/Variational_Principles_in_Classical_Mechanics_(Cline)/02%3A_Review_of_Newtonian_Mechanics/2.11%3A_Virial_Theorem ''Virial Theorem''], med forenklet fremstilling
* MathPages, [http://www.mathpages.com/home/kmath572/kmath572.htm ''The Virial Theorem''], med interessante kommentarer

{{Portal|Astronomi}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Statistisk fysikk]]
[[Kategori:Termodynamikk]]
[[Kategori:Astrofysikk]]
[[Kategori:Teorem i fysikk]]
[[Kategori:Artikler i astronomiprosjektet]]
Beskrivelse	Hva du skriver	Hva du får
Kursiv	''Kursiv tekst''	Kursiv tekst
Fet	'''Fet tekst'''	Fet tekst
Fet & kursiv	'''''Fet & kursiv tekst'''''	*Fet & kursiv tekst*