Redigerer Termodynamisk beta

[[Fil:ColdnessScale.svg|miniatyr|SI temperatur / kulde konvertering skala: Temperaturer i Kelvin skala er vist i blått (Celsius skala i grønt, Fahrenheit skala i rødt), kuldeverdier i gigabyte per nanojoule vises i svart. Uendelig temperatur (kulde null) vises øverst i diagrammet; positive verdier av kulde / temperatur er på høyre side, negative verdier på venstre side.]]
I statistisk [[termodynamikk]] er '''termodynamisk beta''', også kjent som '''kulde''', resiprok av den termodynamiske temperaturen til et system:

: <math>\beta = \frac{1}{k_{\rm B}T}</math><ref>{{Kilde artikkel|tittel=Coldness and temperature|publikasjon=Archive for Rational Mechanics and Analysis|doi=10.1007/BF00280159|url=https://doi.org/10.1007/BF00280159|dato=1975-09-01|fornavn=J.|etternavn=Meixner|serie=3|språk=en|bind=57|sider=281–290|issn=1432-0673|besøksdato=2021-02-03}}</ref>

Hvor:

: <math>T</math> er temperaturen
: <math>k_B</math> er [[Boltzmanns konstant]]

Den ble opprinnelig introdusert i 1971 (som Kältefunktion "kaldhetsfunksjon") av [[Ingo Müller]], en av forkjemperne for den rasjonelle tankegang,<ref>{{Kilde artikkel|tittel=Die Kältefunktion, eine universelle Funktion in der Thermodynamik wärmeleitender Flüssigkeiten|publikasjon=Archive for Rational Mechanics and Analysis|url=|dato=1971|forfattere=I. Müller|via=|bind=40|hefte=|sider=1-36|sitat=}}</ref> basert på tidligere forslag om en "gjensidig temperatur" -funksjon.<ref>{{Kilde artikkel|tittel=On the symmetry of the conductivity tensor and other restrictions in the nonlinear theory of heat conduction|publikasjon=Archive for Rational Mechanics and Analysis|url=|dato=|forfattere=Day, W.A. og Gurtin, Morton|via=|bind=33|hefte=|sider=26-32|sitat=}}</ref><ref>{{Kilde artikkel|tittel=Temperature from Zero to Zero|publikasjon=Science by Degrees|url=|dato=1965|forfattere=Castle, W. Emmenish, R. Henkes, R. Miller, og J. Rayne|via=Westinghouse Search Book Series|utgiver=Walker and Company|utgivelsessted=New York|bind=|hefte=|sider=|sitat=}}</ref>

Termodynamisk beta har enheter resiprok med energien (i [[SI-systemet|SI-enhet]], resiprokjoule, <math>[\beta] =  \textrm{J}^{-1}</math>). I ikke-termiske enheter kan den også måles i byte per joule, eller mer praktisk, gigabyte per nanojoule;<ref name="cvinbits">P. Fraundorf (2003) "Heat capacity in bits", ''Amer. J. Phys.'' '''71''':11, 1142-1151.</ref> 1 K<sup>−1</sup> tilsvarer omtrent 13 062 gigabyte per nanojoule; i romtemperatur: {{mvar|T}} = 300K, &#x3B2; ≈ {{val|44|u=GB/nJ}} ≈ {{val|39|u=[[electron volt|eV]]<sup>−1</sup>}} ≈ {{val|2.4|e=20|u=J<sup>−1</sup>}}. Konverteringsfaktoren er 1 GB/nJ = <math>8\ln2\times 10^{18}</math> J<sup>−1</sup>.

== Beskrivelse ==
Termodynamisk beta er egentlig forbindelsen mellom informasjonsteorien og statistisk mekanikkfortolkning av et fysisk system gjennom dets entropi og termodynamikken knyttet til energien. Det uttrykker entropiens respons på en økning i energi. Hvis et system utfordres med en liten mengde energi, beskriver β mengden systemet vil randomisere.

Via den statistiske definisjonen av temperatur som en funksjon av entropi, kan kuldefunksjonen beregnes i det mikrokanoniske ensemblet fra formelen

: <math>
\beta = \frac1{k_{\rm B} T} \,  =\frac{1}{k_{\rm B}}\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V, N}</math>

(dvs. delvis derivat av [[Entropi|entropien]] ''S'' med hensyn til [[Energi|energien]] ''E'' ved konstant [[volum]] ''V'' og [[partikkelnummer]] ''N'').

=== Fordeler ===
Selv om β er fullstendig ekvivalent i konseptuelt innhold med temperatur, anses β generelt som en mer grunnleggende mengde enn temperatur på grunn av fenomenet negativ temperatur, der β er kontinuerlig når den krysser null, mens T har en egenart.<ref>{{Kilde bok|url=https://www.worldcat.org/oclc/27371|tittel=Thermal physics.|etternavn=Kittel, Charles.|fornavn=|dato=1969|utgiver=Wiley|år=|isbn=0-471-49030-X|utgivelsessted=New York,|side=|sider=|kapittel=|oclc=27371|sitat=}}</ref>

I tillegg har β fordelen av å være lettere å forstå årsaksvis: Hvis en liten mengde varme tilsettes et system, er β økningen i entropi delt på økningen i varme. Temperatur er vanskelig å tolke i samme forstand, da det ikke er mulig å "legge til entropi" til et system bortsett fra indirekte, ved å modifisere andre størrelser som temperatur, volum eller antall partikler.

== Statistisk tolkning ==
Fra et statistisk synspunkt er β en numerisk størrelse som relaterer to makroskopiske systemer i likevekt. Den eksakte formuleringen er som følger. Tenk på to systemer, 1 og 2, i [[termokontakt]], med respektive energier E<sub>1</sub> og E<sub>2</sub>. Vi antar at E<sub>1</sub> + E<sub>2</sub> =konstant  E. Antall mikrotilstander i hvert system vil bli betegnet med Ω<sub>1</sub> og Ω<sub>2</sub>. Under våre antakelser avhenger Ω<sub>i</sub> bare av E<sub>i</sub>. Vi antar også at en hvilken som helst mikrotilstand i system 1 som er i samsvar med E<sub>1</sub> kan eksistere sammen med hvilken som helst mikrotilstand i system 2 som er i samsvar med E<sub>2</sub>. Dermed er antallet mikrotilstander for det kombinerte systemet

: <math>\Omega = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E_2) = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E-E_1)  . \,</math>

Vi vil utlede β fra den grunnleggende antagelsen om statistisk mekanikk:

: ''Når det kombinerte systemet når likevekt, maksimeres tallet Ω.''

(Med andre ord søker systemet naturlig nok det maksimale antallet mikrostater.) Derfor, ved likevekt,

: <math>
\frac{d}{d E_1} \Omega = \Omega_2 (E_2)  \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) + \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) \cdot \frac{d E_2}{d E_1} = 0.
</math>

Men ''E''<sub>1</sub> + ''E''<sub>2</sub> = ''E'' tilsier

: <math>\frac{d E_2}{d E_1} = -1.</math>

Så

: <math>\Omega_2 (E_2)  \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) - \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) = 0
</math>

det vil si

: <math>
\frac{d}{d E_1} \ln \Omega_1 = \frac{d}{d E_2} \ln \Omega_2 \quad \mbox{ved likevekt.}  
</math>

Ovennevnte forhold motiverer en definisjon av β:

: <math>\beta =\frac{d \ln \Omega}{ d E}.</math>

== Forbindelse av statistisk visning med termodynamisk utsikt ==
Når to systemer er i likevekt, har de samme termodynamisk temperatur '' T ''. Dermed ville man intuitivt forvente at '' β '' (som definert via mikrotilstander) på en eller annen måte var relatert til '' T''. Denne lenken er gitt av Boltzmanns grunnleggende antagelse skrevet som

: <math>S = k_{\rm B} \ln \Omega, \,</math>

hvor ''k''<sub>B</sub> er Boltzmann-konstanten, S er den klassiske termodynamiske entropien, og Ω er antallet mikrotilstander. Så

: <math>d \ln \Omega = \frac{1}{k_{\rm B}} d S .</math>

Å erstatte definisjonen av β fra den statistiske definisjonen ovenfor gir

: <math>\beta = \frac{1}{k_{\rm B}} \frac{d S}{d E}.</math>

Sammenligning med termodynamisk formel

: <math>\frac{d S}{d E} = \frac{1}{T} ,</math>

vi har

: <math>\beta = \frac{1}{k_{\rm B} T} = \frac{1}{\tau}</math>

hvor <math>\tau</math> kalles systemets grunntemperatur, og har energienheter.

== Referanser ==
<references />

[[Kategori:Statistisk mekanikk]]