Redigerer Stereografisk projeksjon

[[Fil:Stereographic Projection Polar.jpg|thumb|270px|Stereografisk kartprojeksjon av den nordlige halvkule med projeksjonspunkt på [[Sydpolen]].]]
'''Stereografisk projeksjon''' er en [[konform avbildning]] av en [[sfære|kuleflate]] på et plan. Projeksjonssenteret er et punkt på overflaten, og planet er [[vinkelrett]] på en [[diameter]] gjennom dette punktet. Vanligvis legges planet gjennom kulens sentrum eller det tangerer den i punktets [[antipode]].

Projeksjonen har sannsynligvis vært kjent i minst to tusen år og ble benyttet allerede av [[Klaudius Ptolemaios|Ptolemaios]] i hans fremstilling av den krumme [[himmelhvelving]] på en plan flate. Den benyttes på samme måte i mer moderne [[planisfære]]r. Også innen [[kartografi]] blir den i dag gjort bruk av ved fremstilling av områder på [[Jorden]]. Projeksjonsplanet legges da oftest ved en av [[geografisk pol|polene]] eller langs [[Ekvator]] avhengig av hvor man ønsker å se minst forvrengning på [[kart]]et.

Mer abstrakt bruk av projeksjonen gjøres også innen [[teoretisk fysikk]] og forskjellige grener av [[matematikk]]en. Den kan da utvides til også å gjelde for projeksjoner av generaliserte kuleflater i høyere [[dimensjon]]er.

==Matematisk beskrivelse==
[[Fil:Stereoprojzero.svg|thumb|270px|Stereografisk projeksjon med senter i ''N'' av [[sfære|kuleflate]] ''P'&thinsp;'' &rarr; ''P'' på plan gjennom kulens senter.]]

Når den todimensjonale [[sfære|kuleflaten]] med radius ''R'' = 1 befinner seg i et tredimensjonalt, [[euklidsk rom]] med [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] (''x,y,z''), er den beskrevet ved ligningen ''x''<sup>&thinsp;2</sup> + ''y''<sup>&thinsp;2</sup> + ''z''<sup>&thinsp;2</sup> = 1. Hvert punkt på flaten avbildes på planet {{nowrap|''z'' {{=}} 0}} ved en [[sentralperspektiv|sentralprojeksjon]] med sentrum i punktet {{nowrap|''N'' {{=}} (0,0,1)}}. Ved å bruke kartesiske koordinater (''X,Y'') i planet, er denne projeksjonen dermed gitt ved sammenhengen

: <math> (X, Y) = \left(\frac{x}{1 - z}, \frac{y}{1 - z}\right) </math>

Den inverse transformasjonen kan sammenfattes i ligningene

: <math> (\mathbf{x}, z) =  \left({2\mathbf{X}\over 1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X}}, \;  {\mathbf{X}\cdot\mathbf{X} - 1\over 1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X}} \right) </math>

hvor '''x''' = (''x,y'') og '''X''' = (''X,Y''). Punkter på den sydlige halvkule ''z'' < 0 blir avbildet på punkter innenfor sirkelen '''X'''&sdot;'''X''' = {{nowrap|''X''<sup>&thinsp;2</sup> + ''Y''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} 1}}, mens punkter på den nordlige halvkulen blir projisert til punkter utenfor sirkelen.<ref name = Kreyszig> E. Kreyszig, ''Differential Geometry'', Dover Publications, New York (1991). ISBN 0-486-66721-9.</ref>

At den stereografiske projeksjonen er konform, følger fra transformasjonen av det kvadrerte [[metrisk tensor#Riemannske rom|linjeelementet]] {{nowrap|''d&sigma;''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''d''&thinsp;'''x'''<sup>2</sup> + ''dz''<sup>&thinsp;2</sup>}} på kuleflaten. Her blir nå

: <math>\begin{align} d\mathbf{x} &= {2d\mathbf{X}\over 1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X}} - {4\mathbf{X}(\mathbf{X}\cdot d\mathbf{X}) \over (1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X})^2} \\ dz &=  {4\mathbf{X}\cdot d\mathbf{X} \over (1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X})^2}\end{align}</math>

slik at 

: <math> d\sigma^2 = {4d\mathbf{X}\cdot d\mathbf{X}\over (1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X})^2} = {4(dX^2 + dY^2)\over (1 + X^2 + Y^2)^2} </math>

Hvis projeksjonsplanet istedet hadde tangert kuleflaten i sydpolen ''S'' = (0,0,-1), ville resultatet ha samme form bare med den forandring at {{nowrap|''X'' &rarr; ''X''/2}} og {{nowrap|''Y'' &rarr; ''Y''/2}}. Den transformerte metrikken er proporsjonal med metrikken {{nowrap|''ds''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''dX''<sup>&thinsp;2</sup> + ''dY''<sup>&thinsp;2</sup>}} i projeksjonsplanet som derfor er konformt ekvivalent med kuleflaten minus projeksjonspunktet. Dette blir avbildet til det uendelige.

===Noen egenskaper===
[[Fil:Stereographic Projection Transversal.jpg|thumb|270px|Kart over halve jordoverflaten i stereografisk projeksjon med senter på Ekvator.]]

Den stereografiske projeksjonen har den spesielle fordelen at alle [[sirkel|sirkler]] på kuleflaten blir avbildet som sirkler i planet. Dette gjelder ikke bare for [[storsirkel|storsirkler]],  men også sirkler med mindre radius. Unntaket er sirkler som går gjennom projeksjonspunktet. De opptrer som rette [[linje]]r i planet.<ref name = Snyder> J.P. Snyder, [https://books.google.de/books?id=0UzjTJ4w9yEC&pg=PA80&lpg=PA80&dq=central+stereographic+projection+lagrange&source=bl&ots=ZbiTNuACy5&sig=ws1jUGKiYkIkOF9rdh-W_nDnXcQ&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwii8eH0xejTAhXHAsAKHY0pDkk4ChDoAQg5MAQ#v=onepage&q=central%20stereographic%20projection%20lagrange&f=false ''Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections''], University of Chicago Press, Chicago (1993). ISBN 0-226-76747-7. Google Book.</ref>

Man kan vise denne egenskapen ved å beskrive en sirkel på kuleflaten som bestående av skjæringspunktene mellom denne krumme flaten og et [[plan (matematikk)|plan]] som har en avstand fra kulens sentrum som er mindre enn dens radius. Planet er beskrevet ved en ligning med den generelle formen

: <math> Ax + By + Cz + D = 0 </math>

Hvis man her setter inn for ''x'', ''y'' og ''z'' uttrykt ved de plane koordinatene ''X'' og ''Y'', går den over til

: <math> (C + D)(X^2 + Y^2) + 2AX + 2BY = C - D </math>

Den beskriver generelt en sirkel i planet  med senter i (''-A, -B'')/(''C'' + ''D''). Det forutsetter at {{nowrap|''C'' + ''D'' &ne; 0}}. I det motsatte tilfellet at {{nowrap|''C'' + ''D'' {{=}} 0}}, går planet gjennom projeksjonspunktet {{nowrap|''N'' {{=}} (0,0,1)}}. Bildet av den utskårne sirkelen på kuleflaten er da en rett linje i planet.

Ved en [[Konform avbildning#Konforme kartprojeksjoner|stereografisk kartprojeksjon]] med projeksjonspunkt på en av de geografiske polene, vil derfor [[lengdegrad]]ene bli avbildet som radielle linjer ut fra dette punktet, mens [[breddegrad]]ene blir konsentriske sirkler om det samme punktet. Derimot når projeksjonspunktet legges til Ekvator, vil denne opptre som en rette linje på kartet sammen med den lengdegrad som passerer gjennom punktet. Alle andre bredde- og lengdegrader avbildes som sirkler.

===Riemann-sfæren===
[[Fil:Riemann sphere1.svg|thumb|270px|right|Et punkt ''A'' i det utvidete, komplekse planet avbildes på et punkt ''&alpha;'' = ''P''(''A'') på [[Riemannsk sfære|Riemann-sfæren]].]]

Når det [[komplekst tall|komplekse planet]] utvides med et punkt <math> \infty </math> i det uendelig, kan det avbildes ved en stereografisk projeksjon på en kuleflate som kalles en [[Riemannsk sfære|Riemann-sfære]].<ref name = JS> G.A. Jones and D. Singerman, [https://books.google.de/books?id=_U3RXDy7UQcC&printsec=frontcover&hl=de&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false ''Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint''], Cambridge University Press, England (1997). ISBN 0-521-31366-X. Google Book.</ref> Ved å beskrive den med [[kulekoordinater]] (''&theta;,&phi;''), vil et punkt med koordinater {{nowrap|''x'' {{=}} sin''&theta;''&thinsp;cos''&phi;'',}} {{nowrap|''y'' {{=}} sin''&theta;''&thinsp;sin''&phi;''}} og {{nowrap|''z'' {{=}} cos''&theta;''}} på sfæren, bli projisert til et punkt i det komplekse planet med koordinat ''Z'' = ''X'' + ''iY''  hvor

: <math> Z = {x + iy\over 1 - z} = \cot{\theta\over 2}e^{i\phi} </math>

Punktet <math> \infty </math> i det uendelig tilsvarer nordpolen ''N'' = (0,0,1) på sfæren med ''&theta;'' = 0.

Metrikken til Riemann-sfæren tar nå formen

: <math> d\sigma^2 = {4dZ dZ^*\over (1 + ZZ^*)^2} </math>

hvor den kompleks-konjugerte koordinaten er ''Z''&thinsp;* = ''X'' - ''iY''. 

Enhver sirkel på Riemann-sfæren vil avbildes på en ny sirkel under en [[Möbius-transformasjon]]. I det spesielle tilfellet at denne har formen

: <math> Z \rightarrow {aZ + b\over -b^*Z + a^*} </math>

hvor ''a'' og ''b'' er komplekse parameter som tilfredsstiller ''aa''* + ''bb''* = 1, forblir metrikken uforandret. Det er derfor en ''isometrisk'' transformasjon og tilsvarer en rotasjon beskrevet av [[Lie-gruppe]]n SU(2) med tre uavhengige parametre.<ref name =JS/>

==Høyere dimensjoner==

En ''N''-dimensjonal sfære med radius ''R'' = 1 i et euklidsk rom med ''N'' + 1 dimensjoner er beskrevet ved ligningen {{nowrap|'''x'''<sup>&thinsp;2</sup> + ''z''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} 1}} hvor den ''N''-dimensjonale vektoren '''x''' = {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>N</sub>'')}}. Hypersfæren kan stereografisk projiseres på et ''N''-dimensjonalt hyperplan som står vinkelrett på ''z''-aksen på samme måte som for den todimensjonale kuleflaten. Hvis '''X''' = {{nowrap|(''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X<sub>N</sub>'')}} er kartesiske koordinater i dette planet, er projeksjonen gitt ved avbildningen {{nowrap|'''X''' {{=}} '''x'''/(1 - ''z'')}}. Den inverse transformasjonen er som for {{nowrap|''N'' {{=}} 2}} dimensjoner

: <math> (\mathbf{x}, z) =  \left({2\mathbf{X}\over 1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X}}, \;  {\mathbf{X}\cdot\mathbf{X} - 1\over 1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X}} \right) </math>

Det kvadrerte linjeelementet {{nowrap|''d&sigma;''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''d''&thinsp;'''x'''<sup>2</sup> + ''dz''<sup>&thinsp;2</sup>}} tar derfor samme form og blir

: <math> d\sigma^2 = {4d\mathbf{X}\cdot d\mathbf{X}\over (1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X})^2} = {4(dX_1^2 + dX_2^2 + \cdots + dX_N^2)\over (1 + X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_N^2)^2} </math>

Hvis projeksjonsplanet tangerer kuleflaten i stedet for å gå gjennom dens sentrum, vil det tilsvare å la '''X''' &rarr; '''X'''/2 i denne metrikken.

===Ikke-lineær sigmamodell===

Den [[sterk kjernekraft|sterke kjernekraften]] som virker mellom [[nukleon]]er når de har stor avstand seg i mellom, kan forklares ved at de kobler til [[pi-meson|pimeson]]er. Deres masse er så liten at den kan sees bort fra i mange sammenhenger. Men disse tre partiklene '''&pi;''' = (''&pi;''<sup>&thinsp;+</sup>,''&pi;''<sup>&thinsp;0</sup>,''&pi;''<sup>&thinsp;-</sup>) vekselvirker også med hverandre på en måte som kan beskrives ved at de tilhører en gruppe med fire partikler ('''&pi;''',''&sigma;'') som oppfyller kravet {{nowrap|'''&pi;'''&sdot;'''&pi;''' + ''&sigma;''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''f<sub>&pi;</sub>''<sup>2</sup>}} hvor ''f<sub>&pi;</sub>&thinsp;'' er en konstant. Her beskriver ''&sigma;'' en sigmapartikkel med lignende egenskaper som [[Higgs-partikkel]]en for den [[svak kjernekraft|svake kjernekraften]]. Verdiene av disse fire [[kvantefeltteori|kvantefeltene]] tar derfor verdier som ligger på en 3-dimensjonal kuleflate med radius ''f<sub>&pi;</sub>&thinsp;'' i et fiktivt, 4-dimensjonalt rom. Dette kalles for den ikke-lineære sigmamodellen.<ref name = AFFR> V. de Alfaro, S. Fubini, G. Furlan and C. Rossetti, ''Currents in Hadron Physics'', North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1973). ISBN 0-7204-0212-3.</ref>

I [[Hamiltons virkningsprinsipp#Kontinuerlig system|Lagrange-funksjonen]] 

: <math> {\mathcal L} = {1\over 2} (\partial_\mu\boldsymbol{\pi})^2 + {1\over 2} (\partial_\mu\sigma)^2 </math>

for disse fire feltene kan nå bare tre av dem betraktes som uavhengige på grunn av betingelsen {{nowrap|'''&pi;'''&sdot;'''&pi;''' + ''&sigma;''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''f<sub>&pi;</sub>''<sup>2</sup>}}. Ved en stereografisk projeksjon av denne 3-dimensjonale sfæren på et hyperplan som står vinkelrett på ''&sigma;''-aksen og tangerer sfæren, vil punktet ('''&pi;''',''&sigma;'') avbildes på  '''&Pi;''' = 2'''&pi;'''&thinsp;/(''f<sub>&pi;</sub>'' - ''&sigma;''). Når disse koordinatene benyttes i Lagrange-funksjonen, går den da over til

: <math> {\mathcal L} = {1\over 2} {(\partial_\mu\boldsymbol{\Pi})^2 \over (1 + \boldsymbol{\Pi}\cdot\boldsymbol{\Pi}/4f_\pi^2)^2} </math>

og inneholder dermed bare kvantefeltene for pimesonene. Når disse har verdier som er mindre enn konstanten ''f<sub>&pi;</sub>&thinsp;'', kan nevneren utvikles i en [[Taylor-rekke]]. Det gir

: <math> {\mathcal L} = {1\over 2} (\partial_\mu\boldsymbol{\Pi})^2 - {1\over 4f_\pi^2} (\boldsymbol{\Pi}\cdot\boldsymbol{\Pi}) (\partial_\mu\boldsymbol{\Pi})^2 + \cdots </math>

hvor den første termen beskriver den frie bevegelsen til pimesonene og den andre deres gjensidige vekselvirkninger.<ref name = AFFR/>

==Referanser==
<references/>

==Eksterne lenker==

* E. Weisstein, [https://mathworld.wolfram.com/StereographicProjection.html ''Stereographic Projection''], Wolfram MathWorld
* J.P. Snyder, [https://archive.org/details/Snyder1987MapProjectionsAWorkingManual/page/n177/mode/2up ''Map Projections - A Working Manual''], U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, Washington D.C. (1987). Archive.org. 

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori: Differensialgeometri]]
[[Kategori: Kartprojeksjoner]]