Redigerer Sobolev-rom

Innen matematikk er '''Sobolev-rom''' et [[funksjonsrom]] som består av funksjoner som tilhører et [[Lp-rom|<math>L^p</math>-rom]], og hvis deriverte, opp til en viss orden og forstått som [[svak derivert|svake deriverte]], også tilhører dette rommet. Intuitivt er Sobolev-rom funksjonsrom som har tilstrekkelig mange deriverte til å gi det teoretiske grunnlaget for visse anvendelser, der spesielt løsning av [[partielle differensialligninger]] er sentralt. Dette kommer av at flere viktige ligninger har løsninger som eksisterer i Sobolev-rom, men ''ikke'' i rom av kontinuerlige funksjoner der de deriverte er forstått på vanlig måte (sterke deriverte). Sobolev-rom er også viktige i det teoretiske grunnlaget for [[elementmetoden]], som brukes for å finne [[numerisk analyse|numeriske løsninger]] av partielle differensialligninger.

Sobolev-rom tilordnes en [[norm (matematikk)|norm]] definert som en sum av <math>L^p</math>-normen av funksjonen i seg selv og dens (svake) deriverte. Et Sobolev-rom er dermed et [[normert vektorrom|normert rom]], og også [[komplett metrisk rom|komplett]], hvilket gjør det til et [[Banach-rom]]. For <math>p=2</math>, altså der funksjonene og deres deriverte er <math>L^2</math>-funksjoner, er det også et [[indreproduktrom]] og dermed et [[Hilbert-rom]]. Sobolev-rom er oppkalt etter den russiske matematikeren [[Sergei Sobolev]].

==Definisjon==
La <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> for <math>n \geq 1</math>, <math>s</math> et ikke-negativt heltall og <math>p</math> et tall slik at <math>1 \leq p \leq \infty</math>. ''Sobolev-rommet'' <math>W^{k, p}(\Omega)</math> består av alle [[lokalt deriverbar funksjon|lokalt deriverbare funksjoner]] <math>u : \Omega \to \mathbb{R}</math> slik at for alle [[multiindeks]]er <math>\alpha</math> slik at <math>|\alpha| \leq k</math>, eksisterer de (svake) deriverte <math>D^{\alpha}u</math> og tilhører <math>L^{p}(\Omega)</math>.<ref>[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], s. 260.</ref>

Dersom <math>u \in W^{k, p} (\Omega)</math> definerer vi den tilhørende ''[[norm (matematikk)|normen]]'' til å være<ref>[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], s. 261.</ref>
:<math>
|| u ||_{W^{k, p} (\Omega)} = \begin{cases} \sum_{|\alpha| \leq k} \Big(\int_{\Omega} |D^{\alpha} u|^p dx \Big)^{1/p} \qquad \text{hvis } 1 \leq p < \infty \\ \sum_{|\alpha| \leq k} \operatorname{ess} \sup_\Omega |D^{\alpha} u| \qquad \text{hvis } p = \infty  \end{cases}
</math>
der
:<math>D^{\alpha} = \frac{\partial u^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n}}</math>
for en vektor <math>\alpha = (\alpha_1, ... \alpha_n)</math> der hver indeks igjen er et ikke-negativt heltall og <math>\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \leq k</math>.

Normen over er [[ekvivalent norm|ekvivalent]] med normen
:<math>|| u ||_{W^{k, p} (\Omega)} = \sum_{|\alpha| \leq k} || D^{\alpha} ||_{L^{p} (\Omega)}</math>
for <math>1 \leq p \leq \infty</math>.<ref>[[#kinnunen|Juha Kinnunen: ''Sobolev spaces'']], side 5.</ref>

==Egenskaper==
===Lineære egenskaper===
La <math>u, v \in W^{k, p}(\Omega)</math>, og <math>|\alpha| \leq k</math>. Da gjelder<ref>[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], s. 263.</ref>
#<math>D^{\alpha} u \in W^{k - |\alpha|, p} (\Omega)</math>
#<math>D^{\beta} (D^{\gamma} u) = D^{\gamma} (D^{\beta} u) = D^{\gamma + \beta} u</math> dersom <math>\beta</math> og <math>\gamma</math> er multiindekser slik at <math>|\beta| + |\gamma| \leq k</math>
#Hvis <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R}</math> er også <math>\lambda u + \mu v \in W^{k, p}(\Omega)</math> 
#Hvis <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R}</math> er <math>D^{\alpha} (\lambda u + \mu v) = \lambda D^{\alpha} (u) + \mu D^{\alpha} v</math> 
#Hvis <math>A</math> er en åpen [[delmengde]] av <math>\Omega</math> er <math>u \in W^{k, p} (A)</math>
#Dersom <math>f \in C_{c}^{\infty} (U)</math> (mengden av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte i U) er også <math>fu \in W^{k, p}(\Omega)</math>, og
#:<math>D^{\alpha} (fu) = \sum_{\beta \leq \alpha} {\alpha \choose \beta} D^{\beta} f D^{\alpha - \beta} u</math> ([[Leibniz' formel]]).

===Kompletthet===
For enhver <math>k = 1, 2, ...</math> er Sobolev-rommet <math>W^{k, p} (\Omega)</math> komplett, og dermed et [[Banach-rom]].<ref>[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], s. 264.</ref>

==Utvidelser==
Under visse betingelser kan funksjoner i et Sobolev-rom <math>W^{1, p} (\Omega)</math>, der <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> utvides til å også være funksjoner i Sobolev-rommet <math>W^{1, p} (\mathbb{R}^n)</math>, altså fra en begrenset mengde til en ubegrenset mengde. Disse betingelsene er gitt i ''utvidelsesteoremet'', og er nødvendig for å bevise flere av Sobolev-ulikhetene.

===Utvidelsesteoremet===
Dersom <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> er [[begrenset mengde|begrenset]] og [[rand (topologi)|randen]] <math>\partial \Omega</math> er kontinuerlig (i <math>C^{1}</math>). Da finnes det en begrenset lineær operator E
:<math>E : W^{1, p}(\Omega) \to W^{1, p} (\mathbb{R}^n)</math>
slik at for enhver <math>u \in W^{1, p}(\Omega)</math>, er
:<math>Eu = u</math> [[nesten overalt]] i <math>\Omega</math>,
og
:<math>|| Eu ||_{W^{1, p} (\mathbb{R}^n)} \leq C || u ||_{W^{1, p} (\Omega)}</math>
der <math>C</math> er en konstant avhengig av <math>p</math> og <math>\Omega</math>. E kalles for ''utvidelsen'' av <math>u</math> til <math>\mathbb{R}^n</math>.<ref name="evans270">[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], s. 270.</ref>

==Traser==
I flere tilfeller er det interessant å studere randen av <math>\Omega</math>, og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i <math>\overline \Omega </math> (tillukningen av den åpne mengden <math>\Omega</math>) har den allerede slike verdier; en generell <math>u \in W^{1, p} (\Omega)</math> kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.

===Traseteoremet===
Anta at <math>1 \leq p < \infty</math>, og at <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> er begrenset og at randen <math>\partial \Omega</math> er kontinuerlig (i <math>C^{1}</math>). Da finnes det en begrenset lineær operator
:<math>T : W^{1, p} (\Omega) \to L^{p}(\partial \Omega)</math>
slik at
#<math>Tu = u|_{\partial U}</math> dersom <math>u \in C (\overline{\Omega})</math>
og
#<math>||Tu||_{L^{p} (\partial U)} \leq C || u ||_{W^{1, p} (\Omega)}</math>
for alle <math>u \in W^{1, p} (\Omega)</math>, der C er en konstant avhengig av <math>p</math> og <math>\Omega</math>. T kalles for ''sporet'' til <math>u</math> på <math>\partial \Omega</math>.<ref>[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], side 274.</ref>

Sporet T er altså sammenfallende med verdiene u allerede har dersom u er kontinuerlig i tillukningen av <math>\Omega</math>, og normen er begrenset oppad av en konstant multiplisert med normen til u i <math>W^{1, p} (\Omega)</math>.

===Traser med verdi 0===
Anta at <math>\Omega \subset \mathbb{R}^{n}</math> er begrenset og at randen <math>\partial \Omega</math> er kontinuerlig (i <math>C^{1}</math>), samt at <math>u \in W^{1, p} (\Omega)</math>. Da er
:<math>u \in W_{0}^{1, p} (\Omega)</math> hvis og bare hvis <math>Tu = 0</math> på <math>\partial \Omega</math>.<ref>[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], side 275.</ref>

Her betegner <math>W_{0}^{1, p} (\Omega)</math> mengden av alle funksjoner <math>u \in W^{1, p} (\Omega)</math> som er slik at det finnes en følge <math>\{ u_m \}_{m=1}^{\infty}</math> av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte (<math>u_m \in C_{c}^{\infty} (\Omega)</math> for alle m) som konvergerer til <math>u</math> med hensyn på normen <math>|| \cdot ||_{W^{1, p} (\Omega)}</math>.<ref>[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], side 261.</ref>

==Sobolev-ulikhetene==
Sobolev-ulikhetene er en klasse [[ulikhet (matematikk)|ulikheter]] som beskriver hvordan relasjonen mellom ''n'', ''p'' og ''k'' sier noe om hvilke Sobolev-rom som er inneholdt i andre Sobolev- og <math>L^p</math>-rom.

For <math>1 \leq p < n</math> kan man definere ''den Sobolev-konjugerte'' av p til å være<ref name="evans279">[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], s. 279.</ref>
:<math>p^{*} := \frac{np}{n - p}</math>
hvilket brukes gjennomgående i flere av ulikhetene under.

For to Banach-rom <math>X, Y</math> slik at <math>X \subset Y</math> sier vi at X er ''[[embedding|kompakt embeddet]]'' i Y dersom<ref name="evans288">[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], s. 288.</ref>
#<math>||u||_y \leq C ||u||_X</math> for alle <math>u \in X</math>, for en konstant <math>C</math>, og
#for hver begrenset følge <math>\{ u_k \}_{k=1}^{\infty}</math> i X har denne en konvergent delfølge:
#:<math>\lim_{j \to \infty} || u_{k_j} - u ||_{Y} = 0</math>.

===Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten===
Anta at <math>1 \leq p < n</math>. Da finnes en konstant C (kun) avhengig av p og n slik at
:<math>|| u ||_{L^{p*} (\mathbb{R}^n)} \leq C || Du ||_{L^p (\mathbb{R}^n)}</math>
for alle <math>u \in C_{c}^{1} (\mathbb{R}^n)</math>.

Her betegner <math>C_{c}^{1} (\mathbb{R}^n)</math> rommet av ''alle kontinuerlige funksjoner <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> med [[støtte (matematikk)|kompakt støtte]]''. Denne ulikheten ble bevist for <math>1 < p < \infty</math> av [[Sergei Sobolev]], og for <math>p = 1</math> både av [[Emilio Gagliardo]] og [[Louis Nirenberg]] (uavhengig av hverandre).<ref name="evans279" /><ref>[[#kinnunen|Juha Kinnunen: ''Sobolev spaces'']], side 42.</ref>

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten impliserer at dersom <math>u \in W^{1, p} (\Omega)</math> er slik at <math>Du = 0</math> [[nesten overalt]] i <math>\Omega</math>, så er også <math>u = 0</math> nesten overalt i <math>\Omega</math>. Videre impliserer det også at for alle <math>q \in [1, p*]</math> gjelder ulikheten
:<math>|| u ||_{L^{q} (\Omega)} \leq C || Du ||_{L^p (\Omega)}</math>
der C er en konstant (kun) avhengig av <math>p</math>, <math>q</math>, <math>n</math> og <math>|\Omega|</math>.<ref>[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], s. 281.</ref><ref>[[#kinnunen|Juha Kinnunen: ''Sobolev spaces'']], side 46.</ref>

===Morreys ulikhet===
Anta at <math>n < p < \infty</math>. Da finnes det en konstant C, avhengig av (kun) p og n, slik at
:<math>|| u ||_{C^{0, \gamma} (\mathbb{R}^n)} \leq C || u ||_{W^{1, p} (\mathbb{R}^n)}</math>
for alle <math>u \in C^{1} (\mathbb{R})</math>, der <math>|| \cdot ||_{C^{0, \gamma}}</math> angir [[Hölder-rom|Hölder-normen]] med eksponent <math>\gamma</math>, og <math>\gamma</math> er gitt ved
:<math>\gamma := 1 - \frac{n}{p}</math>.

Hvis <math>u \in W^{1, p} (\mathbb{R}^n)</math>, så er <math>u</math> altså også ''Hölder-kontinuerlig'' med eksponent <math>\gamma</math>, gitt at man eventuelt tilordner verdier ti l <math>u</math> over en mengde med [[mål (matematikk)|mål]] 0.<ref>[[#Evans|Evans: ''Partial Differential Equations'']], s. 282.</ref>

===Rellichs og Kondrachovs kompakthetsteorem===
Anta at U er en [[begrenset mengde|begrenset]], [[åpen mengde|åpen]] [[delmengde]] av <math>\mathbb{R}^n</math> og at randen <math>\partial U</math> er kontinuerlig. Anta videre at <math>1 \leq p < n</math>. Da er <math>W^{1, p} (U)</math> en kompakt embeddet i <math>L^{p} (U)</math> for alle <math>q \in [1, p^{*})</math>.<ref name="evans288" />

==Referanser==
<references />

==Litteratur==
*{{kilde bok
  | forfatter = Lawrence C. Evans
  | ref=evans
  | utgivelsesår = 2010 
  | tittel= Partial Differential Equations
  | bind = 19
  | utgave = 2
  | utgivelsessted = USA
  | forlag = American Mathematical Society
  | isbn = 978-0-8218-4974-3
}}
*{{kilde www
  | forfatter = Juha Kinnunen
  | ref=kinnunen
  | dato=2020
  | tittel= Sobolev spaces
  | url = https://math.aalto.fi/~jkkinnun/files/sobolev_spaces.pdf
  | besøksdato=13. mai 2020
}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematisk analyse]]
[[Kategori:Normerte rom]]