Redigerer Runge-Lenz-vektor

[[Fil:Kepler trivector.svg|thumb|300px|I en [[ellipse]]formet [[Keplers lover|planetbane]] står [[dreieimpuls]]en '''L''' vinkelrett på baneplanet, mens Runge-Lenz-vektoren '''A''' ligger i dette planet sammen med ''binormalen'' '''B'''.]]
'''Runge-Lenz-vektor''' er en konstant [[vektor (matematikk)|vektor]] som opptrer i beskrivelsen av et astronomisk objekt som beveger seg om et annet ifølge [[Newtons gravitasjonslov]]. Mens den konstante [[dreieimpuls]]en '''L''' til bevegelsen er [[vinkelrett]] på bevegelsesplanet, ligger Runge-Lenz-vektoren '''A''' i dette planet.

Den kan benyttes i astronomien til å vise at bevegelsen til en [[planet]] er [[ellipse]]formet i overensstemmelse med [[Keplers lover|Keplers første lov]] og at en elektrisk ladet partikkel følger en [[hyperbel]] ved [[Rutherford-spredning|Coulomb-spredning]] uten å måtte løse noen av bevegelsesligningene.

Før [[Schrödinger-ligning]]en ble benyttet til å beregne energinivåene til [[hydrogenatom]]et, ble de funnet ved rent [[Hydrogenatom#Kvantemekanisk beregning|algebraiske metoder]] basert på de to konstante vektorene '''L''' og '''A'''. Eksistensen av den ekstra, bevarte Runge-Lenz-vektoren skyldes at både [[Newtons gravitasjonslov|gravitasjonskraften]] og [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] varierer som kvadratet av den inverse avstanden mellom objektene. Dette gir de tilsvarende bevegelsene en høyere [[symmetri]] enn for system som er styrt av andre, sentralsymmetriske krefter.

Navnet til vektoren er forbundet med [[Carl Runge]] som oversatte en bok av [[Josiah Willard Gibbs]] om [[vektoranalyse]] hvor den inngikk og [[Wilhelm Lenz]] som benyttet den i [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering|halv-klassisk]] [[atomfysikk]]. Tidligere var den studert av [[Pierre-Simon Laplace]] og [[Johann Bernoulli]].<ref> H. Goldstein, ''More on the Prehistory of the Laplace or Runge-Lenz Vector'', American Journal of Physics '''44''', 1123-1124 (1976).</ref>

==Matematisk utledning==
Kraften på en partikkel som beveger seg under  påvirkning av [[Newtons gravitasjonslov|gravitasjonskraften]] fra en annen masse eller [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] fra en annen ladning, har formen

: <math> \mathbf{F} = - k{\mathbf{r}\over r^3} </math>

hvor vektoren '''r''' = '''r'''(''t'') angir dens posisjon i forhold  til kraftsenteret og ''k&thinsp;'' er en konstant. Den vil ha en hastighet {{nowrap|'''v''' {{=}} ''d''&thinsp;'''r'''/''dt''}} og en [[bevegelsesmengde|impuls]] {{nowrap|'''p''' {{=}} ''m''&thinsp;'''v'''}} når den har en masse ''m''. Dermed vil den også ha en [[dreieimpuls]] {{nowrap|'''L''' {{=}} '''r''' &times; '''p'''}}. Da bevegelsen er gitt ved  [[Newtons bevegelseslover|Newtons andre ligning]] {{nowrap|''d''&thinsp;'''p'''/''dt'' {{=}} '''F'''}}, følger med en gang at 

: <math> {d\mathbf{L}\over dt} = {d\mathbf{r}\over dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r}\times {d\mathbf{p}\over dt}  = 0 </math>

slik at dreieimpulsen er en konstant eller «bevart» vektor.<ref name = Goldstein> H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addison-Wesley, Massachusetts (1980). ISBN 0-2010-2918-9.</ref>

Men for denne spesielle kraftloven finnes det også en annen, bevart vektor som kan utledes fra 

: <math> \begin{align} {d\mathbf{p}\over dt}\times \mathbf{L} &= - {k\over r^3} \mathbf{r} \times (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) \\ &= {k\over r^3}\left[\mathbf{p}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) - \mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\right]  \end{align} </math>

når man skriver ut det [[Vektorprodukt#Vektorielt trippelprodukt|vektorielle trippelproduktet]] som opptrer her. Den spesielle kombinasjonen av vektorer som opptrer på høyre side, oppstår også ved utregning av

: <math> {d\over dt} {\mathbf{r}\over r} = {1\over r^3}\!\left[{d\mathbf{r}\over dt}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) - \mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot{d\mathbf{r}\over dt})\right]</math>

Det betyr at den tidsderiverte av vektoren

: <math> \mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L}  - mk {\mathbf{r}\over r}  </math>

er null og er derfor konstant under partikkelens bevegelse. Dette er Runge-Lenz-vektoren. I litteraturen kan den være definert med motsatt fortegn eller med en annen, felles multiplikativ faktor.<ref name = Arnold>V.I. Arnold, ''Mathematical Methods of Classical Mechanics'', Springer-Verlag, New York (1989). ISBN 0-387-96890-3.</ref>

===Egenskaper===
[[Fil:Laplace Runge Lenz vector2.svg|thumb|360px|Runge-Lenz-vektoren er den samme uansett hvor i banen partikkelen befinner seg.]]

Baneplanet til partikkelen er definert ved '''r'''&sdot;'''L''' = 0 og inneholder også vektorproduktet '''p'''&thinsp;&times;&thinsp;'''L'''. Runge-Lenz-vektoren ligger derfor i dette planet. Dens lengde er 

: <math> \begin{align} A^2 &= p^2 L^2 + m^2k^2 - 2m{k\over r} \mathbf{r}\cdot \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right) \\
&=  m^2k^2 + 2mEL^2 \end{align} </math> 

fordi '''r'''&sdot;('''p'''&thinsp;&times;&thinsp;'''L''') = ('''r'''&thinsp;&times;&thinsp;'''p''')&sdot;'''L''' = ''L''<sup>2</sup>  og ''E'' = ''p''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m'' - ''k''/''r'' er energien til partikkelen i banen.

Banens form er gitt ved [[skalarprodukt]]et 

: <math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{r} = Ar\cos\theta = \mathbf{r}\cdot \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right) - mkr </math> 

som dermed følger fra ligningen 

: <math> \frac{1}{r} = \frac{mk}{L^{2}} \left( 1 + \frac{A}{mk} \cos\theta \right) </math>

Den beskriver et [[kjeglesnitt]] med [[Semi latus rectum|semi-latus rectum]] {{nowrap|''p'' {{=}} ''L''<sup>2</sup>/''mk''}} og som har  [[Kjeglesnitt#Geometriske definisjoner|eksentrisitet]] {{nowrap|''e'' {{=}} ''A''/''mk''}}. Denne er derfor større eller mindre enn én alt etter som ''A'' > ''mk'' eller ''A'' < ''mk''. Da bundne baner har energi ''E'' <  0, vil de derfor være [[ellipse]]r, mens åpne baner er [[hyperbel|hyperbler]] da de har postiv energi. Dette er i overensstemmelse med [[Keplers lover]].<ref name = Goldstein/>

For snart to hundre år siden studerte [[William Rowan Hamilton]] vektoren 

: <math> \mathbf{B} = \mathbf{p} +\left(\frac{mk} {rL^2}\right) (\mathbf{r}\times\mathbf{L}) </math>

som er definert ved at '''A''' = '''B'''&thinsp;&times;&thinsp;'''L'''. Den står vinkelrett på Runge-Lenz-vektoren og ligger i samme plan som denne. Vanligvis omtales den som banens ''binormal''.<ref name = Arnold/>

===Hamiltons hodograf===

Hamilton studerte hvordan bevegelsen til en partikkel kan uttrykkes ved hastigheten {{nowrap|'''v''' {{=}} ''d''&thinsp;'''r'''/''dt''&thinsp;}} istedenfor ved posisjonen {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''(''t''&thinsp;)}}. En grafisk fremstilling av hvordan vektoren '''v''' = '''v'''(''t''&thinsp;) varierer med tiden, kalles da bevegelsens ''hodograf''.<ref name = Orear> J. Orear, ''Fundamental Physics'', John Wiley & Sons, New York (1965). ISBN  0-4716-5672-0.</ref>

Ved å kvadrere vektoren <math>  mk\mathbf{r}/r = \mathbf{p} \times \mathbf{L}  - \mathbf{A},  </math> finner man sammenhengen

: <math> (mk)^2 = A^2 + p^2 L^{2} + 2 \mathbf{L}\cdot(\mathbf{p}  \times \mathbf{A}) </math>

Den kan forenkles ved å la dreieimpulsen '''L''' være langs ''z''-aksen slik at bevegelsen skjer i ''xy''-planet. Hvis man så velger Runge-Lenz-vektoren '''A''' langs ''x''-aksen, finner man

: <math> p_{x}^{2} + \left(p_{y} - A/L \right)^{2} = (mk/L)^{2} </math>

Da impulsvektorene '''p''' er proporsjonal med de forskjellige hastighetene '''v''' langs banen, ligger disse på en sirkel med radius ''mk''/''L'' og senter på ''y''-aksen i punktet (0,''A''/''L''). Hodografen  for en Kepler-bevegelse er derfor alltid en sirkel uavhengig av eksentrisiteten til banen. I det spesielle tilfellet at selve partikkelbevegelsen er sirkulær, er ''A'' = 0 og hodografen har sitt senter også i origo.<ref> E. Butikov, ''The velocity hodograph for an arbitrary Keplerian Motion'', European Journal of Physics '''21''', 1-10 (2000).</ref>

Denne sirkulære hodografen spiller også en sentral rolle i [[Richard Feynman]]s «fortapte forelesning» ved [[Caltech]] i 1964.<ref>D.L. Goodstein and J.R. Goodstein, ''Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun'', W. W. Norton & Company, New York (1996). ISBN 0-393-03918-8. </ref> Han ville der forklare ved rent geometriske argument hvordan [[Isaac Newton|Newton]] kunne vise fra sin gravitasjonslov at planetene fulgte ellipseformede baner.<ref> J.F. Carinena, M.F. Ranada and M. Santander, [https://mathphys.uva.es/files/2016/09/CarinnenaRannadaSantander_EurJPhys2016.pdf ''A new look at the Feynman ‘hodograph’ approach to the Kepler first law''], European Journal of Physics '''37''',  025004 (2016).</ref>

==Poisson-klammer==

Istedenfor [[Newtons bevegelseslover]] kan man benytte de som inngår i den mer generelle formalismen for [[Hamilton-mekanikk]]. Posisjonen og impulsen til partikkelen følger da lovene

: <math> {d\mathbf{r}\over dt} = [\mathbf{r}, H], \;\;  {d\mathbf{p}\over dt} = [\mathbf{p}, H] </math>

hvor Hamilton-funksjonen <math> H = \mathbf{p}^2\!/2m - k/r \, </math>  er energien ''E&thinsp;'' til partikkelen. Disse bevegelseslovene  er uttrykte ved  [[Hamilton-mekanikk#Poisson-klammer|Poisson-klammer]]  som for to generelle variable <math> A(\mathbf{r},\mathbf{p}) </math> og <math> B(\mathbf{r},\mathbf{p}) </math> er definert som

: <math> [A, B] = {\partial A\over\partial x_n}{\partial B\over\partial p_n} - {\partial B\over\partial x_n}{\partial A\over\partial p_n} </math>

hvor man på høyre side summerer over de to like indeksene. Den fundamentale  eller '''kanoniske''' Poisson-klammen er <math> [x_m, p_n] = \delta_{mn} </math> når den uttrykkes ved [[Kronecker-delta]]et. Man har da generelt at  <math> [p_k, A(\mathbf{r},\mathbf{p})] = -\partial A/\partial x_k. </math> Herav følger at  <math> [\mathbf{p}, H] = -k\mathbf{r}/r^3 </math>  som er Newtons andre lov.<ref name = Goldstein/>

Ved bruk av  det antisymmetriske [[Levi-Civita-symbol]]et kan komponentene til dreieimpulsen '''L''' = '''r'''&thinsp;&times;&thinsp;'''p''' skrives som {{nowrap|''L<sub>k</sub>'' {{=}} ''&epsilon;<sub>kmn</sub>&thinsp;x<sub>m</sub>&thinsp;p<sub>n</sub>''}} når man igjen summerer over like indekser. Dermed blir  {{nowrap|[''L<sub>k</sub>'', 1/''r''&thinsp;] {{=}} 0}}  og  {{nowrap|[''L<sub>k</sub>'', '''p'''<sup>2</sup>] {{=}} 0}} når man gjør bruk av en nyttige identiteten {{nowrap|[''A'', ''BC''] {{=}} ''B''&thinsp;[''A'',''C''] + [''A'',''B'']''C''}}. Dreieimpulsen er derfor en konstant vektor da  {{nowrap| ['''L''', ''H''] {{=}} 0}}. Generelt er Poisson-klammen for '''L''' med alle [[skalar]]e størrelser lik med null.<ref name = Orear/>

Da man har at <math> [L_m, x_n] = \varepsilon_{mnk} x_k </math> og <math> [L_m, p_n] = \varepsilon_{mnk} p_k </math> vil man for en generell vektor '''V''' ha Poissson-klammen <math> [L_m, V_n] = \varepsilon_{mnk} V_k </math>. Dette må gjelde også for '''L''' selv som verifiseres ved direkte utregning. Benytter man da  sammenhengen <math> \varepsilon_{kij}\varepsilon_{kmn} = \delta_{im}\delta_{jn}  -  \delta_{in}\delta_{jm}, </math> finner man

: <math> [L_m, L_n] = x_mp_n - x_np_m = \varepsilon_{mnk} L_k </math>

Dette må gjelde også for Runge-Lenz-vektoren med komponenter 

: <math> A_n = \varepsilon_{nmk}L_m p_k - mk {x_n\over r} </math>

som gir

: <math> [L_m, A_n] = \varepsilon_{mnk} A_k </math>

ved direkte utregning. Denne vektoren er også bevart slik at {{nowrap| ['''A''', ''H''] {{=}} 0}}. Det følger på samme måte fra 

: <math>\begin{align}  & \left[A_n, H\right] =  - k\,\varepsilon_{nmk} L_m \left[p_k, {1\over r}\right] -  k \left[{x_n\over r} , p_m \right]p_m\\ &= {k\over r^3} (\mathbf{L}\times\mathbf{r})_n - {k\over r^3}\left[p_n(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) - x_n(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\right] = 0 \end{align} </math>

fordi de to termene på høyre side kansellerer hverandre. Det betyr igjen at Poisson-klammen {{nowrap|[''A<sub>m</sub>'',''A<sub>n</sub>'']}} også er en bevart størrelse. Direkte utregning gir nå at

: <math>  [A_m, A_n]  = - 2mH \varepsilon_{mnk} L_k </math>

som bekrefter at dette er tilfelle.

For alle sentralsymmetriske system der potensialet ''V'' = ''V''(''r''&thinsp;) er dreieimpulsen '''L''' en bevart vektor. At Kepler-problemet har i tillegg en annen, bevart vektor '''A''' skyldes at ''V&thinsp;'' varierer omvendt proporsjonalt med avstanden ''r''. I den kvantemekaniske beskrivelsen av [[hydrogenatom]]et vil det av samme grunn også finnes to bevarte størrelser '''L''' og '''A''' som har [[Kvantemekanikk#Heisenbergs matrisemekanikk|kommutatorer]] med samme form som disse klassiske Poisson-klammene. Det var det [[Wolfgang Pauli]] benyttet høsten 1925 til å beregne energinivåene i dette atomet rent algebraisk noen måneder før [[Erwin Schrödinger]] fant det samme resultatet ved å løse sin [[Schrödinger-ligning]] med analytiske metoder.<ref name = Pauli> W. Pauli, ''Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik'',  Zeitschrift für Physik '''36''' (5), 336–363 (1926). [http://sphics.com/tc/201801-SIU-P530A/files/Pauli-1926-On-the-spectrum-of-hydrogen-atom--English-translation.pdf PDF] </ref>

==Referanser==
<references />

[[Kategori:Klassisk mekanikk]]
[[Kategori:Himmelmekanikk]]
{{gode nye}}