Redigerer Reductio ad absurdum

'''Reductio ad absurdum''' (latin for «tilbakeførsel til det meningsløse»), '''apagogisk argument''' (gresk ἀπαγωγή [''apagōgē''] = «bortledning») eller '''bevis ved kontradiksjon''' (latin ''contradictio'' = «motsigelse») er en form for [[bevis (vitenskap)|bevisførsel]] i [[logikk]]en. Beviset går ut på at ''[[sannhet|usannheten]]'' av et [[utsagnslogikk|utsagn]] er vist når man kan ''[[deduksjon|dedusere]]'' (avlede) en ''[[kontradiksjon]]'' (selvmotsigelse) fra dette utsagnet. ''Sannheten'' av et utsagn kan bevises indirekte når dette utsagnets ''[[negasjon]]'' (nektelse) på denne måten kan «føres ad absurdum» (eller «reduseres ad absurdum»).

== Eksempler ==
# Vi ønsker å bevise utsagnet «det eksisterer ikke noen minste [[positive tall|positiv]] [[brøk]]». Vi bruker negasjonen av dette utsagnet som premiss og utleder en selvmotsigende konklusjon:
#* Premiss: «Det eksisterer en minste positiv brøk ''x''»
#* Konklusjon 1: «Tallet ''x'' er den minste positive brøken»
#* Definisjon: «Tallet ''y'' defineres som halvparten av ''x''»
#* Konklusjon 2: «Tallet ''y'' er en positiv brøk og mindre enn ''x''»
#* Konklusjon 2 strider mot konklusjon 1. Altså må premisset være usant, og vårt opprinnelige utsagn sant.
# Det klassiske eksempelet på en reductio ad absurdum er [[Euklid]]s bevis for at [[kvadratroten av 2]] er et [[irrasjonalt tall]] ([[kvadratroten av 2#Bevis for irrasjonalitet|se beviset her]]).

== Formalisering ==
[[Utsagnslogikk|Utsagnslogisk]] kan en reductio ad absurdum formaliseres på en av de følgende måtene (der «&and;» står for «[[logisk og|og]]», «&not;» for «[[negasjon|ikke]]», og «&rarr;» for «[[subjunksjon (logikk)|hvis–så]]»):
#<math>[(A \rarr B) \land (A \rarr \neg B)] \Rarr \neg A</math>
#<math>[(\neg A \rarr B) \land (\neg A \rarr \neg B)] \Rarr A</math>
#<math>\{[(A \land B) \rarr C] \land [(A \land B) \rarr \neg C)] \land B\} \Rarr \neg A</math>
#<math>\{[(\neg A \land B) \rarr C] \land [(\neg A \land B) \rarr \neg C)] \land B\} \Rarr A</math>

Eksempelet med en minste positiv brøk er et tilfellet av den første formaliseringen:
: ''A'' = «Det eksisterer en minste positiv brøk ''x''»
: ''B'' = «Tallet ''x'' er den minste positive brøken»
: ''A'' &rarr; ''B''
: ''A'' &rarr; «''x'' er en positiv brøk» &rarr; «<math>\tfrac{x}{2}</math> er en positiv brøk og mindre enn ''x''» &rarr; &not;''B''
:''A'' impliserer altså både ''B'' og &not;''B'' og må dermed være usann.

Hvis en kontradiksjon er utledet fra et ''sett'' med premisser, viser dette at minst ett premiss er usant; men andre metoder må benyttes for å avgjøre hvilket.

I [[intuisjonistisk logikk]] anerkjennes bevisførslene 1 og 3, men ikke 2 og 4.

== Varianter ==
Det fins noen varianter av bevisførselen, som ofte omtales som «reductio ad absurdum» (i&nbsp;vid forstand), men egentlig utgjør svakere bevisformer:
# (egentlig) ''reductio ad absurdum'' («slutning til det meningsløse»): avledning av en selvmotsigelse;
# ''reductio ad falsum'' («slutning til det usanne»): avledning av en (annen) usannhet;
# ''reductio ad impossibile'' («slutning til det umulige»): avledning av en ''[[empiri]]sk'' umulighet;
# ''reductio ad incommodum'' («slutning til det ubeleilige»): avledning av en (annen) uforklarlig påstand.
# ''reductio ad ridiculum'' («slutning til det latterlige»): avledning av en (annen) usannsynlig påstand;

De to første formene er logisk allmenngyldige og kan derfor regnes som tvingende [[bevis (naturvitenskap)|bevis]].

Den tredje formen er bare gyldig i den grad det er absolutt ''sikkert'' at utledningen representerer en umulighet – men siden empiriske (f.eks. [[fysikk|fysiske]]) utsagn aldri er sikre, kan ikke en ''reductio ad impossibile'' regnes som noe bevis i egentlig forstand. «Beviset» er uansett aldri sikrere enn den empiriske kunnskapen som legges til grunn.

De to sistnevnte formene kan ikke kalles bevis i det hele tatt, men fungerer kun som et mer eller mindre plausibelt argument eller som et [[retorikk|retorisk]] virkemiddel. I&nbsp;hverdagsspråket brukes «reductio ad absurdum» gjerne i en av disse siste betydningene.

== Historie ==
Uttrykket kan spores tilbake til [[gresk]] (ἡ ἐις ἄτοπον ἀπαγωγη [''hē eis átopon apagōgē''] = «reduksjon til det umulige»). Det ble bl.a. brukt av [[Aristoteles]].

== Litteratur ==
* {{Kilde bok
| forfatter=C. Thiel
| redaktør=J. Mittelstraß
| utgivelsesår=1995
| artikkel=reductio ad absurdum
| tittel=Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Band 3: P–So
| utgivelsessted=Stuttgart
| forlag=Metzler
| side=516}}
* {{Kilde bok
| forfatter=N. Rescher
| utgivelsesår=2016
| artikkel=Reductio ad Absurdum
| tittel=The Internet Encyclopedia of Philosophy
| url=http://www.iep.utm.edu/reductio/
| besøksdato=13. juli 2016}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Logikk]]
[[Kategori:Beviser]]
[[Kategori:Latinske ord og uttrykk]]
[[Kategori:Matematisk terminologi]]