Redigerer Pytagoreisk trippel

[[Fil:Rtriangle-mathsinegypt.svg|thumb|Pytagoreisk trippel i en rettvinklet trekant]]
Et '''pytagoreisk trippel''' er tre positive [[heltall]] <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math> som oppfyller den [[Pytagoras’ læresetning|pytagoreiske ligningen]]<ref name=HW245>{{Kilde bok | forfatter= G.H. Hardy, E.W. Wright| utgivelsesår=2008| tittel=An introduction to the theory of numbers| forlag=Oxford University Press| utgivelsessted=Oxford| side=245-247| isbn=978-0-19-921985-8}}</ref>

: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>.

En vanlig skrivemåte for et slikt trippel er <math>(a, b, c)</math>, med tallene ordnet i stigende rekkefølge.  Et velkjent eksempel er (3,4,5).
Ved å kreve heltallsløsninger blir Pytagoras ligning en ikkelineær [[diofantisk ligning]].

Navnet «pytagoreisk trippel» har opphav i den greske matematikeren [[Pytagoras]] og [[Pytagoras’ læresetning]].  Dersom alle sidelengdene i en [[rettvinklet trekant]] er heltallsverdier, så danner sidelengdene et pytagoreisk trippel der ''a'' og ''b'' utgjør katetene og ''c'' hypotenusen. Omvendt vil en trekant med sidelengder lik et pytagoreisk trippel være rettvinklet. Mens hypotenusen ''c'' alltid er et [[oddetall]], vil de to katetene ''a'' og ''b'' alltid være et like og et ulike tall.

I et ''primitivt'' pytagoreisk trippel har tallene <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math> ingen felles faktorer.  Det eksisterer flere formler for å konstruere pytagoreiske tripler, både
primitive og ikke-primitive.  

Pytagoreiske tripler har vært kjent både i [[Babylonsk matematikk|babylonsk]], [[Oldtidens egyptiske matematikk|egyptisk]], [[kinesisk matematikk|kinesisk]] og [[indisk matematikk]] lenge før Pytagoras levde.
For en omtale av historien til pytagoreiske tripler, se [[Pytagoras’ læresetning]].

== Primitive pytagoreiske tripler ==

=== Definisjon ===
Dersom <math>(a, b, c)</math> er et pytagoreisk trippel, så vil også <math>(na, nb, nc)</math> være det, for et vilkårlig heltall <math>n</math>.  Fra dette følger det automatisk at det finnes uendelig mange
pytagoreiske tripler.  Dersom de tre tallene <math>a</math>, <math>b</math>, og <math>c</math> ikke har noen felles faktor, så kalles de tre tallene for et ''primitivt'' trippel.<ref name=JS>{{kilde bok |tittel=Roots to research: A vertical development of mathematical problems |forfatter=Judith D. Sally, Paul Sally |språk=en |side=63ff  |url=https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63 |isbn=978-0-8218-4403-8 |år=2007 |forlag=American Mathematical Society Bookstore}}</ref>  
Tallene er da [[relativt primisk]]e. Mens (3, 4, 5) er et primitivt trippel, er (6, 8, 10) et trippel med en felles faktor 2. 

=== Elementære egenskaper ===

For primitive pytagoreiske tripler gjelder følgende elementære egenskaper

* ''c'' er alltid [[oddetall]].  Ett av tallene ''a'' og ''b'' er oddetall, det andre er [[partall]].

=== Eksempler ===

Der finnes 16 primitive pytagoreiske tripler med <math>c \le 100</math>:
{| style="margin:auto;"  cellspacing="0" cellpadding="0"
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (3, 4, 5)
|style="padding:0 1em"| (5, 12, 13)
|style="padding:0 1em"| (8, 15, 17)
|style="padding:0 1em"| (7, 24, 25)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (20, 21, 29)
|style="padding:0 1em"| (12, 35, 37)
|style="padding:0 1em"| (9, 40, 41)
|style="padding:0 1em"| (28, 45, 53)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (11, 60, 61)
|style="padding:0 1em"| (16, 63, 65)
|style="padding:0 1em"| (33, 56, 65)
|style="padding:0 1em"| (48, 55, 73)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (13, 84, 85)
|style="padding:0 1em"| (36, 77, 85)
|style="padding:0 1em"| (39, 80, 89)
|style="padding:0 1em"| (65, 72, 97)
|}

Den følgende listen viser primitive pytagoreiske tripler med <math>100 < c \le 300</math>:

{| style="margin:auto;"  cellspacing="0" cellpadding="0"
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (20, 99, 101)
|style="padding:0 1em"| (60, 91, 109)
|style="padding:0 1em"| (15, 112, 113)
|style="padding:0 1em"| (44, 117, 125)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (88, 105, 137)
|style="padding:0 1em"| (17, 144, 145)
|style="padding:0 1em"| (24, 143, 145)
|style="padding:0 1em"| (51, 140, 149)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (85, 132, 157)
|style="padding:0 1em"| (119, 120, 169)
|style="padding:0 1em"| (52, 165, 173)
|style="padding:0 1em"| (19, 180, 181)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (57, 176, 185)
|style="padding:0 1em"| (104, 153, 185)
|style="padding:0 1em"| (95, 168, 193)
|style="padding:0 1em"| (28, 195, 197)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (84, 187, 205)
|style="padding:0 1em"| (133, 156, 205)
|style="padding:0 1em"| (21, 220, 221)
|style="padding:0 1em"| (140, 171, 221)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (60, 221, 229)
|style="padding:0 1em"| (105, 208, 233)
|style="padding:0 1em"| (120, 209, 241)
|style="padding:0 1em"| (32, 255, 257)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (23, 264, 265)
|style="padding:0 1em"| (96, 247, 265)
|style="padding:0 1em"| (69, 260, 269)
|style="padding:0 1em"| (115, 252, 277)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (160, 231, 281)
|style="padding:0 1em"| (161, 240, 289)
|style="padding:0 1em"| (68, 285, 293)
|}

== Konstruksjon av pytagoreiske tripler ==

Formler for å konstruere pytagoreiske tripler har vært kjent i svært lang tid. I bok X av [[Euklid]]s ''[[Euklids Elementer|Elementer]]'' beskrives hvordan man kan beregne pytagoreiske tripler.<ref name=AH49>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.49 </ref> I moderne notasjonen tilsvarer denne fremgangsmåten uttrykket

:<math> (a,b,c) = (\ 2uv, u^2 - v^2, u^2 + v^2 )</math>

hvor <math>u</math> og <math>v</math> er to vilkårlige, positive heltall som ikke begge er oddetall.  Dessuten er <math> u > v</math>, og de to tallene skal ikke ha noen felles faktor.

En lignende formel var tidligere funnet av [[Pytagoras]],

: <math> (a,b,c) =  \big(m, \tfrac{1}{2}(m^2 - 1), \tfrac{1}{2}(m^2 + 1)\big) </math>

der ''m'' er et [[oddetall]]. En lignende formel ble foreslått av [[Platon]] ved å doble sidelengdene i Pytagoras' formel og så tillate både like og ulike verdier for heltallet ''m''. Begge formlene er spesielle utgaver av den mer generelle formelen til Euklid.<ref name=TH81>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.81 </ref>

== Rasjonale punkt på en enhetssirkel ==

En enkel omforming av ligningen for et pytagoreisk trippel gir

:<math>\left ( \frac{a}{c} \right )^2 + \left ( \frac{b}{c} \right )^2 = 1 </math>

Å finne pytagoreisk tripler svarer altså til å finne et punkt på [[enhetssirkel]]en ''x''<sup>&thinsp;2</sup> + ''y''<sup>&thinsp;2</sup> = 1, der koordinatene er gitt ved to [[rasjonalt tall|rasjonale tall]].<ref name=AH21>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.21ff </ref>

Slike rasjonale punkt på enhetssirkelen kan finnes ved å skjære den med en [[linje|rett linje]] ''y'' = ''t''&thinsp;(''x'' + 1) gjennom punktet (-1,0) og med et [[stigningstall]] ''t'' som er er rasjonalt tall. Innsatt i sirkelligningen, finner man dermed ''x''-koordinaten til skjæringspunktet fra

: <math> (x+1)\left[(x-1) + t^2 (x+1)\right] = 0 </math>

Bortsett fra den trivielle løsningen ''x'' = -1, er den andre løsningen

: <math> x = {1 - t^2\over 1 + t^2}\;\;\;  \text{som betyr at} \;\;  y = {2t\over  1 + t^2} </math>.

Ved å uttrykke det rasjonale tallet ''t'' ved to heltall ''u'' og ''v'' som ''t'' = ''v''/''u'', får man fra denne løsningen (''x,y'') = (''a''/''c'', ''b''/''c'') at 

: <math>\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right) = \left(\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2},\frac{2uv}{u^2+v^2}\right)</math>

som er innholdet av Euklids formel for pytagoreiske trippel.<ref name = Stillwell> J. Stillwell, ''Elements of Number Theory'', Springer-Verlag, New York (2003). ISBN 978-1--4419-3066-8.</ref>

==Pytagoreiske primtall==

Hypotenusen ''c'' i en rettvinklet trekant med sider gitt ved et pytagoreisk trippel (''a,b,c'') er alltid et oddetall. Mange av dem er [[primtall]] ''p''. De ti første er  ''p'' = 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73 og 89. De kalles for «pytagoreiske primtall» og er alle på formen 4''n'' + 1 hvor  ''n'' et et [[naturlig tall]]. Det som gjør dem spesielle, er at hvert av dem kan skrives på en entydig måte som summen av to kvadrat,

: <math> p = u^2 + v^2 </math>

i overensstemmelse med Euklids formel.  For eksempel er 5 = 1<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> og 89 = 5<sup>2</sup> + 8<sup>2</sup>. 

Generelt er summen av et kvadrert liketall og et kvadrert oddetall av formen 4''n'' + 1 eller 4''n'' + 3 der ''n'' et et naturlig tall. Allerede rundt 1640 påpekte [[Pierre de Fermat|Fermat]] at primtall av formen 4''n'' + 1 kan skrives som summen av to kvadrat.<ref name = Stillwell/>

== Generaliseringer ==

Pytagoreiske tripler er løsninger av den diofantiske ligningen

:<math>a^n + b^n = c^n </math>

når <math>n = 2</math>.  [[Pierre de Fermat]] skrev i 1637 i margen til en bok at han hadde funnet et bevis for at ligningen ikke har løsninger for <math>n > 2</math>, uten senere å gi noe bevis.  Påstanden er i ettertiden kalt [[Fermats siste teorem]].  Et bevis for dette teoremet ble først gitt av [[Andrew Wiles]] i 1994.

== Referanser ==
<references/>

== Litteratur ==

*{{Kilde bok
| ref=AH                                           
| forfatter= Holme, Audun
| utgivelsesår=2008
| tittel=Matematikkens historie
| utgivelsessted=Bergen
| forlag=Fagbokforlaget
| bind=1
| isbn=978-82-450-0697-1}}
*{{Kilde bok
| ref=TH                                           
| forfatter= Thomas Heath
| utgivelsesår=1981
| tittel=A history of Greek mathematics
| bind=I
| utgivelsessted=New York
| forlag=Dover Publications
| side=
| isbn=0-486-24073-8 }}

== Eksterne lenker ==

* {{kilde www|url=https://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html |tittel=Pythagorean Triple |utgiver=Wolfram Math World |besøksdato=2021-03-19}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Tallteori]]
[[Kategori:Euklidsk plangeometri]]