Redigerer Potensiell energi

[[File:Amagase Dam.jpg|thumb|300px|Opplagret vann bak en demning har en potensiell energi som kan utnyttes til å produsere [[elektrisk energi]]. Bildet viser Amagase-demningen i [[Japan]].]]
'''Potensiell energi''' eller '''stillingsenergi''' er den [[energi]]en et fysisk system har på grunn av dets posisjon. Dette kan bestå av en samling partikler eller være et fysisk [[legeme (fysikk)|legeme]]. Den potensielle energien kan skyldes at legemet befinner seg i et ytre «kraftfelt» eller at partiklene som det består av, holdes sammen ved krefter som varierer med avstanden mellom dem. Forandres disse avstandene eller posisjonen til legemet i det ytre [[felt]]et, vil den potensielle energien kunne omformes til [[kinetisk energi]] i form av bevegelse eller annen energi.

Alle partikler og legemer som påvirkes av [[tyngdekraften]], har en [[tyngdekraft|gravitasjonell]] potensiell energi proporsjonal med deres masse. Den kan utnyttes ved for eksempel å bygge en [[demning]] som lagrer vann på et høyt punkt i terrenget. Ved å la vannet renne ned til et lavere nivå, kan det drive [[vannturbin|turbinene]] i et [[vannkraftverk]] og produsere [[elektrisk energi]].

Partikler med [[elektrisk ladning]] har en [[elektrisk spenning|elektrisk]] potensiell energi når de påvirkes av andre partikler med elektrisk ladning. Dette skyldes den gjensidige [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]]. Den kan oppleves i [[tordenvær]] hvor slik potensiell energi bygges opp mellom jordoverflaten og skyer. Vannligvis vil den utløses ved et [[lyn]] og gå over i andre energiformer.

Energi som frigjøres i [[kjemisk reaksjon|kjemiske reaksjoner]], skyldes også elektrisk potensiell energi i [[kjemisk binding]]er mellom [[atom]]er som kan innta forskjellige posisjoner i et [[molekyl]]. På samme måte er energien som oppstår ved en [[kjernefysisk fisjon]], resultatet av den potensielle energien i [[atomkjerne]]n som skyldes den [[sterk kjernekraft|sterke kjernekraften]].

Potensiell energi for et fysisk system i en bestemt posisjonering kan defineres som det [[arbeid (fysikk)|arbeid]] som må utføres for å bringe det til en slik tilstand uten at den kinetiske energien til systemet forandres. Kjenner man kreftene som påvirker partiklene i systemet, kan denne definisjonen benyttes til å beregne den potensielle energien. Omvendt kan man for et «konservativt system» finne kreftene fra den potensielle energien. Denne blir da ofte noe upresist omtalt som et '''potensial''' og man sier at systemet beveger seg i dette potensialet.

Mekaniske krefter og tilsvarende potensiell energi er bare veldefinerte i [[Newtons lover|Newtonsk mekanikk]] hvor all bevegelse er mye langsommere enn [[lyshastigheten]]. For [[relativitetsteori|relativistiske system]] vil koordinater for tid og rom blandes sammen. Det betyr at potensiell energi ikke lenger entydig kan skilles fra kinetisk energi slik at man bare kan omtale den totale energien til systemet på en meningsfull måte.

==Innledning==

En masse ''m'' er påvirket av [[tyngdekraften]] ''F = - mg'' hvor ''g'' = 9.81&thinsp;m/s<sup>2</sup> er [[tyngdeakselerasjon]]en ved jordoverflaten.<ref name="ergo-1">N.P. Callin, C.W. Tellefsen, S. Haagensen, J. Pålsgård og R. Stadsnes, ''ERGO Fysikk 1'', Aschehoug, Oslo (2007). ISBN 9788203335051.</ref> Minustegnet viser at den virker nedover. Massen løftes nå en høyde ''z'' > 0. Det gjøres ved å utsette den for en motsatt kraft {{nowrap|''F'&thinsp;'' {{=}} ''mg''}} som beveger den oppover. Nå kan dette gjøres svært langsomt da totalkraften som virker på massen {{nowrap|''F + F'&thinsp;'' {{=}} 0}}. Arbeidet som dermed er utført ved flyttingen, er {{nowrap|''F'&thinsp;z'' {{=}} ''mgz''}}.<ref name="YF">H.D. Young and R.A. Freedman,  ''University Physics'',  Addison Wesley, New York (2008). ISBN 978-0-321-50130-1.</ref> Ifølge definisjonen er dette nå lik med den potensielle energien til massen i sin nye posisjon,

: <math>  U(z) = mgz </math>

Den øker med økende høyde ''z''. Slipper man massen fra denne høyden, vil den falle ned til ''z'' = 0 hvor den har en hastighet ''v''. Det skjer ved at den potensielle energien går over i [[kinetisk energi]]. [[Energiprinsippet|Bevarelse av energi]] sier at disse to energiene må være like store. Det betyr at

: <math> {1\over 2}mv^2 = mgz </math>

slik at hastigheten etter [[fritt fall|fallet]] blir ''v'' = &radic;(2''gz''). Den potensielle energien ''U''(''z'') = ''mgz''&thinsp; kan opplagt også benyttes til produsere annen energi som for eksempel å drive en elektrisk [[dynamo]].

Det eksisterer her en direkte sammenheng mellom den potensielle energien og kraften som virker på massen. I dette tilfellet ser man at  tyngdekraften ''F'' er lik minus den deriverte av den potensielle energien,

: <math> F = - {dU\over dz} </math>

Denne sammenhengen kan lett generaliseres og er svært allmenngyldig. Når det er tilfelle, har man å gjøre med en '''konservativ kraft''' som påvirker systemet. Grunnen er at da vil den totale energien til systemet være bevart eller konservert.<ref name="Tipler">P. Tipler, ''Physics for Scientists and Engineers'', W. H. Freeman, New York (2004). ISBN 0-7167-0809-4.</ref>

===Elastisk energi===
[[Fil:Animated-mass-spring.gif|right|frame|Den potensielle energien i fjæren svinger over til [[kinetisk energi]] av massen.]]
Elastisk potensiell energi er den potensielle energien til et elastisk legeme, for eksempel en [[armbrøst]] eller en [[katapult]], som blir deformert under stramming eller kompresjon, noe som ofte kalles  ''fysisk stress''. Energien oppstår som følge av en kraft som prøver å gjenopprette den opprinnelige formen til legemet. Denne kraften er som oftest den [[elektromagnetisk kraft|elektromagnetiske kraften]] mellom atomer og molekyler i legemet.<ref name="Serway">R.A. Serway and J.W. Jewett, ''Physics for Scientists and Engineers'',  Brooks/Cole, Boston (2004). ISBN 0-534-40842-7.</ref>

Når en elastisk [[fjær (teknikk)|fjær]] strekkes, må man yte en kraft ''F'&thinsp;'' som virker mot den elastiske kraften ''F&thinsp;'' i fjæren.  Disse to er like store og motsatt rettet når dette skjer langsomt. Hvis den strekkes langs ''x''-aksen og følger [[Hookes lov]], er kraften som må brukes proporsjonal med utslaget ''x'' fra likevektsstillingen. Betegnes fjærkonstanten med ''k'', kan man da skrive {{nowrap|''F' {{=}} kx''}} = - ''F''.

Arbeidet som utføres på systemet ved å strekke fjæren et lite stykke ''&delta;x&thinsp;'' blir da ''{{nowrap|&delta;W {{=}} F'&thinsp;&delta;x}} = kx&delta;x''. Den potensielle energien til fjæren er nå gitt ved arbeidet ''W'' som må utføres for å strekke den fra likevektsposisjonen {{nowrap|''x'' {{=}} 0}} til en lengde ''x'',

: <math>   U(x) = \int_0^x kxdx  = {1\over 2} kx^2</math>

Denne energien er alltid positiv som tilsvarer at fjæren yter en motkraft både når den strekkes og trykkes sammen. Festes en masse ''m'' til den ene enden av fjæren samtidig som den holdes fast i den andre enden, vil massen bevege seg opp og ned i tyngdefeltet. Energien skifter regelmessig mellom å være potensiell og kinetisk. Massen utfører en [[harmonisk oscillator|harmonisk svingning]] med en [[vinkelfrekvens]] {{nowrap|''&omega;'' {{=}} &radic;(''k/m'')}}.

Hadde fjærkraften avveket litt fra Hookes lov, ville det bety at den potensielle energien fikk et ekstra tilleggsledd proporsjonal med ''x<sup>4</sup>'' eller tilsvarende slik at den ikke lenger ville ha en rent [[parabol]]sk form. Svingebevegelsen ville igjen bli periodisk, men litt uharmonisk.<ref name = Tipler/>

Ved å derivere den potensielle energien med hensyn på ''x'', får man ''dU''/''dx'' = ''kx'' som igjen er minus kraften ''F'' som fjæren utøver. Den er derfor konservativ.

==Konservative krefter==

Mer generelt vil en partikkel som tilhører et fysisk system, kunne bevege seg i alle tre retninger. Dens posisjon er da gitt ved en [[vektor (matematikk)|posisjonsvektor]]  '''r''' som kan angis ved dens komponenter i et [[kartesisk koordinatsystem]]. Den er påvirket ved en kraft '''F''' fra resten av systemet slik at den må holdes på plass med en motkraft {{nowrap|'''F'''' {{=}} - '''F'''}} for ikke å bevege seg.

Hvis man nå øker kraften '''F'&thinsp;''' litt, kan man flytte partikkelen et lite stykke &delta;'''r''' uten at resten av systemet forandrer seg. Man utfører da [[arbeid (fysikk)|arbeidet]] ''&delta;W'' = '''F''''&thinsp;&sdot;''&delta;''&thinsp;'''r''' som per definisjon vil  være lik forandringen av den potensielle energien til systemet. Dette skjer uendelig langsomt i grensen '''F'''' &rarr; - '''F'''. Ved en endelig flytting av partikkelen fra et punkt '''r'''<sub>1</sub>  til '''r'''<sub>2</sub>  forandres dermed den potensielle energien med

: <math> \Delta U(\mathbf{r}_1\rightarrow \mathbf{r}_2) = - \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} </math>

hvor det er angitt at denne forandringen i alminnelighet avhenger av veien  '''r'''<sub>1</sub> &rarr; '''r'''<sub>2</sub> som partikkelen blir flyttet langs.

[[Fil:Wegunabhaengigkeit im Kraftfeld.svg|thumb|240px|For en konservativ kraft er forflytnings-arbeidet fra ''P''<sub>1</sub> til ''P''<sub>2</sub> uavhengig av veien som det utføres langs.]]
For en '''konservative krefter''' i et fysisk system er den potensielle energien uavhengig av veien som er valgt til å bringe det i en bestemt posisjon.<ref name = YF/> Da kan den skrives som

: <math> \Delta U(\mathbf{r}_1\rightarrow \mathbf{r}_2) = U(\mathbf{r}_2) - U(\mathbf{r}_1)  </math>

hvor ''U''('''r''') sies å være den potensielle energien når partikkelen er i posisjon '''r'''. For at dette skal være matematisk konsistent, må den konservative kraften kunne uttrykkes ved [[gradient]]en til denne energien, '''F''' = - '''&nabla;'''''U''. Bare da vil

: <math>\begin{align}  - \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} &= \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}  \boldsymbol{\nabla}U\cdot d\mathbf{r} = \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\left({\partial U\over\partial x}dx + {\partial U\over\partial y}dy +{\partial U\over\partial z}dz \right) \\
     &= \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} dU  =   U(\mathbf{r}_2) - U(\mathbf{r}_1)\end{align}</math>

Alternativt kan man definere en konservativ kraft ved å bringe systemet rundt en lukket kurve uten at det skal koste noe energi.<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805325-X.</ref> Det kan skje ved å ta det fra   '''r'''<sub>1</sub> &rarr; '''r'''<sub>2</sub> en vei og så fra  '''r'''<sub>1</sub> &rarr; '''r'''<sub>2</sub> langs en annen vei tilbake til utgangspunktet. Da må det lukkete linjeintegralet

: <math> \oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0 </math>

Fra [[Stokes' teorem]] vet man da at dette er alltid oppfylt når

: <math>  \boldsymbol{\nabla} \times  \mathbf{F} = 0 </math>

slik at [[curl]] til den konservative kraften må være null. Det kan igjen bare skje ved at kraften er [[gradient]]en av en skalar funksjon. På den måten kommer man igjen frem til at

: <math>  \mathbf{F} = - \boldsymbol{\nabla}U </math>

Mens [[elektrisk kraft|elektriske krefter]] i [[elektrostatikk]]en er konservative, er derimot [[Lorentzkraft|magnetiske krefter]] ikke konservative. Gjennom [[relativitetsteori]]en er begge kreftene forbundet og kan beskrives på en enhetlig måte. Dette gjøres ved å innføre et [[kovariant relativitetsteori#Ladet partikkel i elektromagnetisk felt|firervektorpotensial]] som inneholder både det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]] og det [[magnetisk felt|magnetiske vektorpotensialet]].<ref name = Griffiths/>

===Energibevarelse===

Et fysisk system som er styrt av konservative krefter, har en total energi som er uforandret ettersom det forandrer seg med tiden. For et ikke-relativistisk system følger det direkte fra [[Newtons andre lov]] som bestemmer denne tidsutviklingen. Det kan enklest vises når systemet består av kun en partikkel med masse ''m'' som påvirket av en konservativ kraft. Bevegelsesligningen uttrykt ved hastigheten '''v''' kan da skrives som  {{nowrap|''md''&thinsp;'''v'''/''dt'' {{=}} - '''&nabla;'''''U''}}. I et infinitesemalt lite tidsrom ''dt'' vil partikkelen bevege seg en tilsvarende liten strekning {{nowrap|''d''&thinsp;'''r''' {{=}} '''v''&thinsp;'''dt''}}. Multipliseres denne med bevegelsesligningen, kan den omskrives til {{nowrap|''m''/2''dv''<sup>2</sup> {{=}} - '''&nabla;'''''U''&sdot;''d''&thinsp;'''r'''}} = -''dU'' etter å ha benyttet at {{nowrap|'''v'''&sdot;''d''&thinsp;'''v''' {{=}} (1/2)''d''('''v'''&sdot;'''v''')}} =  {{nowrap|(1/2)''dv''<sup>2</sup>}}. Beveger partikkelen seg nå et endelig strekning  '''r'''<sub>1</sub> &rarr; '''r'''<sub>2</sub> slik at dens hastighet forandres med '''v'''<sub>1</sub> &rarr; '''v'''<sub>2</sub> , finner man så ved direkte integrasjon at

: <math>  {m\over 2} \int_{\mathbf{v}_1}^{\mathbf{v}_2} dv^2 = {m\over 2}\Big(v_2^2-  v_1^2\Big) =  -\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\boldsymbol{\nabla}U\cdot d\mathbf{r} =  U(\mathbf{r}_1) - U(\mathbf{r}_2) </math>

Dette betyr at den totale energien, som her består av summen av kinetisk og potensiell energi, er konstant under bevegelsen,

: <math>  {1\over 2}m\mathbf{v}_1^2 + U(\mathbf{r}_1) = {1\over 2}m\mathbf{v}_2^2 + U(\mathbf{r}_2) </math>

Man sier at den totale energien er konservert eller bevart. Dette er den mekaniske delen av det mer generelle [[energiprinsippet]].<ref name = Serway/>

===System med flere partikler===

Består systemet av mange partikler, vil den totale, [[kinetisk energi|kinetiske energien]] alltid være summen av de kinetiske energiene til hver av partiklene. Hvis de har masser ''m<sub>a</sub>, ''m<sub>b</sub> etc samt hastigheter  '''v'''<sub>''a''</sub>, '''v'''<sub>''b''</sub> etc, har de da til sammen den kinetiske energien

: <math> K = {1\over 2}m_a\mathbf{v}_a^2 + {1\over 2}m_b\mathbf{v}_b^2 + \cdots </math>

Dette gjelder også for deres totale, potensielle energi såfremt det er ingen krefter som virker mellom partiklene. De vil da kun påvirkes av et ytre kraftfelt ''U''('''r'''). Hvis deres posisjoner er angitt ved vektorene '''r'''<sub>''a''</sub>, '''r'''<sub>''b''</sub> etc, er den totale, potensielle energien til systemet

: <math> U = U(\mathbf{r}_a) + U(\mathbf{r}_b) + \cdots </math>

Kraften som virker på partikkel ''a'', er fremdeles gitt som '''F'''<sub>''a''</sub> = - '''&nabla;'''<sub>''a''</sub>''U''&thinsp; hvor derivasjonen i [[nabla-operator]]en er tatt med hensyn til koordinatene som bestemmer posisjonen '''r'''<sub>''a''</sub>. Det er det samme som først å beregne {{nowrap|'''F''' {{=}} - '''&nabla;'''''U''&thinsp;}} og så sette {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''<sub>''a''</sub>.}} I dette tilfellet er den totale energien til hver partikkel {{nowrap|''E<sub>a</sub>'' {{=}} ''K<sub>a</sub>'' + ''U<sub>a</sub>''&thinsp;}} konstant som betyr at også den totale energien til systemet ''E = E<sub>a</sub> + E<sub>b</sub>'' + ... er bevart. Bevegelsen til alle partiklene kan nå finnes fra bevegelsen til en av partiklene. De beveger seg uavhengig av hverandre.

Mye mer komplisert er et system hvor hver partikkel er påvirket av alle de andre partiklene. Den kinetiske energien kan fremdeles skrives på samme måte, mens den potensielle energien er bare en eller annen funksjon

: <math> U = U(\mathbf{r}_a, \mathbf{r}_b, \ldots) </math>

av koordinatene til alle partiklene som avhenger av hva slags krefter som opptrer. Men oftest viser det seg at man kan med stor nøyaktighet anta at kraften som virker mellom to partikler er upåvirket av de andre partiklene. Slike krefter kalles '''tolegemekrefter''' og ble studert allerede av [[Newton]].<ref name = YF/> Da kan den totale, potensielle  energien til systemet skrives som

: <math> U = \sum_{a < b} U(\mathbf{r}_a - \mathbf{r}_b) </math>

hvor funksjonen ''U''(''r'') bare avhenger av avstanden mellom partiklene ''a'' og ''b''. Den beskriver deres «vekselvirkningsenergi» og er bestemt av kreftene som virker mellom to partikler. Med slike gjendige vekselvirkninger er kun den totale energien {{nowrap|''E'' {{=}} ''K'' + ''U''&thinsp;}} til alle partiklene bevart, mens energien til hver enkelt partikkel ikke lenger er konstant.

== Gravitasjon ==
Potensiell energi som skyldes [[gravitasjon]]skraft er potensiell energi som et legeme har på grunn av sin masse og [[tyngdekraft]]en som påvirker det. Denne typen potensiell energi oppstår for eksempel når et legeme blir hevet i jordens tyngdefelt. Økningen av den potensielle energien til legemet er lik energien som må til for å heve det, eller lik energien som blir frigjort om legemet får falle tilbake til det opprinnelige nivået.<ref name = ergo-1/>

For eksempel kan en tenke seg en bok som er plassert på et bord. For å heve boken frå gulvet til bordet må en utføre et arbeid, noe som krever energi: Om boken blir løftet av en person så vil denne energien komme fra den kjemiske energien som personen har fått fra mat eller annen næring. Denne igjen har sitt opphav fra solenergi som opprettholder fotosyntesen i planter. Bokens potensielle energi kan bli frigjort om den faller ned fra bordet. Når boken faller blir den potensielle energien omgjort til [[kinetisk energi]], og når boken treffer gulvet blir den kinetiske energien igjen omgjort til [[varme]] og [[lyd]].

===Newtons tyngdelov===

[[Fil:Solar sys8.jpg|thumb|300px|Gravitasjonskraften holder planetene i lukkete baner rundt solen.]]

Gravitasjonskraften mellom to masser er beskrevet ved [[Newtons gravitasjonslov|Newtons tyngdelov]]. Den sier at kraften er proporsjonal med hver av massene og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom dem. Strengt tatt er dette bare en korrekt formulering når begge massene er «punktpartikler», det vil si at de ikke har noen utstrekning. Men allerede [[Newton]] viste at loven også gjelder for kuleformete masser når avstanden mellom dem regnes mellom deres [[tyngdepunkt]]. Hvis formen ikke er helt sfærisk, vil avvikene fra loven være svært små. I sin vanlige formulering benyttes den til å utlede [[Keplers lover]] for [[planet]]ene rundt [[Solen]] og beregning av mer kompliserte satellittbaner.

Tyngdeloven formuleres matematisk vanligvis ved å betrakte to slike masser ''m'' og ''M''  som har en gjensidig avstand gitt ved vektoren '''r'''. Gravitasjonskraften som massen ''M'' utøver på massen ''m'', er da gitt ved formelen

: <math> \mathbf{F} = -G{Mm\over r^2}\mathbf{e}_r </math>

hvor ''G'' er [[gravitasjonskonstanten]] og '''e'''<sub>''r''</sub> = '''r'''/''r'' er en enhetsvektor som peker fra ''M'' til ''m''. Minustegnet foran betyr at kraften til tiltrekkende, den trekker ''m'' mot ''M'' og peker derfor i retning motsatt til '''r'''. Like stor, men motsatt rettet virker også tyngdekraften på ''M'' forårsaket av påvirkningen fra ''m''.<ref name="Lien">J.R. Lien og G. Løvhøyden, ''Generell fysikk for universiteter og høyskoler, Bind 1'', Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 9788215000053.</ref>

Denne kraften gir nå massen ''m'' en potensiell energi. Ut fra definisjonen kan den beregnes ved å flytte ''m'' fra posisjonen '''r''' til en ny posisjon '''r'''<sub>0</sub> samtidig som ''M'' holdes i ro. Arbeidet som da utføres er

: <math> \Delta W = - \int_{\mathbf{r}}^{\mathbf{r}_0} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} </math>

og vil være lik forandringen i potensiell energi. I alminnelighet vil en vilkårlig forflytning ''d'''''r'''&thinsp; forgå som en kombinasjon av en forflytning retning gitt ved '''e'''<sub>''r''</sub> samt i en forflytning i en retning vinkelrett på denne. Men siden tyngdekraften ikke har noen komponent i denne retningen, vil den ikke bidra til integralet som gir arbeidet. Det vil derfor være uavhengig av veien som velges i integralet mellom  '''r''' og '''r'''<sub>0</sub> slik at tyngdekraften er konservativ. Her er det et direkte resultat av at den er rettet langs forbindelseslinjen mellom de to massene.

===Potensiell energi===
Den potensielle energien til ''m'' kan enkelt beregnes da man nå kan tenke seg at '''r'''<sub>0</sub> ligger i forlengelsen av vektoren '''r'''. Størrelsen til vektorene angir dermed avstanden mellom de to massene før og etter forflytningen. Nå er ''d''&thinsp;'''r''' = '''e'''<sub>''r''</sub>&thinsp;''dr'' slik at integralet forenkles til

: <math> \Delta W = U(r_0) - U(r) = GMm\int_r^{r_0} {dr\over r^2}  = - {GMm\over r_0} + {GMm\over r}</math>

Dette resultatet gjør det naturlig å kalle

: <math> U(r) = -  {GMm\over r}</math>

for den potensielle energien til massene når den defineres å være null hvis de er uendelig langt fra hverandre. Den er negativ siden massene tiltrekkes av hverandre og kan skrives som ''U''(''r'') = ''m&Phi;''(''r'') hvor

: <math> \Phi(r) = - {GM\over r} + \mbox{konst} </math>

er [[gravitasjonspotensial]]et som massen ''M'' forårsaker og som virker på ''m''. Konstanten i dette uttrykket avhenger av hva man definerer den potensielle energien i forhold til. Vanligvis settes den lik null som tilsvarer at to masser uendelig langt fra hverandre (''r'' &rarr; &infin;) har null potensiell energi.<ref name = Lien/>

Uttrykket for den potensielle energien til de to massene kan da alternativt skrives som

: <math> U(\mathbf{r} - \mathbf{R}) = - {GMm\over |\mathbf{r} - \mathbf{R}|} </math>
 
hvor '''r''' er posisjonsvektoren til massen ''m'' og '''R''' er posisjonsvektoren til ''M''. Den er bestemt av avstanden mellom dem som her skrives som |'''r''' - '''R'''|. Ved å ta [[gradient]]en av dette uttrykket med hensyn til disse to posisjonene, kommer man tilbake til tyngdekreftene som virker på hver av dem.

Hvis en tenker seg at to legemer i rommet blir holdt på plass og så sluppet løs slik at tyngdekreftene mellom dem drar dem mot hverandre, så vil summen av den kinetiske energien til de to legemene bli nøyaktig lik reduksjonen av den potensielle energien til systemet. Summen av den kinetiske energien som de to legemene får målt i deres felles [[massesenter]]system er lik den inverse verdien av forholdet mellom massene deres. I tilfelle der et lett legeme faller mot et stort og massiv legeme (slik som jorden), så blir så godt som all den potensielle energien i systemet overført til det lette legemet, og nesten ingenting til det store legemet.

=== Ved jordoverflaten===

Befinner massen ''m'' seg ved i en høyde ''z'' over jordoverflaten, vil dens avstand fra jordens tyngdepunkt være ''r = R + z&thinsp;'' hvor ''R'' nå er radius til jorden. Den potensielle energien til massen i denne høyden relativt til verdien på selve jordoverflaten er da

: <math>  \Delta U(z) = - {GMm\over R + z} + {GMm\over R} </math>

I vanlige situasjoner er høyden ''z'' << ''R''. Da kan man med stor nøyaktighet skrive at 1/(''R + z'') = 1/''R'' - ''z''/''R''<sup>2</sup>. Den potensielle energien kan derfor forenklet skrives som {{nowrap|''U''(''z'') {{=}} ''mgz''}} etter å ha innført ''g'' = ''GM/R''<sup>2</sup> som er [[tyngdeakselerasjonen]]. Da jordens radius er omtrent 6000&thinsp;km, kan dette forenklete uttrykket for den potensielle energien benyttes med en prosents nøyaktighet for høyder opp til 60&thinsp;km.

==Elektromagnetisme==

Potensiell energi for to  partikler med elektriske ladninger ''q''<sub>1</sub> og ''q''<sub>2</sub> er bestemt ved [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] som virker mellom dem. Er avstanden mellom dem ''r'', har den størrelsen  {{nowrap|''F {{=}} kq''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>/''r''<sup>&thinsp;2</sup>&thinsp;}} hvor konstanten ''k'' er  [[Coulombs konstant]] og er avhengig av hva slags enheter som benyttes. Idag er [[SI|SI-systemet]] det vanlige med verdien {{nowrap|''k''<sup>&thinsp;-1</sup> {{=}} 4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>&thinsp;}} hvor konstanten ''&epsilon;''<sub>0</sub> er [[permittivitet]]en til [[vakuum]] når ladningene befinner seg i det tomme rom. Befinner de seg i et medium, vil den ha en annen verdi.

Denne kraften virker langs forbindelseslinjen mellom de to partiklene og er derfor en konservativ kraft. Den kan derfor skrives som en derivert på måten {{nowrap|''F {{=}} - dV/dr''}}&thinsp; hvor den potensielle energien {{nowrap|''U {{=}} kq''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>/''r''.}} Denne kan skrives som {{nowrap|''U {{=}} q''<sub>1</sub>''V''<sub>2</sub>&thinsp;}} ved å innføre det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]] {{nowrap|''V''<sub>2</sub> {{=}} ''kq''<sub>2</sub>/''r''&thinsp;}} som skyldes den andre partikkelen. Alternativt kan man også skrive den som  {{nowrap|''U {{=}} q''<sub>2</sub>''V''<sub>1</sub>&thinsp;}} hvor nå {{nowrap|''V''<sub>1</sub> {{=}} ''kq''<sub>1</sub>/''r''&thinsp;}} er potensialet som skyldes den første partikkelen.<ref name = Serway/>

Siden Coulomb-kraften har samme matematiske form som gravitasjonskraften, vil også den potensielle energien ha mange likhetspunkter. Men en viktig forskjell er at Coulomb-kraften bare gjelder for ladninger i ro eller som beveger seg langsomt. Hvis ikke det er tilfellet, vil også [[magnetfelt|magnetiske krefter]] opptre mellom ladningene og komme i tillegg til de elektriske kreftene.<ref name = Griffiths/>

===Elektrostatikk===
[[Fil:Denver Lightning.jpg|thumb|280px|Oppbygging av elektrisk, potensiell energi i atmosfæren fører til [[lyn]], her i [[Denver]], USA.]]
Den potensielle energien til et system av [[elektrisitet|elektrisk]] ladete partikler som er i ro, kan beregnes ved de [[elektrostatikk|elektrostatiske lovene]]. De er en direkte konsekvens av Coulombs lov. Betrakter man en partikkel med ladning ''q'' som befinner seg i et [[elektrisk potensial]] ''U''('''r'''), har den per definisjon en potensiell energi

: <math> U(\mathbf{r}) = qV(\mathbf{r}) </math>

Hvis potensialet skyldes en ladning en ladning ''Q'' i punktet med posisjonsvektor '''R''', har det den vanlige Coulomb-formen

: <math> V(\mathbf{r}) = {Q\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{R}|} </math>

Kraften som virker på ladningen ''q'', er gitt ved '''F''' = -'''&nabla;'''''U''. Den kan skrives som {{nowrap|'''F''' {{=}} ''q''&thinsp;'''E'''&thinsp;}} hvor  {{nowrap|'''E''' {{=}} -'''&nabla;'''''V''&thinsp;}} er det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] fra ladning ''Q''.

Befinner flere partikler seg i dette samme potensialet, vil deres potensielle energi være summen av slike bidrag for hver av partiklene,

: <math> U_0(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2}, \ldots) = \sum_a q_a V(\mathbf{r_a}) = {q_1Q\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_1} - \mathbf{R}|} + {q_2Q\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_2} - \mathbf{R}|} + \cdots </math>

Men her kommer i tillegg den potensielle energien ''U''<sub>1</sub>&thinsp; som skyldes Coulomb-kreftene mellom ladningene ''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub> etc. Den er på samme måte gitt ved summen

: <math> U_1(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2}, \ldots) = \sum_{a < b} {q_aq_b\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_a} - \mathbf{r_b}|}  = {q_1q_2\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}|} + {q_1q_3\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_1} - \mathbf{r_3}|} + {q_2q_3\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_2} - \mathbf{r_3}|} + \cdots  </math>

Den totale, potensielle energien for denne samlingen av elektrisk ladete partikler er derfor ''U'' =  ''U''<sub>0</sub> +  ''U''<sub>1</sub>. Et vanlig eksempel hvor dette resultatet er viktig, er innen [[atomfysikk]]en hvor den brukes til å beregne energinivåene  til et atom ved bruk av [[kvantemekanikk]].<ref name="Brehm">J.J. Brehm and W.J. Mullen, ''Introduction to the Structure of Matter'', John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.</ref>

===Elektrisk dipol===

Hvis man beregner det elektriske potensialet langt borte fra en samling av ladninger, et det med god tilnærmelse gitt ved Coulomb-potensialet fra en enkel ladning som er nettoladningen til alle ladningene. I det spesielle tilfellet at denne er nøyaktig lik null, vil det derfor ikke finnes noe Coulomb-potensial fra denne samlingen av ladninger. Det resulterende potensialet vil i stedet være mye svakere og kalles for et «multipolpotensial». Det kan regnes nøyaktig ut ved å summere delpotensialene fra hver ladning på vanlig måte.

Et viktig eksempel er den potensielle energien til en elektrisk [[dipol]] som befinner seg i det elektriske feltet fra andre ladninger. En slik dipol består av to motsatte ladninger {{nowrap|''q''<sub>1</sub> {{=}} - ''q''<sub>2</sub>}} = ''q''&thinsp; som er separert med vektoren {{nowrap|'''d''' {{=}} '''r'''<sub>1</sub> - '''r'''<sub>2</sub>&thinsp;}}. Deres potensielle energi er da

: <math> U = q_1V(\mathbf{r}_1) + q_2V(\mathbf{r}_2)  = q(V(\mathbf{r}) - V(\mathbf{r} - \mathbf{d})) </math>

hvor '''r'''<sub>1</sub> er erstattet med '''r'''. Dipolpotensialet kommer nå frem ved å anta at vektoren '''d''' er mye mindre enn '''r''' slik at potensialet ''V'' kan antas å være tilnærmet det samme på de to stedene ladningene befinner seg. Da er differansen {{nowrap|''V''('''r''') - ''V''('''r''' - '''d''') {{=}} '''d'''&sdot;'''&nabla;'''''V''}} = - '''d'''&sdot;'''E''' ved å innføre det elektriske feltet  {{nowrap|'''E''' {{=}} -'''&nabla;'''''V''&thinsp;}} på stedet ladningene befinner seg. Deres potensielle energi er dermed

: <math> U = - \mathbf{p}\cdot\mathbf{E} </math>

etter å ha definert et '''elektrisk dipolmoment''' for de to nærliggende ladningene som '''p''' = ''q''&thinsp;'''d'''. Denne potensielle energien varierer med avstanden som 1/''r''<sup>2</sup> og avtar dermed raskere enn Coulomb-energien til hver av ladningene som utgjør dipolen.<ref name = Griffiths/>

Innfører man vinkelen ''&theta;'' mellom dipolen og feltet, kan energien skrives som {{nowrap|''U'' {{=}} - ''pE''cos''&theta;''}}. Den er derfor minst når dipolen peker langs det elektriske feltet, og har en maksimal verdi +''pE'' når den rettet i motsatt retning.

===Magnetiske krefter===

En partikkel med elektrisk ladning ''q'' som beveger seg hastighet '''v''' i et [[magnetisk felt]] '''B''' er påvirket av  [[Lorentzkraft|Lorentz-kraften]]

:<math>\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}</math>

Den virker [[vinkelrett]] på partikkelens hastighet og kan derfor ikke utøve noe arbeid. Partikkelen vil dermed ikke ha noen magnetisk, potensiell energi. Lorentz-kraften forårsaker at hastigheten forandrer retning uten at størrelsen på denne forandres. Under sin bevegelse vil partikkelen derfor ha en konstant [[kinetisk energi]] forutsatt at ingen andre krefter virker på den.<ref name = YF/>

Denne spesielle egenskapen ved magnetiske krefter er forbundet med at det ikke finnes [[magnetisk monopol|magnetiske monopoler]] eller frie, magnetiske ladninger. Men likevel finnes det [[magnetisk dipol|magnetiske dipoler]]. Fra [[elektromagnetisme|elektromagnetisk teori]] fremkommer disse ved å la en [[elektrisk strøm]] ''I'' gå i en lukket sløyfe. Hvis denne omslutter et areal ''A'', vil strømsløyfen ha et [[magnetisk moment]] '''m''' = ''IA''&thinsp;'''n'''&thinsp; hvor enhetsvektoren '''n''' står vinkelrett på sløyfen i en retning gitt ved [[høyrehåndsregelen]] brukt sammen med strømretningen. En slik magnetisk dipol har da en potensiell energi

: <math> U = - \mathbf{m}\cdot\mathbf{B} </math>

av samme matematiske form som for en elektrisk dipol.

En [[kompass]]nål er et praktisk eksempel på en magnetisk dipol. I et ytre magnetfelt vil den rette seg inn slik at den peker parallelt med feltet hvor dens potensielle energi er minst. Det magnetiske dipolmomentet til nålen skyldes [[elektron]]ene som beveger seg i [[atom]]ene som den består av. Hvert elektron har sitt eget moment som skyldes [[spinn]]et. I tillegg vil bevegelsen rundt atomkjernen i en lukket bane også gi et bidrag da dette tilsvarer en elektrisk strøm i en sløyfe.<ref name = Tipler/>

===Elektrodynamikk===

På tilsvarende måte som det elektriske feltet kan beregnes fra et [[skalar]]t, elektrisk potensial, kan også det [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] beregnes fra et vektorpotensial. Dette betegnes vanligvis ved '''A'''('''r''',''t'') da det generelt varierer med posisjon '''r''' og tiden ''t''. Ved bruk av [[elektrodynamikk]] kan det beregnes for en samling av elektrisk ladete partikler med bestemte hastigheter på tilsvarende måte som Coulomb-potensialet ''U''('''r''',''t'') kan beregnes fra deres posisjoner. Magnetfeltet kan da beregnes ved å ta [[curl]] av vektorpotensialet slik  at {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;'''&times;'''A'''.}}

En partikkel med ladning ''q'' og hastighet '''v''' som befinner seg i disse elektromagnetiske potensialene, vil da ha en potensiell energi

: <math> U = qV - q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A} </math>

som består av en elektrisk del og en magnetisk del. For et system bestående av mange partikler kan man herav beregne deres totale, elektromagnetiske vekselvirkningsenergi. I tillegg vil systemet også ha en [[felt]]energi som finnes i det elektriske og magnetiske feltet mellom partiklene. Den totale energien for systemet består av denne pluss den potensielle vekselvirkningsenergien pluss den kinetiske energien fra partiklenes bevegelse.<ref name = Brehm/>

== Kjemisk og kjernefysisk energi ==

[[Molekyl]]ene i et fast eller flytende stoff  er sammensatt av atomer som holdes sammen med [[kjemisk binding|kjemiske bindinger]]. Disse skyldes vanligvis Coulomb-krefter mellom ulike deler av atomene med forskjellige ladningsfordelinger. På den måten har et stoff en [[kjemisk energi]] i form av [[bindingsenergi]] som kan frigjøres ved overgang til et annet stoff i en [[kjemisk reaksjon]]. For eksempel, ved [[ild|forbrenning]] av et stoff blir den kjemiske energien omgjort til [[varme]]. Noe av det samme skjer ved fordøying av mat i biologiske organismer. På den måten kan man si at kjemisk energi er en manifestasjon av den underliggende, potensielle energien på atomnivå. Men det ville være feil å kalle den selv for en potensiell energi på den måten som her definert.

Det samme kan man si om [[kjernekraft|kjernefysisk energi]] som blir produsert i en [[atomreaktor]] eller frigjort i en [[atombombe]]. Den potensielle energien til [[proton]]ene og [[nøytron]]ene i en [[atomkjerne]] skyldes [[sterk kjernekraft|sterke kjernekrefter]] på korte avstander og Coulomb-krefter på litt større avstander. Sammen bidrar de til bindingsenergien for atomkjernen og bestemmer dermed også dens masse ved bruk av [[masseenergiloven]] til [[Einstein]].<ref name = Lien/>

Den sterke kjernekraften ble tidligere forsøkt beskrevet ved hjelp av forskjellige [[sterk kjernekraft#Nukleon-nukleon-potensialer|vekselvirkningspotensial]]. I mange tilfeller kan dette gi en ganske god beskrivelse av energiforholdene til [[nukleon]]ene i atomkjernen. Men i dag er det akseptert at dette bare vil kunne gi approksimative resultat. Den korrekte beskrivelsen må baseres på [[sterk kjernekraft|kvantekromodynamikk]] (QCD) for de mer fundamentale [[kvark]]ene og [[gluon]]ene.  En slik [[kvantefeltteori]] er [[spesiell relativitetsteori|relativistisk]] og tillater derfor ikke noen klart skille mellom kinetisk og potensiell energi.<ref name="TD">T.D. Lee, ''Particle Physics and Introduction to Field Theory'', Harwood Academic Publishers, London (1988). ISBN 3-7186-0033-1.</ref>

==Se også==
* [[Kinetisk energi]]
* [[Energikilde]]
* [[Newtons bevegelseslover]]

==Referanser==
<references/>

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Energi]]
[[Kategori:Klassisk mekanikk]]