Redigerer Plan (matematikk)

[[Fil:Intersecting planes.svg|thumb|To plan i det tre-dimensjonale rommet]]
Et '''plan''' eller en '''plan flate''' er i [[matematikk]] et [[geometri]]sk objekt med den egenskapen at en rett [[linje]] gjennom to vilkårlige [[punkt]] i planet er inneholdt fullt og helt i planet. Planet har uendelig utstrekning i to uavhengige retninger, men har null tykkelse.  Et plan er et spesialtilfelle av en [[flate]].

Den bestemte forma «planet» viser ofte til hele det todimensjonale [[euklidsk rom|rommet]] '''E'''<sup>2</sup>.   Adjektivet «plan» brukes også for å beskrive et geometrisk objekt som ligger helt og fullt i et plan, som for eksempel en plan [[kurve]].  ''Plangeometri'' er [[euklidsk geometri]] begrenset til '''E'''<sup>2</sup>, i motsetning til for eksempel ''romgeometri'' eller [[sfærisk geometri]].

''Det komplekse planet'' er en representasjon i '''E'''<sup>2</sup> av mengden av [[komplekst tall|komplekse tall]].

== Formell definisjon ==
Det eksisterer flere ulike alternative og likeverdige måter å beskrive et plan i det tre-dimensjonale euklidske rommet på matematisk.   For eksempel kan et plan defineres som samlingen av punkt (''x'',''y'',''z'') som oppfyller ligningen<ref name = TL-2>R. Tambs-Lyche, ''Matematisk Analyse, Bind II'', Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).</ref>

:<math>ax + by + cz = d. \, </math>

Her representerer ''a'', ''b'', ''c'' og ''d'' konstanter.  Vektoren '''n''' = (''a,b,c'') er en [[normal (geometri)|normal]] til planet. Denne ligningen kan lett skrives om som
{{nowrap|''a''(''x'' - ''x''<sub>0</sub>) + ''b''(''y'' - ''y''<sub>0</sub>) + ''c''(''z'' - ''z''<sub>0</sub>) {{=}} 0}} der [[Vektor (matematikk)|vektoren]] {{nowrap|'''r'''<sub>0</sub> {{=}} (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>,''z''<sub>0</sub>)}} angir et bestemt punkt i planet. Ekvivalent kan man skrive

:<math>\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} -\mathbf{r}_0) = 0 \, </math>

der '''r''' = (''x'',''y'',''z'') angir et vilkårlig punkt i planet.

Alternativt kan planet defineres ved [[parameterfremstilling|parameterforma]]

:<math>\mathbf{r}(u,v) = \mathbf{r}_0 + u \mathbf{r}_1 + v \mathbf{r}_2 \, </math>

Parametrene ''u'' og ''v'' er vilkårlige reelle tall. Vektorene  '''r'''<sub>1</sub> og  '''r'''<sub>2</sub> er antatt å være [[lineær uavhengighet|lineært uavhengige]].  Planet sies å være ''utspent'' av de to vektorene.

Et plan er generelt entydig bestemt dersom en kjenner tre punkt i planet som ikke ligger på en rett [[linje]].  En ligningen for planet er da gitt ved [[determinant]]ligningen

:<math>\begin{vmatrix} 
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\
x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 
\end{vmatrix} = 0. </math>

To plan som ikke er parallelle, vil skjære hverandre langs en rett [[linje]]. Vinkelen mellom planet kalles den [[dihedral vinkel|dihedrale vinkelen]] og er bestemt ved de to normalene '''n'''<sub>1</sub> og '''n'''<sub>2</sub> til planene.

== Spesiell plan  ==
[[Fil:Image_Tangent-plane.svg‎|thumb|Tangentplan til en kuleflate]]
Et ''tangentplan'' til en flate i rommet er et plan som har minst ett punkt felles med flaten og der alle rett linjer gjennom dette punktet er [[tangent (matematikk)|tangenter]] til flaten.<ref name= TL-2/>

''Osculasjonsplanet'' eller ''smygplanet'' til en [[kurve|romkurve]] kan uformelt defineres som planet gjennom tre påfølgende punkt på kurven.   Dette planet er utspent av tangenten og normalen til kurven.

Et ''symmetriplan'' deler et legeme i to like [[symmetri]]ske deler.  Et legeme i rommet som har et symmetriplan sies å være ''refleksjonssymmetrisk''

Et plan som inneholder [[origo]] definerer et [[vektorrom]].  Plan som ikke inneholder origo definerer et [[affint rom]].

Det ''kartesiske planet'' er lik '''R'''<sup>2</sup> definert med et [[kartesisk koordinatsystem]].

== Det komplekse planet ==
[[Fil:Komplexe zahlenebene.svg|frame|Argand-diagram for det komplekse tallet {{nowrap|''z'' {{=}} ''a + ib''}}.]]
Ethvert komplekst tall ''z'' = (''a,b'') = ''a + ib'' kan representeres ved et punkt i et to-dimensjonalt [[kartesisk koordinatsystem]]. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den relle aksen og den imaginære aksen.  Framstillingen i det todimensjonale planet kalles  ''det komplekse planet'', og også ''Argand-diagram'' eller et ''gaussisk plan''.<ref>J. Reed og J. Aarnes, ''Matematikk i vår tid'', Universitetsforlaget, Oslo (1967).</ref>

== Generaliseringer ==

I rom med dimensjoner ''n'' > 3 kan det legges in forskjellige [[rom (matematikk)|underrom]] med dimensjoner fra 1 til ''n''. Et slikt underrom med dimensjon 1 vil være en [[linje]] eller [[kurve]]. Er dimensjonen lik 2, snakker man om en [[flate]]. Det spesielle underrommet med dimensjon ''n'' - 1 er et ''hyperplan'' og har mange matematiske egenskaper som et vanlig plan har i tre dimensjoner.

=== Hyperplan ===
Et plan i det tredimensjonale rommet er et [[affint rom]] med dimensjon 2, som er én mindre enn rommet selv.  I et ''n''-dimensjonalt [[vektorrom]] definerer en tilsvarende et ''hyperplan'' som et affint rom med dimensjonen ''n'' - 1.  Ligningen for hyperplanet er den samme som for et plan i tre dimensjoner:

:<math>\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} -\mathbf{r}_0) = 0 \, </math>

Mer generelt kan en også definere et hyperplan som et [[affint rom]] med dimensjon ''n - k''.

===Affine mangfoldigheter ===
Gitt to vilkårlige punkt i et plan i rommet og en rett linje gjennom disse, så vil planet inneholde alle punkter på linja.  En undermengde av et vektorrom som har den tilsvarende egenskapen, at alle rette linjer gjennom to vektorer i undermengden selv ligger i undermengden, er et [[affint rom]] eller [[mangfoldighet]].

==Referanser==
<references />

==Litteratur==

* A. Howard, ''Elementary Linear Algebra'', John Wiley & Sons, New York (1994). ISBN 0-471-58742-7.

{{Matematikk}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Euklidsk plangeometri]]
[[Kategori:Overflater]]
[[Kategori:Matematiske konsepter]]