Redigerer
Plücker-koordinater
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
[[Fil:Plücker line coordinate geometry.png|thumb|300px|Retningsvektor '''d''' og avstandsvektor '''m''' for en rett linje som går gjennom to punkter '''x''' og '''y'''.]] '''Plücker-koordinater''' beskriver retningen og posisjonen til en vilkårlig, [[linje|rett linje]] i det tredimensjonale [[rom (fysikk)|rommet]]. De utgjør seks [[Projektiv geometri#Homogene koordinater|homogene koordinater]] som benyttes i [[projektiv geometri]]. Da de tilfredsstiller en ekstra betingelse, er der fire slike uavhengige koordinater for linjer i tre dimensjoner. [[Linjekoordinater]] ble innført av [[Julius Plücker]] på midten av 1800-tallet. En viktig anvendelse er å kunne beskrive hvordan linjer i rommet er plassert i forhold til hverandre. Det er en grunn for at de i dag benyttes innen [[robotikk]], [[digitalt fotografi|digital fotografering]] og [[dataassistert konstruksjon]]. Ved å ta i bruk metoder fra projektiv geometri som kan føres tilbake til [[Hermann Grassmann]], kan lignende koordinater innføres til å beskrive hvordan forskjellige [[rom (matematikk)|underrom]] kan legges inn i rom med høyere antall [[dimensjon]]er enn tre. ==Bakgrunn== En rett [[linje]] i tre dimensjoner er entydig gitt ved å angi to punkt med koordinater {{nowrap|'''x''' {{=}} (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>)}} og {{nowrap|'''y''' {{=}} (''y''<sub>1</sub>,''y''<sub>2</sub>,''y''<sub>3</sub>)}} som ligger på den. Av det kunne man tro at det behøves seks koordinater eller parametre for å gi dens plassering og retning i rommet. Men hvis koordinatene til det ene punktet forandres på en slik måte at det ligger på den samme linjen, behøver man i alle fall ikke mer enn fem koordinater. Det riktige antallet er fire. Det kan man se ved å angi retningen til linjen ved retningen til en parallell linje gjennom origo. Til det trenges to koordinater. For å bestemme dens posisjon, kan man gi dens skjæringspunkt med et plan gjennom dette punktet og normalt på linjen. Det krever to nye koordinater. Tilsammen behøves det derfor fire uavhengige parametre. Alternativt kunne man brukt skjæringspunktene mellom linjen og to gitte plan. De er gitt ved de to koordinatene i hvert plan, det vil si ialt fire koordinater. Plücker valgte å benytte skjæringspunktene i to av de tre [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske]] koordinatplanene.<ref name = Plücker> J. Plücker, [https://archive.org/details/neuegeoraum00plucrich/page/n5/mode/2up ''Neue Geometrie des Raumes gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement''], Teubner, Leipzig (1868).</ref> ==Euklidsk geometri== Punktene '''x''' og '''y''' kan betraktes som [[vektor (matematikk)|posisjonsvektorer]] i et tredimensjonalt, [[euklidsk rom]] '''E'''<sup>3</sup>. Retningen til linjen mellom disse to punktene er gitt ved vektoren {{nowrap|'''d''' {{=}} '''y''' - '''x'''}}. For å kunne angi dens posisjon i rommet, kan man benytte [[kryssprodukt]]et {{nowrap|'''m''' {{=}} '''x''' × '''y'''}}. Det representerer arealet av [[trekant]]en som de to punktene danner sammen med origo. Vektoren '''m''' står [[vinkelrett]] på dette planet, og man har {{nowrap|'''d''' ⋅ '''m''' {{=}} 0}}. Men da arealet av trekanten også er gitt ved lengden av '''d''' multiplisert ved avstanden fra origo til linjen, vil '''m''' også inneholde informasjon om denne avstanden i rommet.<ref name = Aveneau> L. Aveneau, [http://xlim-sic.labo.univ-poitiers.fr/publications/files/publi2688.pdf ''Plücker révisité''], Revue Électronique Francophone d’Informatique Graphique, '''3'''(2), 59–68, (2009). </ref> Plückers seks [[linjekoordinater]] er nå gitt som : <math> (\mathbf{d}:\mathbf{m}) = (y_1 - x_1:y_2 - x_2:y_3 - x_3: x_2y_3 - x_3y_2: x_3y_1 - x_1y_3: x_1y_2 - x_2y_1) </math> De er ikke alle uavhengige av hverandre da de må tilfredsstille ligningen '''d'''⋅'''m''' = 0. På komponentform gir den ''Plücker-betingelsen'' : <math> (y_1 - x_1)(x_2y_3 - x_3y_2) + (y_2 - x_2)(x_3y_1 - x_1y_3) + (y_3 - x_3)(x_1y_2 - x_2y_1) = 0 </math> som er identisk oppfylt for alle verdier av koordinatene. Men i tillegg er de uavhengig av nøyaktig hvilke punkt '''x''' og '''y''' man velger på linjen. Med et annet valg {{nowrap|'''x' ''' {{=}} '''x''' + ''α'' '''d'''}} og {{nowrap|'''y' ''' {{=}} '''y''' + ''β'' '''d'''}} slik at retningsvektoren '''d''' forandres til {{nowrap|'''d' ''' {{=}} (1 + ''β'' - ''α'')'''d'''}}. Samtidig vil avstandsvektoren '''m''' forandres til {{nowrap|('''x''' + ''α'' '''d''') × ('''y''' + ''β'' '''d''')}} som ved direkte utregning gir {{nowrap|'''m' ''' {{=}} (1 + ''β'' - ''α'')'''x''' × '''y'''.}} Begge vektorene multipliseres derfor med samme konstant slik at Plücker-koordinatene er [[Projektiv geometri#Homogene koordinater|homogene]] av samme type som benyttes i [[projektiv geometri]]. Disse to egenskapene ved de seks Plücker-koordinatene betyr at bare fire av dem kan variere fritt. To linjer med Plücker-koordinater ('''d''' : '''m''') og ('''d'''' : '''m' ''') som skjærer hverandre, definer et plan. Legger man origo til i koordinatsystemet i deres skjæringspunkt, kan man vise at deres linjekoordinater må være knyttet sammen ved ligningen : <math> \mathbf{d}\cdot\mathbf{m}' + \mathbf{d}'\cdot\mathbf{m} = 0 </math> Da denne må være uavhengig av hvordan origo legges, må den være generelt gyldig og kan benyttes for å sjekke om linjene er koplanare.<ref name = Aveneau/> ===Linjens avstand til origo=== Når man er gitt Plücker-koordinatene ('''d''' : '''m'''), kan man lett finne linjens parameterform ved å ta utgangspunkt i dens minste avstand fra origo. Den opptrer for et punkt '''x'''<sub>0</sub> på linjen som er karakterisert ved at {{nowrap|'''d'''⋅'''x'''<sub>0</sub> {{=}} 0}} da disse to vektorene står vinkelrett på hverandre. Dette punktet må som alle andre punkt på linjen oppfylle {{nowrap|'''x''' × '''d''' {{=}} '''m'''.}} Ved å kryssmultiplisere med '''d''' finner man dermed for punktet som har den minste avstanden, : <math> \mathbf{x}_0 = {1\over d^2}\mathbf{d}\times\mathbf{m} </math> Siden retningen til linjen er gitt ved vektoren '''d''', kan dens Plücker-koordinater benyttes til å skrive den på [[Linje#Linjer i rommet|standard form]] som : <math> \mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + \lambda \mathbf{d} </math> der ''λ'' er en parameter. Med flere linjer tilstede kan man på lignende måte beregne deres relative beliggenhet og avstander fra Plücker-koordinatene. Ofte gir dette en mer direkte fremgangsmåte enn med mer konvensjonelle metoder.<ref name = Pedoe> D. Pedoe, ''A Course of Geometry for Colleges and Universities'', Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.</ref> ==Linjegeometri== En linje som har en retningsvektor med lengde ''d'' = |'''d'''| = 0, har en avstand fra origo som formelt er uendelig stor. Den sies å ligge i det uendelige fjerne. Selv om slike linjer vanligvis har liten praktisk interesse, kan de likevel behandles på samme måte som linjer med endelig avstand ved å tenke seg at de befinner seg i et [[projektivt rom]]. På den måten kan man utvide det [[euklidsk rom|euklidske rommet]] '''E'''<sup>3</sup> hvor hvert punkt har koordinater {{nowrap|'''x''' {{=}} (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>),}} til det tredimensjonale, projektive rommet '''RP'''<sup>3</sup> hvor hvert punkt har fire koordinater, {{nowrap|'''X''' {{=}} ('''x''',''x''<sub>4</sub>).}} Disse er [[Projektiv geometri#Homogene koordinater|homogene]] slik at effektivt er dette rommet også gitt ved tre, uavhengige koordinater. Punkter i det euklidske rommet kan da gjenfinnes ved å sette {{nowrap|''x''<sub>4</sub> {{=}} 1}}. De homogene koordinatene til punktet '''X''' = (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>,''x''<sub>4</sub>) i '''RP'''<sup>3</sup> kan betraktes som å gi retningen til en linje gjennom origo i det euklidske rommet '''E'''<sup>4</sup>. Likedan er en linje i '''RP'''<sup>3</sup> bestemt av et todimensjonalt plan gjennom origo i '''E'''<sup>4</sup>. Dette skjærer planet {{nowrap|''x''<sub>4</sub> {{=}} 1}} i det som kan betraktes som den euklidiske delen av linjen.<ref name = Coxeter> H.S.M. Coxeter, ''Projective Geometry'', Springer-Verlag, New York (1987). ISBN 978-0-387-40623-7.</ref> ===Plücker-matrisen=== Denne sammenhengen gjør det mulig å karakterisere en generell linje i tre dimensjoner ved koordinatene som spesifiserer et plan gjennom origo i '''E'''<sup>4</sup>. Et slikt plan som tilsvarer en linje gjennom de euklidske punktene '''x''' og '''y''', er definert ved det antisymmetriske [[Grassmann-algebra#Kileproduktet|ytreproduktet]] {{nowrap|'''X''' ∧ '''Y'''.}} Hvis nå '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub> og '''e'''<sub>4</sub> er [[Basis (matematikk)|basisvektorer]] i '''E'''<sup>4</sup>, blir denne bivektoren : <math> \mathbf{P} = \mathbf{X} \wedge \mathbf{Y} = X_iY_j\, \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j = {1\over 2}P_{ij}\, \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j </math> og derfor har komponenter : <math> P_{ij} = X_iY_j - X_jY_i </math> De utgjør en antisymmetrisk, 4×4 [[matrise]] hvor alle diagonale komponenter er null og kalles ''Plücker-matrisen''. For en euklidsk linje mellom punktene '''x''' og '''y''' som begge har fjerde komponent ''x''<sub>4</sub> = ''y''<sub>4</sub> = 1, gjenfinner man dermed de tidligere Plücker-koordinatene. Retningsvektoren er gitt som {{nowrap|'''d''' {{=}} (''P''<sub>41</sub>,''P''<sub>42</sub>,''P''<sub>43</sub>)}}, mens de resternde komponentene utgjør avstandsvektoren {{nowrap|'''m''' {{=}} (''P''<sub>23</sub>,''P''<sub>31</sub>,''P''<sub>12</sub>)}}. Planet som bivektoren {{nowrap|'''X''' ∧ '''Y'''}} definerer, kan likså godt formes av to andre vektorer som ligger i samme planet. Disse er da gitt som lineærkombiniasjonene {{nowrap|'''X' ''' {{=}} ''α'' '''X''' + ''β'' '''Y'''}} og {{nowrap|'''Y' ''' {{=}} ''δ'' '''X''' + ''γ'' '''Y'''}}. Deres kileprodukt gir nå en ny bivektor : <math> \mathbf{P}' = \mathbf{X}' \wedge \mathbf{Y}' = (\alpha\gamma - \beta\delta) \mathbf{X} \wedge \mathbf{Y} </math> når man benytter at kileproduktene {{nowrap|'''X''' ∧ '''X''' {{=}} '''Y''' ∧ '''Y'''}} = 0. Alle komponentene vil dermed blir multiplisert ved den samme konstanten, uten at bivektorens geometriske innhold forandres. De seks Plücker-koordinatene er derfor homogene koordinater i et projektivt rom '''PR'''<sup>5</sup>. Hver linje i det tredimensjonale rommet tilsvarer derfor et punkt i dette femdimensjonale rommet.<ref name = Pedoe/> Plücker-matrisene '''P' ''' som tilsvarer de to vektorene '''X' ''' og '''Y'''' i samme planet som '''X''' og '''Y''', vil nå måtte oppfylle {{nowrap|'''P''' ∧ '''P' ''' {{=}} 0}}. Da dette kileproduktet bare har en komponent i retning {{nowrap|'''e'''<sub>1</sub> ∧ '''e'''<sub>2</sub> ∧ '''e'''<sub>3</sub> ∧ '''e'''<sub>4</sub>,}} må den være null. Ved direkte utregning finner man da at : <math> P_{23}P'_{41} + P_{31}P'_{42} + P_{12}P'_{43} + P'_{23}P_{41} + P'_{31}P_{42} + P'_{12}P_{43} = 0 </math> Ved here å sette inn '''P''' = ('''d''' : '''m''') og tilsvarende for '''P'''', kan dette skrives som '''m'''⋅'''d' ''' + '''m''''⋅'''d''' = 0. Det er betingelsen for at de to tilsvarende, tredimensjonale linjene skal ligge i samme planet. ===Klein-kvadrikken=== På samme måte må man for en og samme linje ha at '''P''' ∧ '''P''' = ('''X''' ∧ '''Y''')∧('''X''' ∧ '''Y''') = - '''Y''' ∧ '''X''' ∧ '''X''' ∧ '''Y''' = 0. Ved å sette '''P''' = '''P'''' i resultatet for {{nowrap|'''P''' ∧ '''P' '''}} må Plücker-koordiantene oppfylle : <math> P_{23}P_{41} + P_{31}P_{42} + P_{12}P_{43} = 0 </math> Denne ekstra betingelsen er ekvivalent med {{nowrap|'''d''' ⋅ '''m''' {{=}} 0}} i det euklidske rommet '''E'''<sup>3</sup>. Når man derfor betrakter de seks komponentene til Plücker-matrisen '''P''' som homogene koordinater for et punkt i det femdimensjonale rommet '''PR'''<sup>5</sup>, vil bare de punktene som oppfyller denne ekstra betingelsen tilsvare en linje i det tredimensjonale rommet. De tillatte punktene danner derfor et firedimensjonalt underrom. Da det er gitt ved en [[andregradsflate|kvadratisk ligning]] som koordinatene må oppfylle, kalles det vanligvis for ''Klein-kvadrikken'' etter [[Felix Klein]].<ref name = Todd> J.A. Todd, [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$b528426&view=1up&seq=7 ''Projective and Analytical Geometry''], Pitman Publishing Corporation, New York (1965). ISBN 0-2734-2652-4.</ref> Man kan få et bedre bilde av denne firedimensjonale kvadrikken ved å benytte et nye koordinater som ble innført av Klein.<ref name = Baralic> D. Baralic, [http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/27/tm1428.pdf ''How to understand Grassmannians?''], The Teaching of Mathematics, '''14'''(2), 147–157 (2011).</ref> Da Plücker-koordinatene er antisymmetriske, kan man skrive {{nowrap|''P''<sub>23</sub> {{=}} ''p'' + ''q''}}, {{nowrap|''P''<sub>41</sub> {{=}} ''p'' - ''q''}}, {{nowrap|''P''<sub>31</sub> {{=}} ''s'' + ''t''}}, {{nowrap|''P''<sub>42</sub> {{=}} ''s'' - ''t''}}, {{nowrap|''P''<sub>12</sub> {{=}} ''u'' + ''v''}} og {{nowrap|''P''<sub>43</sub> {{=}} ''u'' - ''v''}}. Plücker-betingelsen tar da formen : <math> p^2 + s^2 + u^2 = q^2 + t^2 + v^2 </math> som er ligningen for Klein-kvadrikken i '''PR'''<sup>5</sup>. Den kan derfor oppfattes som definert ved de to ligningene {{nowrap|''p''<sup> 2</sup> + ''s''<sup> 2</sup> + ''u''<sup> 2</sup> {{=}} ''R''<sup> 2</sup>}} og {{nowrap|''q''<sup> 2</sup> + ''t''<sup> 2</sup> + ''v''<sup> 2</sup> {{=}} ''R''<sup> 2</sup>}} der ''R '' er en parameter. Da hver av disse beskriver en todimensjonal kuleflate S<sup>2</sup>, kan man tenke seg Klein-kvadrikken som den firedimensjonale mangfoldigheten S<sup>2</sup>× S<sup>2</sup>. Det må forstås på lignende måte som at en todimensjonal [[torus]] eller smultring kan [[topologi]]sk betraktes som produktet S<sup>1</sup>× S<sup>1</sup> av to sirkler.<ref name = Todd/> ==Grassmann-mangfoldigheter== [[Fil:Secretsharing-3-point.png|thumb|300px|Hvert todimensjonalt [[plan (matematikk)|plan]] i det tredimensjonale [[vektorrom]]met '''R'''<sup>3</sup> angir et punkt i Grassmann-mangfoldigheten '''Gr'''(2,3).]] Den firedimensjonale Klein-kvadrikken er et eksempel på det som i dag omtales som en Grassmann-mangfoldighet etter [[Hermann Grassmann]]. Den kom frem ved å betrakte vilkårlige linjer i '''E'''<sup>3</sup> som ekvivalent med todimensjonale plan gjennom origo i '''E'''<sup>4</sup>. Man kan derfor betegne denne [[mangfoldighet]]en som '''Gr'''(2,4) for å klargjøre at den kommer frem ved å betrakte alle 2-dimensjonale underrom i et 4-dimensjonalt vektorrom. Det er her '''E'''<sup>4</sup>, men kunne likså godt vært '''R'''<sup>4</sup> da man ikke behøver det euklidske [[indreprodukt]]et.<ref name = BLW> B.L. van der Waerden, ''Einführung in die Algebraische Geometrie'', Springer-Verlag, Berlin (1973). ISBN 978-3-642-86499-5.</ref> En generell Grassmann-mangfoldighet '''Gr'''(''k'',''n'') er definert som mangfoldigheten av alle ''k''-dimensjonale underrom i et ''n''-dimensjonalt vektorrom. Det kan være '''R'''<sup>''n''</sup> eller '''C'''<sup>''n''</sup> hvis [[vektorrom]]met er [[komplekst tall|komplekst]]. Hvis det reelle vektorrommet benyttes, vil derfor '''Gr'''(1,''n'') = '''RP'''<sup>''n'' - 1</sup> som er det (''n'' - 1)-dimensjonale, [[projektiv geometri|projektive rommet]] definert ved alle linjer som går gjennom origo i '''R'''<sup>''n''</sup>. Kanskje det mest kjente eksempel er '''Gr'''(1,3) som er det [[projektivt plan|projektive planet]]. Da hvert plan i et tredimensjonalt vektorrom kan angis ved vektoren vinkelrett på planet, vil '''Gr'''(2,3) og '''Gr'''(1,3) være de samme og betraktes som kuleflater der motsatte punkt identifiseres med hverandre.<ref name = BLW/> Hvert ''k''-dimensjonalt underrom i '''R'''<sup>''n''</sup> kan angis ved ''k'' lineært uavhengige vektorer '''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ... , '''v'''<sub>''k''</sub>. Deres [[Grassmann-algebra#Kileproduktet|ytre produkt]] tilhører vektorrommet Λ<sup>''k''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) av den tilsvarende [[Grassmann-algebra]]en. Vektorrommet har en dimensjon gitt ved [[binomialkoeffisient]]en ''C''(''k'',''n'') som dermed også angir antall, generaliserte Plücker-koordinater som karakteriserer et slikt underrom. De inngår som elementer i en ''k'' × ''k'' Plücker-matrise. For Plückers opprinnelige koordinater var {{nowrap|''n'' {{=}} 4}} og {{nowrap|''k'' {{=}} 2}}, som gir {{nowrap|''C''(2,4) {{=}} 4!/2!⋅2!}} = 6. Beskrivelsen av underrommet må være uavhengig av valg av basisvektorer i dette rommet. Det medfører at disse koordinatene er homogene da alle komponentene forandres med den samme størrelsen ved et slikt basisskifte. Hvert underrom tilsvarer derfor et punkt i et projektivt rom '''RP'''<sup>''N''</sup> med dimensjon ''N'' = ''C''(''k'',''n'') - 1. Men i det generelle tilfellet vil det også være et visst antall Plücker-betingelser som må være oppfylt. Tar man hensyn til disse, er antall uavhengige koordinater {{nowrap|''k''(''n'' - ''k'')}} som dermed er dimensjonen til Grassmann-mangfoldigheten '''Gr'''(''k'',''n''). For {{nowrap|''k'' {{=}} 2}} og {{nowrap|''n'' {{=}} 4}} gir dette 4 som er i overensstemmelse med dimensjonen til Klein-kvadrikken.<ref name = GH> P. Griffiths and J. Harris, ''Principles of algebraic geometry'', John Wiley & Sons, New York (1994). ISBN 978-0-471-05059-9.</ref> ==Referanser== <references/> ==Eksterne lenker== * Y.-B. Jia, [http://web.cs.iastate.edu/~cs577/handouts/plucker-coordinates.pdf ''Plücker Coordinates for Lines in the Space''] {{Wayback|url=http://web.cs.iastate.edu/~cs577/handouts/plucker-coordinates.pdf |date=20200827071857 }}, forelesning I Computer Science ved Iowa State University (2020). * R.I. Liu, [https://riliu.math.ncsu.edu/796/notesse2.html ''Projective spaces and Grassmannians''] {{Wayback|url=https://riliu.math.ncsu.edu/796/notesse2.html |date=20210207104128 }}, forelesning i matematikk ved North Carolina State University (2020). {{Autoritetsdata}} [[Kategori:Elementær geometri]] [[Kategori:Projektiv geometri]]
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Maler som brukes på denne siden:
Mal:Autoritetsdata
(
rediger
)
Mal:Nowrap
(
rediger
)
Mal:Wayback
(
rediger
)
Modul:External links
(
rediger
)
Modul:External links/conf
(
rediger
)
Modul:External links/conf/Autoritetsdata
(
rediger
)
Modul:Genitiv
(
rediger
)
Modul:Wayback
(
rediger
)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon