Redigerer Newtons metode

'''Newtons metode''', også kjent som '''Newton-Raphson-metoden''', er en metode for å finne nullpunkter for [[Funksjon (matematikk)|funksjoner]]. Man finner ikke en eksakt løsning, men en tilnærmelsesverdi med så høy nøyaktighet man ønsker. Før man begynner, må man regne ut den deriverte til funksjonen. Metoden går ut på at man starter fra et punkt i nærheten av et nullpunkt og bruker dette punktet som tilnærmelsesverdi. Så finner man [[Funksjonsgraf|grafens]] [[tangent (matematikk)|tangent]] i punktet, og bruker tangentens skjæringspunkt med x-aksen som ny tilnærmelsesverdi. Prosessen gjentas til man har fått ønsket nøyaktighet. Regneprosessen resulterer i følgende rekursjonsformel: <math>x_{n+1}=x_n-{f(x_n) \over f'(x_n)}</math>.

Det er ikke alle ligninger man kan løse eksakt eller ved regning. Eksempler: cos ''x'' = 2''x'' + 1; ''e<sup>x</sup>'' = ''x'' + 2

Newtons metode virker ikke på alle ligninger.

=== Eksempel ===
Vi ønsker å finne nullpunktet til funksjonen <math display="inline">f(x) = e^x + 2x</math>. Legg merke til at <math display="inline">f(-2) = e^{-2} - 4 < 0</math> og <math display="inline">f(0) = 1 > 0</math>, slik at <math display="inline">f(x)</math> må ha minst ett nullpunkt i intervallet <math display="inline">(-2, 0)</math>. Videre er <math display="inline">f'(x)>0</math> for alle <math display="inline">x</math>, funksjonen er derfor monotont voksende og har bare ett nullpunkt. Den deriverte er lik <math display="inline">f'(x) = e^x+2</math>. Newtons metode blir da:

<math>x_{n+1}=x_{n}-{  e^{x_{n}} + 2x_{n}  \over e^{x_{n}} + 2 }</math>

Dersom vi starter med <math display="inline">x_0 = 1</math> og bruker formelen ovenfor til å regne ut videre verdier, får vi følgende tabell:
{| class="wikitable"
!<math>n</math>
!<math>x_n</math>
|-
|0
|1
|-
|1
|0
|-
|2
| -0.33333333
|-
|3
| -0.35168933
|-
|4
| -0.35173371
|}
Utregningene konvergerer mot det riktige svaret, dette kan vi se ved å regne ut <math>f(-0.35173371) \approx 3.377 \times 10^{-9}</math>. Om metoden konvergerer, og hvor raskt metoden [[Konvergens (matematikk)|konvergerer]], er avhengig av startverdien <math>x_0</math>.

== Eksterne lenker ==
* {{Offisielle lenker}}
* {{Språkikon|en}} [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Newton_method Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Newton method", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4]
* {{MathWorld|title=Newton's Method|urlname=NewtonsMethod}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Optimeringsalgoritmer og -metoder]]