Redigerer
Navier-Stokes-ligningene
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
{{Kildeløs|Helt uten kilder.|dato=10. okt. 2015}} '''Navier–Stokes-ligningene''', oppkalt etter [[Claude-Louis Navier]] og [[George Gabriel Stokes]], er en [[ligning (matematikk)|ligning]] som beskriver bevegelse av [[Viskositet|viskøse]] [[væske]]r og [[gass]]er. Ligningen er en [[Ikke-lineært system|ikke-lineær]], partiell [[differensialligning]]. Vektorligningen er <math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \mathbf{f}.</math> For et newtonsk [[fluid]] kan leddet <math> \nabla \cdot\mathbb{T} </math> erstattes med <math> \mu \nabla^2 \mathbf{v} </math>, der <math> \mu </math> er den dynamiske viskositetskonstanten for fluidet. ==Kartesiske koordinater== Ved å skrive ut komponentene i vektorligningen over får vi følgende ligninger for impulsen i 3-D, :<math> \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}+ w \frac{\partial u}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) + \rho g_x</math> :<math> \rho \left(\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}+ w \frac{\partial v}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right) + \rho g_y</math> :<math> \rho \left(\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y}+ w \frac{\partial w}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) + \rho g_z</math> For en ikke-kompressibel væske gir kontinuitetsligningen: :<math>{\partial u \over \partial x} + {\partial v \over \partial y} + {\partial w \over \partial z} = 0</math> ===Sylinderkoordinater=== Et variabelskifte på ligningssettet i kartesiske koordinater gir impulsligningene for r, θ, og ''z'': :<math> \rho \left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} + u_z \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{u_{\theta}^2}{r}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_r}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u_r}{\partial z^2} - \frac{u_r}{r^2} - \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}\right] + \rho g_r</math> :<math> \rho \left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + u_z \frac{\partial u_{\theta}}{\partial z} + \frac{u_r u_{\theta}}{r}\right) = -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta} + \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_{\theta}}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u_{\theta}}{\partial z^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{r^2}\right] + \rho g_{\theta}</math> :<math> \rho \left(\frac{\partial u_z}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_z}{\partial r} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_z}{\partial \theta} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_z}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}\right] + \rho g_z</math> Kontinuitetsligningen gir: :<math> \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r u_r\right) + \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0.</math> ===Kulekoordinater=== :<math> \rho \left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} - \frac{u_{\phi}^2 + u_{\theta}^2}{r}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \rho g_r</math> ::<math> \mu \left[ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_r}{\partial \phi^2} + \frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_r}{\partial \theta}\right) - 2 \frac{u_r + \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + u_{\theta} \cot(\theta)}{r^2} + \frac{2}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} \right] </math> :<math> \rho \left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_r u_{\theta} - u_{\phi}^2 \cot(\theta)}{r}\right) = -\frac{1}{r} \frac{\partial p}{\partial \theta} + \rho g_{\theta}</math> ::<math> \mu \left[ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_{\theta}}{\partial \phi^2} + \frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}\right) + \frac{2}{r^2} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta} + 2 \cos(\theta) \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi}}{r^2 \sin(\theta)^2} \right] </math> :<math> \rho \left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \theta} + \frac{u_r u_{\phi} + u_{\phi} u_{\theta} \cot(\theta)}{r}\right) = -\frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial p}{\partial \phi} + \rho g_{\phi}</math> ::<math> \mu \left[ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_{\phi}}{\partial \phi^2} + \frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \theta}\right) + \frac{2 \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + 2 \cos(\theta) \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \phi} - u_{\phi}}{r^2 \sin(\theta)^2} \right] </math> Kontinuitetsligningen gir: :<math> \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 u_r\right) + \frac{1}{r \sin(\theta)}\frac{\partial u_\phi}{\partial \phi} + \frac{1}{r \sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) u_\theta\right) = 0</math> {{Autoritetsdata}} [[Kategori:Fluiddynamikk]] [[Kategori:Partielle differensialligninger]]
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Maler som brukes på denne siden:
Mal:Amboks
(
rediger
)
Mal:Autoritetsdata
(
rediger
)
Mal:Kildeløs
(
rediger
)
Modul:Arguments
(
rediger
)
Modul:External links
(
rediger
)
Modul:External links/conf
(
rediger
)
Modul:External links/conf/Autoritetsdata
(
rediger
)
Modul:Genitiv
(
rediger
)
Modul:Kildeløs
(
rediger
)
Modul:Message box
(
rediger
)
Modul:Message box/ambox.css
(
rediger
)
Modul:Message box/configuration
(
rediger
)
Modul:Yesno
(
rediger
)
Denne siden er medlem av 2 skjulte kategorier:
Kategori:Artikler uten kilder
Kategori:Artikler uten kilder, mangler Wikidata
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon