Redigerer Metrisk rom

[[Fil:Hierarchy of mathematical spaces-no.svg|thumb|upright=1.5|Ethvert [[indreprodukt]] er også et [[normert vektorrom]]; ethvert normert vektorrom et metrisk rom; og ethvert metrisk rom et generelt [[topologisk rom]].]]

Et '''metrisk rom''' i [[matematikk]] er en [[mengde]] der det er definert en '''metrikk''' eller et [[avstand | avstandsmål]] mellom to vilkårlige elementer i mengden. Et metrisk rom har en struktur kun bygd opp omkring avstanden mellom to objekter, og definisjonen gjør det mulig å studere matematiske sammenhenger basert på de formelle egenskaper til avstandsmålet.  Et matematisk resultat der beviset bygger ene og alene på de generelle egenskapene til en metrikk, vil være gyldig i alle metriske rom.  

Et eksempel på et metriske rom er ''mengden av [[reelt tall|reelle tall]]'', definert med metrikken <math>d(x,y) = | x - y |</math>. Andre eksempler [[euklidsk rom|euklidske rom ]] '''R'''<sup>n</sup>, definert sammen en avstandsmetrikk, og [[Manhattan-metrikken]] for et sett av punkter i et kartesisk plan, gitt en metrikk basert på en sum av absoluttverdien av koordinatene til disse punktene.

Ethvert metrisk rom er også et [[topologisk rom]], og mengden av alle metriske rom er derfor en undermengde av alle topologiske rom.<ref>[[#ts|G. Buskes, A. van Rooij: ''Topological Spaces'', s. 159]]</ref> Motsatt er alle [[normert vektorrom|normerte vektorrom]], herunder alle [[indreproduktrom]], metriske rom og mengden av alle normerte vektorrom (hhv. alle indreproduktsrom) er derfor ungdermengder av alle metriske rom.

== Formell definisjon ==
Et metrisk rom ''(V,d)'' er en mengde ''V'' der det er definert en ''metrikk'' ''d'', det vil si en  funksjon som  for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

:<math>d : V \times V \to \mathbb{R}^+ </math>

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer ''x'', ''y'' i ''V'':<ref name="rma57-58">[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 57–58]]</ref>

:<math>\begin{array}{lll}
d(x,y) & \ge 0   & \mbox{Ikke-negativ} \\
d(x,y) & = 0 \iff x = y  \\
d(x,y) & = d(y,x) & \mbox{Symmetri} \\
d(x,y)  & \le d(x,z) + d(z,y) \qquad &\mbox{Trekantulikheten} \\
\end{array}   </math>

== Eksempler på metriske rom==
===Mengden reelle tall og absoluttverdien mellom to tall===
Mengden av alle [[reelt tall|reelle tall]] <math>\mathbb{R}</math>, kombinert med en metrikk definert som [[absoluttverdi]]en mellom to [[punkt]]er
:<math>d(x, y) = |x - y|</math>
er et metrisk rom.<ref name="ts84-88">[[#ts|G. Buskes, A. van Rooij: ''Topological Spaces'', s. 84–88]]</ref> Vi har her at
:<math>d(x, y) \leq 0</math>
og lik 0 hvis og bare hvis <math>x = y</math>. Videre er
:<math>d(x, y) = | x - y | = | y - x | = d(y, x)</math>
så symmetribetingelsen er oppfylt, og for alle <math>x, y, z \in \mathbb{R}</math> gjelder
:<math>| x - y | \leq | x - z | + | z - y|</math>,
det vil si at trekantulikheten også gjelder.

===Euklidske rom og avstanden mellom to punkter===
Ethvert [[euklidsk rom]] <math>\mathbf{R}^n</math>, der metrikken er lik avstanden mellom to punkter, gitt ved
:<math>d(x, y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + ... + (x_n-y_n)^2}</math>
er et metrisk rom.<ref name="rma57-58" /> Denne metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis <math>x = y</math>. Videre er den er symmetrisk; å bytte om på x og y vil gi samme avstand:
:<math>(x_i - y_i)^2 = (y_i - x_i)^2</math>
for alle i. [[Trekantulikheten]] holder også: For alle punkter <math>x, y, z \in \mathbb{R}^n</math>, vil
:<math>d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)</math>.<ref>[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 24]]</ref>

Altså er alle betingelser oppfylt – og ethvert euklidsk rom, med metrikk gitt ved avstanden mellom to punkter, utgjør et metrisk rom.

===Euklidske rom og Manhattan-metrikken===
[[Fil:Manhattan_distance.svg|thumb|Manhattan-metrikken er definert langs aksene i et kartesisk koordinatsystem. Den røde, blå og gule linjen representerer samme avstand, den grønne linjen den tilsvarende euklidske metrikken (avstandsmålet).]]
[[Manhattan-metrikk]]en er definert over <math>\mathbb{R}^2</math>, med metrikk gitt ved
:<math>d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = | x_1 - x_2 | + | y_1 - y_2 |</math>
for alle punkter <math>p_1 = (x_1, y_1), p_2 = (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2</math>.<ref>{{MathWorld|title=Taxicab Metric|urlname=TaxicabMetric}}</ref> Dette tilsvarer avstanden man må kjør dersom man følger en kvadratisk gatestruktur mellom to punkter.

===Et generelt rom og en diskret metrikk===
Et annet eksempel på et metrisk rom er en mengde [[punkt]]er <math>S</math> og en diskret metrikk, gitt ved<ref name="rma57-58"/><ref name="ts84-88" />
:<math>d(x, y) = \begin{cases}
0 \quad \text{hvis } x = y \\
1 \quad \text{hvis } x \neq y \\
\end{cases}</math>.
Metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis <math>x = y</math>, så første betingelse er oppfylt. Hvis <math>x = y</math> så er <math>d(x, y) = d(y, x) = 0</math> og hvis ikke så er <math>d(x, y) = d(y, x) = 1</math>; dermed gjelder også symmetribetingelsen. Videre, hvis <math>x, y, z</math> er punkter i rommet <math>S</math>, der <math>x = y</math> så gjelder <math>0 = d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)</math> uansett hva <math>z</math> er. Hvis <math>x \neq y</math> så kan ikke både <math>z = x</math> og <math>z = y</math> (men muligens er én av de sanne) så minst én av <math>d(x, z)</math> og <math>d(z, y)</math> har verdi 1 og dermed gjelder også <math>d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)</math> for alle punkter <math>x, y, z \in S</math>. Ettersom alle betingelsene er oppfylt, er <math>S</math> med tilhørende metrikk et metrisk rom.

==Egenskaper==
=== Konvergens ===
En [[følge]] i et metrisk rom <math>S</math> er en mengde punkter <math>p_0, p_1, p_2, ...</math>, ofte skrevet som <math>\{p_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, i dette rommet. Man sier at en følge ''konvergerer'' til en grense <math>p \in S</math> dersom man for enhver <math>N \in \mathbb{N}</math> kan finne en verdi <math>\epsilon</math> slik at 
:<math>d(p_n, p) \leq \epsilon</math>
for alle <math>n > N</math>.<ref>[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 60]]</ref>

=== Kontinuitet ===
En funksjon <math>f : S_1 \to S_2 </math>, der <math>S_1</math> og <math>S_2</math> er to metriske rom, sies å være kontinuerlig dersom den oppfyller [[epsilon-delta-bevis|epsilon-delta-betingelsen]]: Funksjonen <math>f</math> er kontinuerlig for enhver <math>\epsilon > 0</math>, der <math>\epsilon \in \mathbb{R}</math>, og enhver <math>y \in S_1</math>, finnes en <math>\delta</math> slik at dersom <math>x \in S_1</math> og <math>d(x, y) < \epsilon</math>, så er <math>d(f(x), f(y)) < \delta</math>.<ref>[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 65]]</ref>

===Kompletthet===
{{utdypende|Komplett metrisk rom}}
Et metrisk rom ''V'' sies å være ''komplett'' dersom en hver [[Cauchyfølge]] konvergerer mot et element som også ligger i ''V''. Alle [[lukket mengde|lukkede mengder]] av komplette rom utgjør også i seg selv et komplett rom.<ref>[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 78]]</ref> 

Mengden av reelle tall <math>\mathbb{R}</math> er et eksempel på et komplett metrisk rom; det samme gjelder et generelt m-dimensjonalt euklidsk rom <math>\mathbb{R}</math>. Det er derimot ikke mengden av  [[rasjonale tall]] <math>\mathbb{Q}</math>, dvs tall som kan skrives som en brøk.  I <math>\mathbb{Q}</math> er det mulig å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall.<ref>[[#ts|G. Buskes, A. van Rooij: ''Topological Spaces'', s. 119]]</ref>

===Kompakthet===
En undermengde ''A'' i et metrisk rom ''(V,d)'' er begrenset dersom det eksisterer et objekt ''x'' i ''A'' og en positiv konstant ''M'' slik at 
:<math>d(x,y) < M \ \ \forall y \in S </math><ref>{{MathWorld|title=Bounded Set|urlname=BoundedSet}}</ref>

Et delmengde ''A'' i et metrisk rom ''V'' sies å være ''kompakt'' dersom enhver [[følge]] i ''A'' har en konvergent [[delfølge]]. Enhver kompakt mengde er lukket og begrenset.<ref>[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 79]]</ref> 

==Referanser==
<references />

==Litteratur==
*{{kilde bok
| tittel=Real Mathematical Analysis
| utgiver=Springer
| ref=rma
| forfatter=Charles Chapman Pugh
| utgivelsesår=2002
| utgivelsessted=Berkeley, CA, USA}}
*{{kilde bok
| forfattere=Gerard Buskes, Arnoud van Rooij 
| tittel=Topological Spaces – From Distance to Neighborhood
| utgiver=Springer
| ref=ts
| utgivelsesår=1997
| utgivelsessted=New York, NY, USA}}

==Eksterne lenker==
* {{MathWorld|urlname=MetricSpace|title=Metric Space}}


{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematisk analyse]]
[[Kategori:Topologi]]
[[Kategori:Matematiske strukturer]]
[[Kategori:Topologiske rom]]