Redigerer Metrikk (matematikk)

En '''metrikk''' i [[matematikk]] er en [[Funksjon (matematikk)|funksjon]] som definerer en [[avstand]] eller distanse mellom to elementer i en [[mengde]].   En mengde med en definert metrikk kalles et [[metrisk rom]].

I et [[euklidsk rom]] har en definert avstanden mellom to [[punkt]]er på en måte som sammenfaller med vår dagligdagse bruk av avstandsbegrepet.  I den matematiske definisjonen av en metrikk har en abstrahert egenskapene til avstandsbegrepet, slik at en kan definere en distanse eller metrikk mellom to vilkårlige mengde-elementer, for eksempel mellom to funksjoner.   

En metrikk vil definere en [[topologi]] i mengden, men ikke alle toplogier kan defineres ut fra en metrikk.  En topologi som er avledet av en metrikk sies å være ''metriserbar''.

== Formell definisjon ==
En metrikk for mengden V er en funksjon som  for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

:<math>d : V \times V \to \mathbb{R}^+ </math>

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer ''x'', ''y'' i ''V'':

:<math>\begin{array}{lll}
d(x,y) & \ge 0   & \mbox{Ikke-negativ} \\
d(x,y) & = 0 \iff x = y  \\
d(x,y) & = d(y,x) & \mbox{Symmetri} \\
d(x,y)  & \le d(x,z) + d(z,y) \qquad &\mbox{Trekantulikheten} \\
\end{array}   </math>

Definisjonen formaliserer intuitive egenskaper til en distansefunksjon:  En avstand kan aldri være negativ.  Avstanden mellom to element kan bare være lik null dersom elementene er like.  Avstanden fra ''x'' til ''y'' er like lang som fra ''y''  til ''x''.   Den korteste avstanden mellom to punkt er en rett linje.

== Metrikk-eksempler ==

=== Diskrete metrikk ===
For en vilkårlig mengde er den diskrete metrikken er definert som følger

:<math>\begin{alignat}{3}
d(x,y) & = 0 & \ \mbox{dersom } x = y  \\
d(x,y) & = 1   & \mbox{ellers} \\
\end{alignat}   </math>

=== Euklidsk metrikk ===
Et punkt i det tredimensjonale euklidske rommet kan skrives som ''x'' = (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>).  Metrikken i dette rommet er definert ved

:<math>d(x,y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2}</math>

=== Taxicab-metrikk ===
For det tredimensjonale rommet <math>R^3</math> kan en bruke taxicab-metrikken definert ved

:<math>d(x,y) =  | x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + |x_3 - y_3 | \, </math>.

Denne metrikken er også kjent under navnet Manhattan-metrikken.

== Litteratur ==

*{{Kilde bok
| forfatter=R.D.Milne
| redaktør=
| utgivelsesår=1980 
| artikkel=
| tittel= Applied functional analysis. An introductory treatment. 
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= London
| forlag= Pitman Publishing
| side=
| isbn= 0-273-08404-6
| id=
| kommentar= 
| url= }}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematisk analyse]]
[[Kategori:Topologi]]
[[Kategori:Metrikk (matematikk)]]
Beskrivelse	Hva du skriver	Hva du får
Kursiv	''Kursiv tekst''	Kursiv tekst
Fet	'''Fet tekst'''	Fet tekst
Fet & kursiv	'''''Fet & kursiv tekst'''''	*Fet & kursiv tekst*