Redigerer Matematikk

[[Fil:Euclid.jpg|thumb|Euklid blir av mange regnet som geometriens far, her i et maleri av [[Rafael]].]]

'''Matematikk''' kan beskrives som en gruppe relaterte emner der en studerer objekter karakterisert med størrelse, orientering og/eller form, og også relasjoner mellom disse objektene.<ref name=COLLINS/>
Det finnes imidlertid ingen allment anerkjent definisjon av matematikk. Faget kan også omtales som en vitenskap som undersøker abstrakte strukturer, deres egenskaper og mønstre. 
Studiet av [[tall]] og bruk av tall er sentralt i all matematikk.  

Matematikk kan også betraktes som et [[formelt språk]], med egne symboler, tegn og terminologi, der formalismen blir brukt til å beskrive abstrakte objekter, relasjoner og strukturer.
En matematisk teori er en noenlunde helhetlig kunnskapsmengde, basert på matematiske begrep og uttrykt i et matematisk språk.  
Matematiske teorier blir verifisert i en streng [[deduksjon (filosofi)|deduksjonsprosess]], ut fra spesifiserte [[aksiom]]er og [[definisjon]]er.<ref name=JOUR1/>

Bruken og studiet av matematikk har dype historiske røtter, og spor kan føres langt tilbake i tid til oldtidens Babylon, Egypt, Kina og India.  Fra et praktisk behov for å kunne telle, måle og sammenligne størrelser, har faget utviklet seg gradvis i mer og mer abstrakt retning. Mange store vitenskapsmenn gjennom historien har beskjeftiget seg med matematiske problemstillinger, som [[Euklid]], [[Pytagoras]], [[Galileo Galilei]] og [[Isaac Newton]].  Utviklingen av matematikk har vært gjensidig påvirket av utviklingen av fag der en har brukt matematikk som hjelpemiddel og verktøy.  
Faget har også alltid fascinert i kraft av seg selv og vært studert uten tanke på anvendelser.  

Matematikk inngår som verktøy i nær sagt alle former for vitenskap: naturvitenskap, samfunnsfag, medisin og musikk.<ref name=SIAM1/>  
Som verktøy kan matematikk brukes til å lage ideelle beskrivelser av deler av det virkelige liv, og fra en matematisk teori vil en være i stand til å trekke matematiske slutninger om fenomenet eller objektet som studeres.  
Også industrien bruker mange [[matematisk modell|matematiske modeller]], som ledd i design, produksjon og i beslutningsanalyse.  

Faget matematikk undervises på alle trinn i utdanningssystemet, fra barn begynner å lære å telle og legge sammen, og videre til universitetsnivå.  
En [[matematiker]] er en person med utdanning i matematikk eller som arbeider med matematiske problemstillinger.  Undervisning og læring i matematikk blir behandlet i [[matematikkdidaktikk]]en.

På universitetsnivå er matematikkundervisningen nær knyttet til forskning i faget.  Forskning i matematikk utføres i Norge også ved forskningsinstitutter som [[SINTEF]], [[Norwegian Research Centre|NORCE]] og [[Norsk Regnesentral]], samt i flere industribedrifter.  
Matematisk forskning forsøker å bevise [[hypotese]]r og formodninger, utvikle matematiske arbeidsmetoder og å bygge nye matematiske teorier.

En lang rekke emner og disipliner inngår i matematikk, og grenser mellom de ulike disiplinene er ikke alltid presis. Grunnleggende matematiske emner er [[algebra]], [[aritmetikk]], [[geometri]] og [[matematisk analyse]].  
I [[anvendt matematikk]] studerer en bruk av matematikk i andre fag, mens [[ren matematikk]] arbeider med faget uten tanke på anvendelser.  [[Statistikk]] behandler fordelinger og variasjon i numeriske datamengder, og også tilfeldige prosesser.  I [[numerisk analyse|numerisk matematikk]] studerer en metoder for beregninger med tall, ofte for å finne tilnærmede løsninger på matematiske problemstillinger.  

På norsk brukes både «matematikk» og det uformelle kortordet «matte».  Begrepet «regning» brukes gjerne om elementær aritmetikk, men også om kunnskap til «å bruke matematikk på en rekke livsområder»<ref name=UDIR/>. 

== Definisjon av matematikk ==

Mange forsøk er blitt gjort på å favne begrepet matematikk i en enkel, men samtidig presis definisjon.<ref name=YADAV/>  Det eksisterer imidlertid ingen allment akseptert definisjon av faget.{{tr}}
Selv ikke en kjent bok som «What is Mathematics» gir noen presis definisjon, men hevder at spørsmålet stilt i boktittelen kun kan besvares gjennom lang erfaring med faget.<ref name=COURANT1/>

== Matematikk som vitenskapsdisiplin ==
[[Fil:Gregor Reisch, Margarita Philosophica, 1508 (1230x1615).png|thumb|left|[[Gregor Reisch]], Margarita Philosophica (1508)]]

[[Carl Friedrich Gauss]] har omtalt matematikk som dronningen av vitenskap.{{tr}}  Det har imidlertid i lang tid vært store diskusjon om hvilken kategori innenfor vitenskapene matematikken tilhører. I den engelsk- og fransktalende verden har man ofte ganske enkelt definert matematikk som ''vitenskap'' og man har som regel ikke gjort noen videre differensiering utover dette. 

Mange matematiske problemstillinger og begreper er motivert ut fra spørsmål knyttet til naturen, for eksempel relatert til [[fysikk]] og [[ingeniør]]vitenskaper. 
På mange måter fungerer matematikken som en slags hjelpevitenskap for andre [[naturvitenskap]]er, men matematikk er ikke selv en naturvitenskap i egentlig forstand: Utsagn i matematikk er ikke avhengig av eksperimenter og observasjoner, slik som i de andre naturvitenskapene. 
Likevel blir det – for eksempel i tilknytning til [[Imre Lakatos]]' teorier – antydet en slags «renessanse for empirismen», hvor matematikerne setter opp hypoteser som de undersøker.{{Klargjør}} 

Ved norske universiteter er det vanlig at matematikk organiseres i samme [[Fakultet (utdanning)|fakultet]] som naturvitenskapene, i et matematisk-naturvitenskapelig fakultet eller
teknisk-naturvitenskapelig fakultet.  

I den videregående skolen står matematikk sentralt i [[realfag]]ene. Historisk ble disse fagene oppfattet som eksakte vitenskaper. 

Matematikken har også både metodiske og innholdsmessige fellestrekk med [[filosofi]]en, og faget [[logikk]] hører hjemme i begge vitenskapene. 
Dermed kan en også argumentere for at matematikk hører med til de humanistiske vitenskapene.

== Matematisk arbeidsform og formalisme ==

Matematikkens grunnlag er basert på definisjoner og aksiomer. En definisjon tilordner et begrep til et ord, for eksempel ordet «kvadratrot» og begrepet «tallet som ganget med seg selv blir radikanden». 
Et aksiom eller postulat er et grunnleggende utsagn som godtas uten bevis, som Euklids aksiomer for geometri og [[Peanos aksiomer]] for de naturlige tallene.  
Fra definisjonene og aksiomene kan man ved hjelp av logiske slutninger utlede ytterligere resultat, i en strengt deduktiv prosess.  Et resultat er gjerne uttrykt i form av et [[teorem]], også kalt en «sats» eller «setning».
Et velkjent eksempel er [[den pytagoreiske læresetningen]].

Et [[matematisk bevis]] er et logisk resonnement som bekrefter at et utsagn er «sant», i samsvar med og utledet fra forutsetningene.  Bevisteori studeres som en del av [[matematisk logikk]].
Et [[lemma (matematikk)|lemma]] er i matematikk en mindre hjelpesetning som brukes til å bevise en større setning.
Et matematisk korrolar er en slutning som kan trekkes fra en større setning.  

Med sin aksiomatiske basis og deduktive arbeidsform er matematikk et [[aksiomatisk-deduktivt system]].  

I oppbyggingen av matematikk spiller [[matematisk objekt]] en viktig rolle.  Dette er abstrakte elementer som er formelt og presis definert, og ofte karakterisert ved egenskaper som størrelse, orientering, form og struktur.  
Et av de enkleste og mest grunnlegende matematiske objektene er ''tall'', men listen av definerte objekter er svært stor: [[vektor]]er, [[matrise]]r, [[tensor]]er, [[funksjon (matematikk)|funksjoner]], 
[[distribusjon (matematikk)|distribusjoner]], [[punkt]], [[linjestykke]]r, [[kurve]]r, [[polygon]], [[mengde]]r, [[gruppe (matematikk)|grupper]], [[vektorrom]] osv.  

Mellom matematiske objekt kan en definere mange typer ''relasjoner'', for eksempel at tall A er større en tall B eller at trekant A er [[formlikhet|formlik]] med trekant B.  Noen relasjoner kan generaliseres
til svært mange typer objekter (som likhet og identitet), mens andre er mer spesifikt knyttet til et begrenset antall typer objekter (som formlikhet).   
En [[Funksjon (matematikk)|funksjon]] er en viktig form for relasjon mellom to mengder, som til et hver objekt i den ene mengden knytter et objekt i den andre mengden.  Nært knyttet til funksjoner er også [[operasjon (matematikk)|matematisk operasjoner]] - framgangsmåter som fra ett eller et endelig antall objekter definerer et nytt objekt.  

[[Abstraksjon (matematikk)|Matematisk abstraksjon]] er en prosess der en beskriver objekter og relasjoner løsrevet fra den virkelige verden og også løsrevet fra spesifikke anvendelser.<ref name=ABSTR/>
Et tall er i matematikk et abstrakt konsept eller objekt, løsrevet fra telling av fingre, sauer og andre gjenstander i det virkelige liv.  
Det er et grunnleggende mål i matematikk å kartlegge egenskaper og relasjoner og som gjelder for så stor klasse av objekter som mulig.  
Dette kan gjøres gjennom studiet av [[struktur (matematikk)|matematiske strukturer]], som er mengder av abstrakte objekter utstyrt med et sett av relasjoner og operasjoner.  
Viktige matematiske strukturer er [[gruppe (matematikk)|grupper]], [[kropp (matematikk)|kropper]], [[ring (matematikk)|ringer]], [[topologi|topologiske rom]] og [[vektorrom]]. 

[[Matematiske symboler]] blir brukt til å representere matematiske objekter og relasjoner, inkludert operasjoner. Slik sett kan matematikk karakteriseres som et [[formelt språk]].
Det meste av matematisk notasjon som er i bruk i dag er innført etter 1600-tallet.<ref name=CAJORI/>

En ''matematisk teori'' er en noenlunde helhetlig kunnskapsmengde om et gitt emne, uttrykt i et matematisk språk. Eksempler kan være «funksjonsteori» og «gruppeteori».

== Matematisk forskning ==

=== Forskningsmiljøer ===
Matematisk forskning utføres ved universiteter og høyskoler, ved frittstående forskningsinstitusjoner og i industrien.  I Norge utføre forskning i matematikk ved universitetene i Agder, Bergen, Oslo, Stavanger og Tromsø.
Både SINTEF, NORCE og Norsk Regnesentral er frittstående institusjoner med aktiviteter i matematikk.  

=== Forskningspriser ===

Det eksisterer mange forskningspriser særskilt rettet mot matematikk, og både [[Fieldsmedaljen]] og [[Abelprisen]] er blir kalt «nobelprisen i matematikk».<ref name=FIELDS/><ref name=ABEL/>  
Fieldsmedaljen er oppkalt etter den amerikanske matematikeren [[John Charles Fields]], og prisen deles ut hvert fjerde år av den frittstående organisasjonen [[International Mathematical Union]]. 
Abelprisen er oppkalt etter den norske matematikeren [[Niels Henrik Abel]] og deles ut årlig av [[Det Norske Videnskaps-Akademi]].

Andre kjente priser som deles ut spesifikt i matematikk er [[Leroy P. Steele-prisen]], [[Shawprisen]] og [[Wolfprisen]].  Mer generelle vitenskapspriser er også tildelt matematikere, slik som [[Balzanprisen]] og [[Crafoordprisen]].

[[Viggo Brun-prisen]] tildeles yngre norske forskere for fremragende bidrag i matematikk.  Prisen er oppkalt etter den norske talteoretikeren [[Viggo Brun]] og deles ut av [[Norsk matematisk forening]].<ref name=NMAT/>
 
[[Nobelprisen]] deles ikke ut i matematikk. Spekulasjoner om at dette skyldes rivalisering mellom [[Alfred Nobel]] og den svenske matematikeren [[Gösta Mittag-Leffler]] kan ikke underbygges av historiske fakta.<ref name=NOBEL/>
Flere matematikere har mottatt nobelprisen i andre fag:  
[[John Forbes Nash jr.|John Nash]], [[Leonid Hurwicz]] og [[Clive W.J. Granger|Clive Granger]] fikk hver for seg prisen i økonomi, mens [[Max Born]] har fått prisen i fysikk.  
Matematikeren [[Bertrand Russell]] fikk [[nobelprisen i litteratur]], men i hovedsak for ikke-matematisk arbeid.

=== Forskningsutfordringer ===
Matematisk forskning er like vanskelig å karakterisere som begrepet «matematikk», og forskningen spenner over et svært vidt felt av emner.  I det følgende er noen former for problemstillinger i matematisk forskning skissemessig omtalt, uten krav på å være systematisk, ikke-overlappende eller fullstendig.  

* '''Kjente hypoteser og problem'''

Gjennom historien har det vært framsatt mange [[hypotese]]r og ''formodninger'' (antagelser, påstander, engelsk: conjectures), der en formulert mer eller mindre presise matematiske utsagn uten bevis.
Noen av disse påstandene og hypotesene har vist seg å ikke være riktige, for eksempel [[Marin Mersenne]]s berømte antagelse om [[primtall]].  Andre hypoteser har vært mulig å bevise:  
[[Fermats siste teorem]] ble skrevet som en merknad i 1637 og ble bevist først i 1995, av [[Andrew Wiles]].  Slike formodninger er ofte så mye omtalt og studert at de blir gitt egne navn, og mange står fremdeles uten falsifikasjon eller bevis, for eksempel [[Goldbachs formodning]] og [[Riemann-hypotesen]].  

En hypotese innebærer en gjetning om problemløsningen; en påstand om at det eksisterer en løsning eller et utsagn om formen på løsningen.  Kjente problemstillinger kan imidlertid være formulert mer åpent, uten å si noe om løsningen, og også slike problemstillinger utfordrer forskningen.  
[[Hilbertproblemene]] er en liste på 23 matematiske problem publisert av [[David Hilbert]] i 1900, problem som da de ble publiserte var uten kjent løsning.  Noen av problemene var formulert som formodninger, andre som åpne problem. [[Millenniumprisproblem]]ene er en lignende liste, framsatt i år 2000.  

Forskning kan også resultere i en påvisning av at et formulert problem ''ikke'' har en løsning, slik som [[Leonhard Euler]] viste for problemet kalt «[[Broene i Königsberg]]».

* '''Matematisk teoribygging'''

Mange av de vitenskapelige prisene er de siste årene er begrunnet med utsagn av typen «har gitt viktige bidrag til teorien om ...».  Målet for slik forskning er å bygge opp en så helhetlig kunnskap som mulig om et valgt område.
Dette gjøres på mange måter, ved å kartlege strukturer, undersøke relasjoner til andre grener av matematikk og ved å utlede konsekvenser av en kjent teori.  Ofte bygges en teori stein på stein, som en lang følge av teorem og beviser.  En oversikt publisert i 2005 anslo at databasen ''Mathemathical Reviews''<ref name=REVIEW1/>, en database over vitenskapelige matematiske artikler publisert siden 1940, inneholdt over 1,9 million artikler, og storparten av disse presenterte teorem og tilhørende bevis.<ref name=REVIEW2/>

I samsvar med ønsket om abstraksjon kan generaliseringer og sammenknytninger av ulike teorier være viktige resultat.  
[[Akshay Venkatesh]] fikk Fieldsmedaljen i 2018 for «syntese av analytisk tallteori, homogen dynamikk, topologi og representasjonsteori».<ref name=FIELDS2018/>

* '''Utvikling av matematiske arbeidsmetoder'''

Til hjelp i problemløsning blir det utviklet stadig nye matematiske arbeidsmetoder.  Dette kan være analysemetoder, [[algoritme]]r og løsningsmetoder, modelleringsmetoder, beregningsmetoder osv; alt som utvider den matematiske verktøykassen.

Effektiv bruk av ny datamaskin-teknologi kan for eksempel stille andre og nye krav til metodene som blir benyttet, som
krav til å kunne [[Parallellprosessering|paralleliseres]] på en effektiv måte. 
Forbedring av metoder for å løse svært store [[Lineært ligningssystem|lineære ligningssystem]] er svært viktig for mange praktiske anvendelser.  
  
Kartlegging av egenskaper kan være viktige bidrag til forståelsen av en matematiske metode, for eksempel en undersøking av ''stabilitet'' til en [[numerisk analyse|numerisk metode]]. 

* '''Ligningsløsning'''

Matematisk teori inneholder svært mange typer av [[ligning]]er, og beskrivelse av eksakte og tilnærmede løsninger av ligninger er et utømmelig område for matematisk arbeid. 
[[Differensialligning]]er er svært viktig i all anvendt matematikk.  I ren matematikk studeres blant annet [[algebraisk ligning|algebraiske ligninger]] og [[diofantisk ligning|diofantiske ligninger]].  

Matematikere kan være beryktet for tilsynelatende å være fornøyd med å vise ''eksistens og entydighet'' for løsningen til en ligning:  Selv om ikke greier å vise hva løsningen er, så kan en vise at det eksisterer en og kun en løsning.  

* '''Kartleging av matematiske egenskaper'''

Kartlegging og beskrivelse av matematiske egenskaper til definerte objekter og strukturer er en viktig del av matematisk forskning.  Da nordmannen [[Atle Selberg]] i 1950 fikk Fieldsmedaljen for fremragende matematisk forskning, var dette delvis begrunnet i en karakterisering av nullpunkt i [[Riemanns zetafunksjon]].

* '''Nye områder og anvendelser'''

Faget matematikk blir stadig utvidet til nye felt og tatt i bruk i nye sammenhenger. [[Spillteori]], der matematisk teori brukes til å undersøke adferd og valgsituasjoner, er en relativt ny vitenskapsgrein, utviklet etter andre verdenskrig.  

== Matematikk som verktøy ==
[[Fil:Ars Conjectandi of Jakob Bernoulli, 1713 (1160x1130).png|thumb|right|[[Jakob Bernoulli]]: ''Ars Conjectandi'' (1713)]]
Matematikk blir brukt som hjelpemiddel og verktøy innenfor alle de formaliserte vitenskapene.  I empiriske og eksperimentelle fag er ofte tallbehandling og statistikk grunnleggende viktig.  
[[Matematisk modell|Matematiske modeller]] kan også utledes fra fundamentale prinsipp i en deduktiv prosess og brukes til å trekke matematiske slutninger om det fenomenet eller objektet som studeres.  

[[Numerisk værvarsling|Værmelding]] er et kjent område der bruken av matematikk er svært viktig.  

Industrien benytter mye matematikk til design og konstruksjon, for eksempel 
gjennom [[dataassistert konstruksjon]] og programvare for modellsimuleringer.  Beslutningsprosesser i industrien kan også benytte matematiske metoder, for eksempel gjennom
[[risikoanalyse]].  Undervisningsfaget [[industriell matematikk]] er laget for å studere matematikk ut fra industriens behov.  

I flere århundrer har matematikken blitt utviklet gjennom fremskritt innenfor blant annet [[astronomi]], fysikk og økonomi.  Samtidig har 
matematikken hatt betydning for fremskritt gjort innenfor disse fagområdene:  Isaac Newton utviklet [[infinitesimalregning]]en for å få en bedre forståelse av forholdet mellom krefter og endring av krefter. 
[[Joseph Fourier]] la grunnlaget for det moderne funksjonsbegrepet gjennom studier av varmeledning.   
Friedrich Gauss utviklet den såkalte [[minste kvadraters metode]] og systematiserte løsning av lineære ligninger i forbindelse med landmåling omkring Hannover.

Motsatt finner vi også flere eksempler på at matematikere har utviklet teorier som man først senere har funnet til dels overraskende praktiske anvendelser for. 
Eksempelvis har [[boolsk algebra]] funnet anvendelser innen digitalteknikk og elektrisk styringsteknikk. [[Tallteori]] var i lang tid en slags intellektuell lek uten praktisk nytte, men spiller i vår tid en viktig rolle i [[kryptografi]] – et fagfelt som er avgjørende for bruken av internett. 

== Matematikk i utdanning ==
{{utdypende|Matematikkdidaktikk|Matematikk i norsk skole}}
Matematikk har i alle år vært et av de mest sentrale fagene i norsk skole. Matematikk er eget fagområde i planene for både barnehage, grunnskole og videregående skole. 
De aller fleste høgskoler og universiteter i Norge tilbyr kurs i matematikk. 
I skolen skal faget medvirke til å utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den enkelte trenger. 

Emner og problemstillinger knyttet til undervisning og læring i matematikk blir behandlet i matematikkdidaktikken. Mange elever har vansker med matematikkfaget, og studiet av [[matematikkvansker]] er et sentralt felt som ligger i skjæringspunktet mellom matematikkdidaktikk og [[spesialpedagogikk]].

== Matematikk som rekreasjon ==

Mange finner glede og hjernetrim i matematikk som rekreasjon, ved å løse matematiske nøtter og puslespill og ved å fundere på matematiske paradokser.<ref name=GARDNER/> 
[[Sudoku]] og [[kakuro]] er en kjente former for tallspill.  
I mange [[videospill|dataspill]] er deloppgaver av matematisk karakter, ofte gitt en billedmessig innpakning.  

== Matematiske fagområder ==

:''Se også'': [[Ordliste for matematikk|Liste over fagområder i matematikk]]

Faget matematikk kan deles opp i svært mange delemner, som til dels er overlappende.  Viktige hovedkategorier er ren matematikk, anvendt matematikk, statistikk og numerisk matematikk.  
Grunnleggende emner er felles for alle disse fire områdene.

=== Matematisk basis ===

Matematikk kan grovt deles inn i studier av størrelser, struktur, form og endring, svarende til de fire grunnleggende områdene [[aritmetikk]], [[algebra]], [[geometri]] og [[matematisk analyse|analyse]].  

Aritmetikk er et delemne i [[tallteori]] og studerer tall og grunnleggende operasjoner på disse.  
De grunnleggende [[aritmetikk|aritmetiske]] operasjonene er [[addisjon]], [[subtraksjon]], [[multiplikasjon]] og [[divisjon (matematikk)|divisjon]], og  [[kvadratrot|kvadrering]] 
regnes også ofte med blant disse.<ref name=COLLINS/>

Algebra er studiet av matematiske symboler og regler for behandling av disse.  Mange assosierer algebra med «bokstavregning», selv om dette bare i begrenset omfang beskriver emnet.  
[[Elementær algebra]] omfatter bruk av symboler og [[variabel|variabler]], blant annet i ligninger.  En viktig bestanddel i mange teorier og anvendelser er [[lineær algebra]].
I vid forstand omfatter algebra alt fra ligningsløsning til studiet av abstrakte strukturer som grupper og ringer.

Geometri behandler figurer og form, både i det todimensjonale planet, i det tredimensjonale rommet og også i mer abstrakte rom.  
Klassisk geometri studerer konstruksjoner utført med passer og linjal i planet, i [[euklidsk geometri]].  
Ved å bruke alternative aksiomer kan en også utvikle [[ikke-euklidsk geometri]], av og til omtalt som geometri for ikke-plane flater.  
I [[differensialgeometri]] brukes teknikker fra matematisk analyse til studiet av geometriske former, inkludert differensial- og integralregning.  

Matematisk analyse behandler uendelige prosesser, grenser og grenseverdier, spesielt i forbindelse med [[integrasjon]] og [[derivasjon]] av funksjoner.
Her studeres også [[Følge (matematikk)|følger]] og [[rekke (matematikk)|rekker]] med uendelig mange ledd.  Analysen kan videre deles i [[reell analyse]] og [[kompleks analyse]], avhengig av om en studerer mengde an [[reelt tall|reelle tall]] eller [[komplekst tall|komplekse tall]].  
[[Målteori]] er en grein av analysen som tar utgangspunkt i grunnleggende begreper for lengde, areal og volum, og som på den måten danner basis for integralteori.

=== Ren matematikk ===

{{utdypende|Ren matematikk}}

I ren matematikk studeres faget som verdifullt i seg selv, uten tanke på anvendelser i den virkelige verden.  Motivasjonen for faget ligger i nysgjerrighet og i den intellektuelle utfordringen som problemløsningen gir samt estetikken i de teoriene som skapes, «matematikk som kunst».<ref name=KUNST/>

De fire grunnleggende områdene aritmetikk, algebra, geometri og analyse videreføres i ren matematikk, ofte til en svært abstrakt form. 

I [[abstrakt algebra]] videreføres kjente resultat fra aritmetikk og elementær algebra. Matematiske strukturer som grupper, kropper og ringer danner basis for en abstrakt beskrivelse av objekter og relasjoner.   

[[Algebraisk geometri]] bruker teknikker fra abstrakt algebra for å løse geometriske problemer.  I [[topologi]] studeres geometriske egenskaper som bevares under kontinuerlige transformasjoner. 
 
=== Anvendt matematikk ===

{{utdypende|Anvendt matematikk}}

Anvendt matematikk studerer metoder og teori som kan brukes som hjelpemiddel i andre fag.  Særlig nær tilknytning og symbiose har det vært mellom matematikk og fysikk, der anvendt matematikk inkluderer emner som [[aerodynamikk]], [[akustikk]], [[klassisk mekanikk]] og [[fluidmekanikk|væskemekanikk]].  

Anvendelser kan også hentes fra økonomifag, i [[matematisk økonomi]].  Spesielt er [[samfunnsøkonomi]] sterkt preget av matematiske modeller.  

=== Statistikk ===

{{utdypende|Statistikk}}

I statistikk undersøker en egenskaper til tallfordelinger og også [[Stokastisk prosess|tilfeldige prosesser]].  Det er ulike syn på hvordan statistikk forholder seg til matematikk, om dette er et delemne under matematikk (for eksempel under anvendt matematikk) eller om det skal betraktes som et uavhengig matematisk fag.{{tr}}

Statistikk er et viktig i alle empiriske og eksperimentelle fag, med systematiske metoder for datainnsamling, databeskrivelse, håndtering av usikkerhet og [[hypotesetest]]ing.

Den mer teoretiske delen av statistikken er basert på [[sannsynlighetsteori]].

=== Numerisk matematikk ===

{{utdypende|Numerisk analyse}}

Numerisk analyse studerer metoder og algoritmer for å utføre beregninger med tall. Algoritmene er ofte konstruert for å finne tilnærmede løsninger på matematiske problemstillinger som vanskelig lar seg løse eksakt.  Dette omfatter for eksempel numerisk løsning av differensialligninger og numerisk løsning av svært store lineære ligningssystemer. 

Numerisk analyse kan betraktes som en del av matematisk analyse eller som et delemne under anvendt matematikk, men også som en selvstendig matematisk disiplin.  

Numerisk matematikk har hatt en eksplosiv utvikling parallelt med utviklingen av datateknologi og med industrielle behov for å utføre svært store beregningsoppgaver.  

== Historie ==
:''Hovedartikkel: [[Matematikkens historie]]''

=== Etymologi ===
Ordet «matematikk» (gresk: μαθηματικά eller ''mathēmatiká'') kommer fra det greske ordet μάθημα (''máthēma''), som betyr læring, studie og vitenskap.<ref name=TERM1/> Filosofen [[Platon]] hevdet at en person ikke kunne være lærd uten å kjenne til matematikk.  Ordet [[Universalgeni|polymath]] ble brukt av grekerne for å betegne en person med stor kunnskap, ikke bare i matematikk.  Alt i klassisk tid fikk ordet ''máthēma'' etter hvert en mer avgrenset og teknisk betydning, som «matematisk studie». Adjektivet μαθηματικός (''mathēmatikós'') er også relatert til læring, med gradvis utvikling til betydningen «matematisk». 

Uttrykket μαθηματικὴ τέχνη (''mathēmatikḗ tékhnē''), på latin ''ars mathematica'', betyr matematisk kunst. 

=== Historisk oversikt ===

[[Fil:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|thumb|right|Den egyptiske Rhind-papyrusen]]

Matematikk er en av de eldste vitenskapene vi har. De eldste matematiske skriftene er funnet fra oldtidens Mesopotamia fra ca 1800 f.Kr. og fra Egypt, ca 1300 f.Kr.  Den pytagoreiske læresetning var kjent i Mesopotamia lenge før Pytagoras levde.  Tidlige tekster er også funnet i India, de eldste fra omkring 800 f.Kr.  Blant de eldste kinesiske verkene er boka [[Zhoubi Suanjing]] tidfestet til omkring 300 f.Kr.  

En tidlig blomstringstid fant sted i [[antikkens Hellas]]. Pytagoras dannet sin skole som blandet matematikk, filosofi og mystikk i sydspissen av [[Italia]] omkring 500 før Kristus.  
I gresk matematikk finner vi de første seriøse forsøk på logiske beviser og aksiomatisering, særlig gjennom den 
[[Euklidsk geometri|euklidske geometrien]].  Euklid fra Alexandria (født omkring 300 f.Kr) skrev verket ''[[Euklids Elementer|Elementer]]'', som har fungert som lærebok i over 2000 år. 

Gresk og indisk matematikk ble videreutviklet først og fremst av matematikere fra den islamske verden, i Arabia og Persia.  Perseren [[Al-Khwârizmî]] (født omkring 790 e.Kr) regnes som algebraens far, med sin systematiske lærebok om løsning av ligninger.  Han skrev også tekster om de hindu-arabiske tallene.  

I tidlig middelalder ble verk fra den islamske verden oversatt til latin, og en fikk på den måten overført både arabisk, gresk, indisk og persisk kunnskap til Europa.   
[[Adelard fra Bath]] (født omkring 1080) og [[Leonardo Fibonacci]] (født omkring 1170) var begge med på å introdusere de hindu-arabiske tallene til Europa, og disse fortrengte etter hvert de upraktiske [[romertall]]ene. 

Renessansen i Italia var også en revitalisering av vitenskapene. Da universitetene ble gradvis utviklet i europeisk middelalder, var aritmetikk og geometri blant de syv [[de frie kunstene|frie kunstene]] som ble undervist.  Innføring av boktrykkerkunsten på 1400-tallet var viktig for spredning av matematisk kunnskap og for en langsom etablering av en felles symbolbruk. Den første bruken av pluss- og minus-tegn kom på trykk i tyske læreverk i algebra omkring 1500.  
Bruken av symboler for variabler ble introdusert av franskmannen [[François Viète]] (født 1540). 

[[Galileo Galilei]] (1564-1642) og [[Johannes Kepler]] (1571-1630) var begge viktige for bruken av matematikk i andre vitenskaper, i astronomi og fysikk.  [[René Descartes]] (1596-1650) var både filosof og matematiker,  
og han la grunnlaget for moderne matematikk med innføringen av koordinater og kombinasjonen av algebra og geometri i [[analytisk geometri]].  
Andvendelser i naturvitenskapene var også viktig for [[Gottfried Leibniz]] og [[Isaac Newton]].  Uavhengig av hverandre la de begge grunnlaget for matematisk analyse, gjennom undersøkelsen av tangenter og flateinnhold, og ved innføring av infinitesimalregningen omkring århundreskiftet 1700.
Newtons mekanikk og loven om tyngdekraft ble i de følgende århundrene kilder til mange ulike matematiske problemer.
[[Leonhard Euler]] (1707-1783) ga også viktige bidrag til matematisk analyse. Han arbeidet i nesten alle kjente områder av matematikk, samt la grunnlaget for nye retninger.  

[[Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) er rangert blant de mest innflytelsesrike matematikere gjennom tidene.  I doktorarbeidet sitt ga han et bevis for [[algebraens fundamentalteorem]], knyttet til løsning av algebraiske ligninger.  Gauss ga store bidrag til algebra, analyse og geometri.  
 
Som del av studiet av algebraiske ligninger utviklet [[Niels Henrik Abel]] og [[Évariste Galois]] det abstrakte begrepet «gruppe» og teori for slike strukturer. 
I den videre fordypningen av disse problemstillingene ble algebraen og den algebraiske geometrien utviklet. 

I løpet av 1800-tallet ble infinitesimalregningen utviklet mot den formen den har i dag, særlig påvirket av [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] og [[Karl Weierstrass]]' arbeider. 
Mot slutten av århundret ble mengdelæren utviklet av [[Georg Cantor]].

Utviklingen i første halvdel av det 20. århundret ble særlig påvirket av [[David Hilbert]]s liste over 23 matematiske problemer. 
Ett av disse problemene var forsøket på en fullstendig aksiomatisering av matematikken, og det var samtidig sterke forsøk på å abstrahere matematikken ytterligere. 
Videre utviklet [[Emmy Noether]] grunnlaget for moderne [[algebra]], [[Felix Hausdorff]] utviklet [[topologi]]en, og [[Stefan Banach]] innførte et svært viktig begrep innenfor funksjonsanalysen, 
i ettertid kalt [[Banachrom]].

=== Innhold og områder ===
Følgende oversikt er ment å gi et første kronologisk overblikk over den store bredden av matematiske emner og delemner:

* regning med tall (aritmetikk),
* undersøkelse av figurer ([[geometri]] – de klassiske kulturene, [[Euklid av Alexandria|Euklid]]),
* undersøkelse av korrekte slutninger ([[logikk]] – [[Aristoteles]]),
*[[trigonometri]], [[geometrien]] og vinklene til en trekant,
* [[problemløsning]] ([[George Pólya]])
* løsing av ligninger ([[algebra]] – [[Tartaglia]], [[middelalderen]] og [[renessansen]]),
* undersøkelse av delelighet ([[tallteori]] – [[Euklid av Alexandria|Euklid]], [[Diofant]], [[Pierre de Fermat|Fermat]], [[Leonhard Euler]], [[Carl Friedrich Gauss]], [[Bernhard Riemann]]),
* regning på forhold i rommet ([[analytisk geometri]] – [[René Descartes]], 1600-tallet),
* regning med sannsynligheter ([[sannsynlighet]]sregning – [[Blaise Pascal]], [[Jakob Bernoulli]], [[Pierre-Simon Laplace]], [[1600-tallet]] til [[1800-tallet]]),
* undersøkelse av [[Funksjon (matematikk)|funksjoner]], særlig vekst, krumming, forhold nær uendeligheten og flateinnhold under kurver ([[analyse]] – [[Isaac Newton]], [[Gottfried Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]], slutten av [[1600-tallet]]),
* beskrivelsen av fysiske størrelser ([[differensialligning]]er, [[partielle differensialligninger]], [[vektoranalyse]] – [[Leonhard Euler]], [[Bernoulli]]-brødrene, [[Pierre-Simon Laplace]], [[Carl Friedrich Gauss]], [[Siméon Denis Poisson]], [[Jean Baptiste Joseph Fourier]], [[George Green]], [[George Gabriel Stokes]], [[David Hilbert]], [[1700-tallet]] til [[1800-tallet]]),
* perfeksjoneringen av analysen ved innføringen av [[komplekse tall]] ([[funksjonsteori]] – [[Carl Friedrich Gauss]], [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], [[Karl Weierstrass]], [[1800-tallet]]),
* beregninger av krummede flater og rom ([[differensialgeometri]] – [[Carl Friedrich Gauss]], [[Bernhard Riemann]], [[Tullio Levi-Civita]], 1800-tallet),
* [[statistikk]] og [[dataanalyse]] – [[Ronald Fisher]], [[Karl Pearson]], 1900- og 2000-tall.
* det systematiske studiet av symmetrier ([[gruppe (matematikk)|gruppeteori]] – [[Évariste Galois]], [[Niels Henrik Abel]], [[Felix Klein]], [[Sophus Lie]], 1800-tallet),
* oppklaringer av uendelighetsparadoksene ([[mengdelære]] og [[logikk]] – [[Georg Cantor]], [[Gottlob Frege]], [[Bertrand Russell]], [[Ernst Zermelo]], [[Abraham Adolf Fraenkel]], begynnelsen av [[1900-tallet]]),
* undersøkelse av strukturer og teorier 
* approksimative løsninger og beregning med datamaskiner ([[numerisk analyse]] - [[John von Neumann]], fra 1945 )

== Se også ==
* [[Ugyldige bevis]]
* [[Liste over uløste matematiske gåter]]
* [[Liste over viktige matematiske tidsskrift]]

== Referanser ==

<references>

<ref name=COLLINS>{{Kilde bok
| ref=                                                 
| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein
| redaktør=
| utgivelsesår=1989
| artikkel=
| tittel=Dictionary of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=Glasgow
| forlag=Collins
| side=
| isbn=0-00-434347-6
| id=
| kommentar=
| url= }}
</ref>

<ref name=UDIR>[https://www.udir.no/laring-og-trivsel/lareplanverket/grunnleggende-ferdigheter/regning/ www.udir.no] {{Wayback|url=https://www.udir.no/laring-og-trivsel/lareplanverket/grunnleggende-ferdigheter/regning/ |date=20191204144553 }} ''Grunnleggende ferdigheter: Regning'' (Utdanningsdirektoratet).  Besøkt 4. desember 2019</ref>

<ref name=JOUR1>[[#JOUR|P.Jourdain: ''The Nature of Mathematics'']]</ref>

<ref name=SIAM1>{{Kilde bok
| ref=
| forfatter=
| redaktør=M.S.Klamkin
| utgivelsesår=1987
| tittel=Mathematical modelling: Classroom notes in applied mathematics 
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=
| forlag=SIAM
| side=
| isbn=0-89871-204-1
| id=
| kommentar=
| url=https://books.google.no/books?id=QqIVL2F7_kUC&printsec=frontcover&hl=no#v=onepage&q&f=false}}
</ref>

<ref name=GARDNER>{{Kilde bok
| ref=                                                 
| forfatter=M.Gardner
| redaktør=
| utgivelsesår=1965
| artikkel=
| tittel=Mathematical puzzles and diversions
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=New York
| forlag=Pelican
| side=
| isbn=0-14-02-0713-9
| id=
| kommentar=
| url= }}
</ref>

<ref name=CAJORI>{{Kilde bok
| ref=                                                 
| forfatter=F.Cajori
| redaktør=
| utgivelsesår=2007
| artikkel=
| tittel=A history of mathematical notations
| bind=1 og 2
| utgave=
| utgivelsessted=
| forlag=Cosimo
| side=
| isbn=978-1-60206-684-7
| id=
| kommentar=
| url= }}
</ref>

<ref name=YADAV>{{Kilde artikkel
  | forfatter= D.K.Yadav
  | tittel=Exact definitions of mathematics
  | publikasjon=Internation Research Journal of Mathematics, Engineering and IT
  | språk=Engelsk
  | utgivelsesår=2017
  | dato=
  | bind=4
  | nummer=
  | seksjon=
  | utgave=1
  | side=34-42
  | url=https://www.researchgate.net/publication/313678763_EXACT_DEFINITION_OF_MATHEMATICS
  | doi=
  | pmid=
  | wsid=
  | isbn=
  | issn=
  | kommentar=
 }}
</ref>

<ref name=TERM1>[[#TERM|S.Schwartzman: ''The words of mathematics'']], s.132</ref>

<ref name=COURANT1>[[#COURANT|R.Courant, H.Robbins: ''What is Mathematics'']], Forord</ref>

<ref name=ABSTR>{{Kilde artikkel
  | forfatter=H.B.Sinaceur
  | tittel=Facets and levels of mathematical abstraction
  | publikasjon=Philosophia Scientiæ
  | språk=Engelsk
  | utgivelsesår=2014
  | dato=
  | bind=18
  | nummer=1
  | seksjon=
  | utgave=
  | side=81-112
  | url=https://journals.openedition.org/philosophiascientiae/914?lang=en
  | doi=
  | pmid=
  | wsid=
  | isbn=
  | issn=
  | kommentar=
 }}
</ref>

<ref name=NOBEL>{{Kilde artikkel
  | forfatter=J.E.Morrill
  | tittel=A Nobel Prize in Mathematics
  | publikasjon=The American Mathematical Monthly
  | språk=Engelsk
  | utgivelsesår=1995
  | dato=
  | bind=102
  | nummer=10
  | seksjon=
  | utgave=
  | side=888-892
  | url=
  | doi=
  | pmid=
  | wsid=
  | isbn=
  | issn=
  | kommentar=
 }}
</ref>

<ref name=REVIEW1>[http://www.ams.org/publications/math-reviews/math-reviews www.ams.org] ''Mathematical Reviews''.  Besøkt 4. desember 2019</ref>

<ref name=FIELDS2018>[https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2018 www.mathunion.org] ''Fields Medals 2018''.  Besøkt 4. desember 2019</ref>
 
<ref name=REVIEW2>{{Kilde artikkel
  | forfatter=M.B.Sevryuk
  | tittel=Book Reviews: Arnold's problems (Vladimir I. Arnold)
  | publikasjon=Bullentin of the American Mathematical Society
  | språk=Engelsk
  | utgivelsesår=2005
  | dato=
  | bind=43
  | nummer=1
  | seksjon=
  | utgave=
  | side=101-109
  | url=https://www.ams.org/journals/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf
  | doi=
  | pmid=
  | wsid=
  | isbn=
  | issn=
  | kommentar=
 }}
</ref>

<ref name=KUNST>[https://www.uib.no/math/58058/matematikk-som-kunst-og-vitenskap www.uib.no] ''Matematikk som kunst og vitenskap''.  Besøkt 2. desember 2019</ref>

<ref name=FIELDS>[https://forskning.no/matematikk/sier-nei-takk-til-fieldsmedaljen/1031283 forskning.no] ''Sier nei takk til Fieldsmedaljen''.  Publisert august 2006. Besøkt 2. desember 2019</ref>

<ref name=ABEL>[https://www.kongehuset.no/nyhet.html?tid=169828&sek=26939 kongehuste.no] ''Abelprisen 2019''.  Publisert mai 2019. Besøkt 2. desember 2019</ref>

<ref name=NMAT>[https://web.matematikkforeningen.no/viggo-brun-prisen/ web.matematikkforeningen.no] ''Norsk matematisk forening: Viggo Brun-prisen''.  Besøkt 2. desember 2019</ref>

</references>

== Litteratur ==

* {{Kilde bok
| ref=JOUR
| forfatter= Jourdain, Philip E.B.
| redaktør= James R. Newman
| utgivelsesår= 2003
| artikkel= The Nature of Mathematics
| tittel= The World of Mathematics.
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Dover
| forlag=
| side=
| isbn= 0-486-43268-8
| kommentar=
| url=
}}

* {{Kilde bok
| ref=COURANT
| forfatter= R.Courant, H.Robbins
| redaktør=
| utgivelsesår=1941
| artikkel=
| tittel= What is Mathematics?
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=Oxford University Press
| forlag=
| side=
| isbn=0-19-502517-2
| kommentar=
| url=
}}

* {{Kilde bok
| forfatter= Peterson, Ivars
| redaktør= 
| utgivelsesår= 2001
| artikkel= 
| tittel= Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics.
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= 
| forlag= Owl Books
| side=
| isbn= 0-8050-7159-8
| kommentar=
| url=
}}

* {{Kilde bok
| forfatter= Thorvaldsen, Steinar
| redaktør= 
| utgivelsesår= 2002
| artikkel= 
| tittel= Matematisk kulturhistorie.
| bind= 
| utgave= 
| utgivelsessted= Tromsø
| forlag= Eureka
| side= 
| isbn= 82-7389-045-7
| kommentar= 
| url= http://munin.uit.no/bitstream/handle/10037/3247/book.pdf
| url-status=død
| arkivurl= https://web.archive.org/web/20160304190119/http://munin.uit.no/bitstream/handle/10037/3247/book.pdf
| arkivdato= 2016-03-04
}}

* {{Kilde bok
| ref=TERM
| forfatter= Steven Schwartzman
| redaktør= 
| utgivelsesår=1994
| artikkel=
| tittel=The words of mathematics.  An etymological dictionary of mathematical terms used in English.
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Washington, DC
| forlag= The Mathematical Association of America
| side=
| isbn= 0-88385-511-9
| id=
| kommentar= 
| url= }}

*{{Kilde bok
| ref=CBB
| forfatter= C.B.Boyer
| redaktør= 
| utgivelsesår=1968
| artikkel=
| tittel=A history of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Princeton, USA
| forlag= John Wiley & Sons, Inc
| side=
| isbn= 0-691-02391-3 
| id=
| kommentar= 
| url= }}

== Eksterne lenker ==
* {{Offisielle lenker}}
* Utdanning.no sin [http://utdanning.no/yrker/beskrivelse/matematiker yrkesbeskrivelse av matematiker]
* [http://www.matematikk.net Matematikkforum med regelbøker]
* [https://web.archive.org/web/20170708223831/http://www.forelesning.no/ E-læring i matematikk]
* [http://www.matematikk.info Matematikkoppgaver]
* [http://www.matematikk.org Det nasjonale nettstedet for matematikk]
* [http://www.matematikkforeningen.no/ Norsk matematisk forening]
* [http://www.sp1.skoleveven.no/ Matte.no]
* [https://web.archive.org/web/20070928023351/http://www.udir.no/templates/udir/TM_L%C3%A6replan.aspx?id=2100&laereplanid=212147 Læreplan i matematikk, 1.-10. årstrinn, VG1P, VG1T, VG2P og VG2T]
* [http://www.mscand.dk/ Mathematica Scandinavica (tidsskrift)]
* [http://www.normat.no/ Normat – Nordisk matematisk tidsskrift]
* [http://mathworld.wolfram.com/ Wolfram MathWorld (engelsk)]
* [http://integrals.wolfram.com/ Wolfram Integrals (engelsk)]
* [http://forskning.no/historie-vitenskapshistorie-matematikk/2008/02/slik-har-matematikken-utviklet-seg Slik har matematikken utviklet seg] - artikkel fra forskning.no 27.4.05


{{Matematikk}}
{{Vitenskap}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematikk| ]]
[[Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha]]