Redigerer Magnetisk dipol

[[Fil:Magnetic field due to current.svg|thumb|250px|right|Magnetisk dipol og tilhørende [[magnetfelt]] '''B''' skapt av en sirkulær sløyfe som fører strømmen ''I&thinsp;'' og har [[magnetisk moment]] '''m'''. ]]
En '''magnetisk dipol''' er den enkleste [[magnet]]. Den består av et [[magnetisk moment]] samt det [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] som det skaper. Den dannes av en [[elektrisk strøm]] eller [[elektrisk ladning|ladning]] som går rundt i en lukket bane. All [[magnetisme]] skyldes mikroskopiske, magnetiske dipoler som har sitt opphav i elektronenes rundgang om [[atom]]ene eller deres intrinsikke, [[kvantemekanikk|kvantemekaniske]] [[spinn]].

Ethvert system med lokaliserte, elektriske strømmer vil i store avstander se ut som en magnetisk dipol.

==Magnetisk felt==

Da det ikke finnes [[magnetisk monopol]]er, finnes det heller ikke noe [[magnetisk felt]] som tilsvarer [[Coulombs lov#Coulomb-feltet|Coulomb-feltet]] fra en elektrisk punktladning. Det mest elementære, magnetiske felt skyldes en magnetisk dipol og kan utledes fra [[Biot-Savarts lov]].<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.</ref> For en stasjonær strømfordeling '''J'''('''r''') lar den det [[magnetisk felt|magnetiske vektorpotensialet]] beregnes fra [[integral]]et

:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac {\mu_0}{4 \pi} \int d^3r'\,\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}</math>

Dette tilsvarer integralet for det [[elektrostatikk#Elektrostatisk potensial|elektriske potensialet]] fra en statisk ladningsfordeling ''&rho;''('''r'''). Langt borte fra disse ladningene vil potensialet bli likt med [[Coulombs lov#Coulomb-potensialet|Coulomb-potensialet]]. På samme måte kan det vises i [[magnetostatikk]]en ved en [[multipolutvikling]] at når strømfordelingen er lokalisert innen et begrenset område rundt origo, kan det magnetiske vektorpotensialet i store avstander skrives som

: <math>{\mathbf{A}}({\mathbf{r}}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{{\mathbf{m}}\times{\mathbf{r}}}{r^3} </math>

hvor ''r'' = |'''r'''|&thinsp; og

: <math> \mathbf{m}=\frac{1}{2}\int\!d^3r'\, \mathbf{r'}\times\mathbf{J}(\mathbf{r}') </math>

er det [[magnetisk moment|magnetiske momentet]] til strømfordelingen. I stedet for å betrakte dette resultatet som gyldig langt unna en [[makroskopisk]], lokalisert strømfordeling, gir det like godt feltet i vilkårlig avstand fra en «punktdipol» uten utstrekning plassert i origo.

Hvis strømfordelingen skyldes en strøm ''I&thinsp;'' som går rundt i en lukket sløyfe ''C'', kan det magnetiske momentet for strømsløyfen finnes fra samme formel ved å erstatte faktoren {{nowrap|''d''<sup>&thinsp;3</sup>''r''&thinsp;'&thinsp;'''J'''('''r'''')&thinsp;}} med ''Id''&thinsp;'''s'&thinsp;''' hvor det differensielle linjeelementet ''d''&thinsp;'''s'&thinsp;''' ligger langs sløyfen. Det gir

: <math> \mathbf{m} = {1\over 2}I\oint_{\!C}\!\mathbf{r'}\times d\mathbf{s'} </math>

Herav følger det enkle resultatet {{nowrap|'''m''' {{=}} ''I''&thinsp;'''S'''}} hvor komponentene til vektoren '''S''' er arealene til projeksjonene av sløyfen ''C'' på de tre koordinatflatene.<ref name = RM>J.R. Reitz and F.J. Milford, ''Foundations of Electromagnetic Theory'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading (1960).</ref>

===Dipolfeltet===

Fra vektorpotensialet '''A''' følger det [[magnetisk felt|magnetiske induksjonsfeltet]] fra {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A'''}}. Det kan utregnes ved å bruke formelen fra [[vektoranalyse]]n for [[curl]] til et [[kryssprodukt]] av to vektorer. Men for den magnetiske dipolen er '''m''' en konstant vektor og {{nowrap|'''&nabla;'''&sdot;('''r'''/''r''<sup>3</sup>) {{=}} 0}} når {{nowrap|''r'' > 0}}. Derfor kommer det eneste bidraget fra derivasjonen

: <math> (\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla}){\mathbf{r}\over r^3} = {\mathbf{m}\over r^3} - {3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\over r^5} </math>

som gir det magnetiske dipolfeltet

: <math> \mathbf{B}(r > 0) =   {\mu_0\over 4\pi r^3}\Big[3(\mathbf{m}\cdot\hat\mathbf{r})\hat\mathbf{r} - \mathbf{m}\Big]  </math>

hvor <math>\hat\mathbf{r}</math> = '''r'''/''r''&thinsp; er en enhetsvektor i radiell retning. Det er symmetrisk om retningen til dipolen gitt ved momentet '''m''' og avtar med avstanden i tredje potens.

De forskjellige komponentene til dipolfeltet kommer klarere frem i [[kulekoordinater]] med basisvektorer <math>\hat\mathbf{r}</math>, <math>\hat\boldsymbol{\phi} </math> og <math>\hat\boldsymbol{\theta} </math>. Når '''m''' er plassert langs ''z''-aksen i retning ''&theta;'' = 0, tar vektorpotensialet formen

: <math> \mathbf{A}(\mathbf{r}) =  {\mu_0 m\over 4\pi r^2}\sin\theta\, \hat\boldsymbol{\phi} ,</math>

og er konstant langs sirkler om ''z''-aksen parallelle med ''xy''-planet. Magnetfeltet utenfor dipolen tar  da den tilsvarende formen

: <math> \mathbf{B}(r > 0) =  {\mu_0 m\over 4\pi r^3}\big(2\cos\theta\,\hat\mathbf{r} + \sin\theta\,\hat\boldsymbol{\theta} \big). </math>

som viser mer tydelig at feltet er symmetrisk om ''z''-aksen.<ref name = Griffiths/> Det er også doppelt så sterkt langs denne aksen enn i et punkt i ''xy''-planet  og i samme avstand fra origo.

===Indre magnetfelt===

Magnetfeltet i sentrum ''r'' = 0 av dipolen kan beregnes ved å ta med ledd fra derivasjonen som

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot {\mathbf{r}\over r^3} = 4\pi\delta(\mathbf{r}) </math>

Det komplette feltet blir da<ref name="Zangwill">A. Zangwill, ''Modern Electrodynamics'', Cambridge University Press, Cambridge (2013). ISBN 978-0-521-89697-9.</ref>

: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \mathbf{B}(r > 0) + {2\over 3}\mu_0\mathbf{m}\,\delta(\mathbf{r}) </math>

Dette ekstra leddet karakteriserer dipolfeltet fra et magnetisk moment dannet av en mikroskopisk strømsløyfe. Hadde man i stedet tenkt seg dipolmomentet dannet av to motsatte, magnetiske ladninger på samme måte som for en [[dipol|elektrisk dipol]], ville det resulterende magnetfeltet bli

: <math> \mathbf{H}(\mathbf{r}) = {1\over\mu_0}\mathbf{B}(r > 0) -  {1\over 3}\mathbf{m}\,\delta(\mathbf{r}) </math>

Disse to resultatene er forbundet gjennom den vanlige relasjonen {{math|'''B''' {{=}} ''μ''<sub>0</sub>('''H''' + '''M''')}} hvor {{math|'''M''' {{=}} '''m'''''δ''('''r''')}} er [[magnetisering]]en til dipolen.

[[Atomkjerne]]r har [[kvantemekanikk|kvantemekanisk]] [[spinn]] og derfor også et [[magnetisk moment#Elementærpartikler|magnetisk moment]]. Det tilhørende magnetfeltet gir en [[finstruktur|hyperfinsplitting]] av energinivåene til atomet som kan beregnes. Sammenligning med eksperimentelle målinger viser at det er feltet fra et dipolmoment beskrevet som en strømsløyfe, som gir den beste forklaring av denne effekten.<ref>D.J. Griffiths, ''Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen'', American Journal of Physics, '''50'''&thinsp;(8), 698 - 703 (1982).</ref>

==Dipol i ytre felt==

En magnetisk dipol i et ytre magnetfelt '''B''' = '''B'''('''r''')&thinsp; vil virke på de elektriske strømmene som finnes i dipolen og beskrevet ved strømtettheten {{nowrap|'''J''' {{=}} '''J'''('''r''')}}. Under stasjonære forhold kan denne påvirkningen uttrykkes ved den [[magnetfelt|magnetiske kraften]]

: <math> \mathbf{F} = \int\!d^3x\,\mathbf{J}\times\mathbf{B} </math>

Hvis '''B'''-feltet er konstant og dipolstrømmene er lokaliserte, vil kraften bli null som kan vises ved å bruke {{nowrap|'''&nabla;'''&sdot;'''B''' {{=}} 0}}.<ref name = Zangwill/> Når feltet derimot varierer i rommet, kan man til laveste orden skrive {{nowrap|'''B'''('''r''') {{=}} '''B''' + ('''r'''&sdot;'''&nabla;''')'''B'''}}. Det resulterende integralet er av samme type som ofte opptrer i [[magnetostatikk]]en og gir resultatet

: <math> \mathbf{F} = (\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{B}  </math>

hvor det magnetiske momentet '''m''' er lokalisert i origo. Dette resultatet tilsvarer kraften som virker på en [[elektrisk felt#Dipol i ytre felt|elektrisk dipol]] i et inhomogent, elektrisk felt.

Mens denne kraften vil prøve å flytte dipolen, vil et konstant magnetfelt kunne dreie den. Det tilsvarende [[dreiemoment]]et kan beregnes fra det definerende integralet

: <math> \mathbf{T} = \int\!d^3x\,\mathbf{r}\times(\mathbf{J}\times\mathbf{B}) </math>

som lar seg utregne ved de samme metodene. Man finner da

: <math> \mathbf{T} = \mathbf{m}\times\mathbf{B} </math>

igjen i overensstemmelse med dette tilsvarende resultat for en elektrisk dipol. Dette betyr at formlene for både kraften og dreiemomentet for en magnetisk dipol er de samme uavhengig av om man beskriver dipolen som en elektrisk strømsløyfe eller sammensatt av to magnetike ladninger av motsatt fortegn.<ref name = Griffiths/>

===Potensiell energi===
Størrelsen på dreiemomentet er  ''T'' = ''mB''&thinsp;sin&thinsp;''&theta;'' når vinkelen som '''m''' danner med '''B''', er ''&theta;''. Det er derfor null i retningene {{nowrap|''&theta;'' {{=}} 0}} og {{nowrap|''&theta;'' {{=}} ''&pi;''&thinsp;}}. For å dreie dipolen en vinkel ''&theta;'', må man utføre [[arbeid]]et {{nowrap|&thinsp;&int;''Td&theta;'' {{=}}  - ''mB''&thinsp;cos&thinsp;''&theta;''}}. Dette kan identifiseres med den [[Magnetfelt#Magnetisk energi|potensielle energien]]

: <math> U = - \mathbf{m}\cdot\mathbf{B} </math>

Den er minimal når '''m''' peker i samme retning som '''B''', og maksimal når de er motsatt rettet. I dette siste tilfellet er dreiemomentet null, men den minste forstyrrelse i denne posisjonen vil få dipolen til å dreie seg. Retningen {{nowrap|''&theta;'' {{=}} ''&pi;''&thinsp;}} er derfor en ustabil likevektsposisjon.

Hvis '''B''' = '''B'''('''r'''), kan man fremdeles skrive

: <math> U(\mathbf{r}) = - \mathbf{m}\cdot\mathbf{B}(\mathbf{r}) </math>

som den potensielle energien til dipolen i hvert punkt '''r'''&thinsp; i det ytre feltet. Da vil den påvirkes av [[kraft]]en {{nowrap|'''F''' {{=}} - '''&nabla;'''''U''&thinsp;}} som kan skrives som

: <math> \mathbf{F} = \boldsymbol{\nabla}(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}) =  (\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{B} </math>

når man benytter at '''m'''&thinsp; er en konstant vektor og det ytre feltet oppfyller {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B''' {{=}} 0}}. Resultatet for kraften stemmer derfor overens med den tidligere utledningen.<ref name = Zangwill/>

Kraften på en magnet med endelig utstrekning kan beregnes med utgangspunkt i samme formel. Har den en [[magnetfelt|magnetisering]] '''M''', vil et lite volumelement ''dV'' ha et magnetisk moment {{nowrap|''d''&thinsp;'''m''' {{=}} '''M'''''dV''}}. I et ytre magnetfelt vil dette volumelementet bli påvirket av kraften {{nowrap|''d''&thinsp;'''F''' {{=}} (''d''&thinsp;'''m'''&sdot;'''&nabla;''')'''B'''}}. Den totale kraften som virker på magneten finnes så ved integrasjon,

: <math> \mathbf{F} = \int\!d^3x\, (\mathbf{M}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{B} </math>

Dette uttrykket kan også benyttes hvis man skal beregne kraften på et magnetisk materiale i et ytre felt '''B''' = ''&mu;''<sub>0</sub>'''H'''. Er materialets respons til feltet lineær, vil det det få en magnetisering {{nowrap|'''M''' {{=}} ''&chi;''&thinsp;'''H'''&thinsp;}} der ''&chi;'' er dets [[permeabilitet (fysikk)|magnetiske susceptibilitet]]. For et [[ferromagnetisme|ferromagnetisk]] materiale er denne sammenhengen i alminnelighet ikke så enkel.

==Dipol-dipol vekselvirkning==
[[Fil:VFPt cylindrical magnets repelling.svg|thumb|240px|[[Feltlinje]]r rundt to magnetiske dipoler som frastøter hverandre.]]

Vekselvirkningsenergien ''U''<sub>12</sub>&thinsp; mellom to punktdipoler '''m'''<sub>1</sub> og '''m'''<sub>2</sub> kan finnes ved å betrakte den ene i det ytre feltet skapt av den andre.  Det gir med en gang

:<math> U_{12} = -\frac{\mu_0}{4\pi r^3}\Big(3 (\mathbf m_1\cdot\hat\mathbf r)(\mathbf m_2\cdot\hat\mathbf r)  - \mathbf m_1\cdot\mathbf m_2\Big) </math>

hvor nå '''r''' = '''r'''<sub>1</sub> - '''r'''<sub>2</sub>&thinsp; er vektoren som forbinder de to dipolene. Dette uttrykket er av praktisk betydning i [[atomfysikk|atom- og molekylfysikk]] hvor de magnetiske momentene er proporsjonale med [[dreieimpuls]]en eller [[spinn]]et til partiklene.<ref name="ER">R. Eisberg and R. Resnick, ''Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles'', John Wiley & Sons, New York (1985). ISBN 0-471-87373-X.</ref>

Den tilsvarende kraften mellom dipolene følger fra '''F'''<sub>12</sub> = - '''&nabla;'''''U''<sub>12</sub>. En detaljert utregning gir resultatet

:<math>
  \mathbf{F}_{12} =   \frac{3\mu_0}{4 \pi r^4}\Big[(\mathbf{m}_1\cdot\hat\mathbf{r})\mathbf{m}_2 + (\mathbf{m}_2\cdot\hat\mathbf{r})\mathbf{m}_1 +
    (\mathbf{m}_1\cdot\mathbf{m}_2)\hat\mathbf{r} - 5(\mathbf{m}_1\cdot\hat\mathbf{r})(\mathbf{m}_2\cdot\hat\mathbf{r})\hat\mathbf{r} \Big]
</math>

som viser at kraften avtar med fjerde potens av avstanden mellom dipolene. Dens størrelse avhenger av deres relative orientering, og den er rettet langs '''r'''. Snus denne retningen, vil derfor kraften forandre fortegn slik at man har  {{nowrap|'''F'''<sub>12</sub> {{=}} -  '''F'''<sub>21</sub>}}. [[Newtons tredje lov]] om kraft og motkraft er derfor oppfylt i dette tilfellet.

Denne kraftloven er strengt tatt bare gyldig for punktdipoler. Har de endelig utstrekning, kan den resulterende kraften mellom dem alltid finnes fra den magnetiske delen av [[Maxwells spenningstensor]]. Den vil avhenge av det totale magnetfeltet skapt av begge dipolene. Det endelige resultatet for kraften må i dette tilfellet da vanligvis finnes ved [[numerisk analyse|numerisk integrasjon]].

==Geomagnetisk dipolfelt==
[[Fil:Geomagnetisme.svg|thumb|Den jordmagnetiske dipolen peker bort fra [[den magnetiske nordpol|magnetisk nord]] ''N<sub>m</sub>'' som er litt forskjellig fra [[nordpolen|geografisk nord]]  ''N<sub>g</sub>''.]]

{{Sitat|Magnus magnes ipse est globus terrestris. (Jordkloden self er en stor magnet.)|[[William Gilbert]], ''De Magnete'' (1600)}}

[[Jordens magnetfelt]] ble tidlig utnyttet til navigasjon. Ved bruk av [[kompass]]nåler som kunne bevege seg både i det horisontale og vertikale planet,  kartla man retningen til magnetfeltet i hvert punkt. Denne retningen blir angitt ved to vinkler som angir den horisontale, magnetiske [[misvisning|deklinasjon]] og den vertikale, magnetiske [[inklinasjon]]. Det ble tidlig klart at disse verdiene varierte langsomt med tiden.

Resultatene av de første, vitenskapelige undersøkelsene av det geomagnetiske feltet ble samlet sammen i det store verket ''De Magnete'' av den engelske naturforskeren [[William Gilbert]] i 1600. Han viste at [[Jorden]] selv er en stor magnet med [[den magnetiske sydpol]]en i nærheten av den geografiske nordpolen og omvendt for [[den magnetiske nordpol]]en. Senere arbeid av [[Edmond Halley]], [[Alexander Humboldt]] og [[Carl Friedrich Gauss]] gjorde det klart at magnetfeltet kunne med god tilnærmelse beskrives som forårsaket av en magnetisk dipol i Jordens sentrum.<ref name="MM">R.T. Merrill and M.W. McElhinny, ''The Earth's Magnetic Field – Its History, Origin and Planetary Perspective'', Academic Press Inc., London (1983). ISBN 0-12-491240-0.</ref> Vinkelen mellom dipolens akse og Jordens rotasjonsakse er for tiden rundt 11°. Styrken av dette magnetfelt på Jordens overflate på våre [[breddegrad]]er er omtrent |'''B'''| = 0.5&thinsp;[[Gauss (enhet)|gauss]] som tilsvarer et magnetisk moment med størrelse |'''m'''| = 8&times;10<sup>22</sup>&thinsp; A·m<sup>2</sup>.<ref name = Zangwill/>

Antar man at magnetfeltet '''B''' er et rent dipolfelt, kan dets inklinasjon eller «dippevinkel» ''&beta;'' finnes direkte fra

: <math> \tan\beta = {B_r\over B_\theta} = 2\cot\theta </math>

hvor nå ''&theta;'' er observatørens polarvinkel eller [[elevasjon]] målt fra den magnetiske aksen. Denne kan også uttrykkes ved observatørens [[breddegrad]] ''&phi;'' som
{{nowrap|''&theta;'' {{=}} ''&pi;''&thinsp;/2 - ''&phi;'' - ''&alpha;''&thinsp;}} der ''&alpha;'' er vinkelen mellom de to aksene. Dermed er dippevinkelen gitt som

: <math> \tan\beta = 2\tan(\phi + \alpha) </math>

i denne forenklete beskrivelsen av Jordens magnetfelt. Vinkelen blir da 90° ved den magnetiske nordpolen. En kompassnål der vil peke rett nedover mot Jordens sentrum.

==Magnetisk dipolstråling==

Når det magnetiske momentet varierer med tiden, kan det gi opphav til [[elektromagnetisk stråling]] på samme måte som at en elektrisk [[dipol]] kan gi opphav til [[Dipol#Elektrisk dipolstråling|elektrisk dipolstråling]]. I begge tilfeller kan den beregnes fra [[Magnetisk felt#Vektorpotensialet|vektorpotensialet]] som for store avstander ''r'' = |'''r'''|&thinsp; fra dipolen er gitt ved integralet

: <math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = {\mu_0\over 4\pi r}\int d^3x' \mathbf{J}(\mathbf{r'},  t')  </math>

hvor og '''J'''('''r''',''t''&thinsp;) er strømtettheten i dipolen og ''t'&thinsp;'' = ''t'' - |'''r''' - '''r'&thinsp;'''|/''c&thinsp;'' er den retarderte tiden. Det er den tiden da et signal ble sent ut  med [[lyshastigheten|lysets hastiget]]  fra et kildepunkt '''r'''' i dipolen slik at det når frem til feltpunktet '''r''' ved tiden ''t''.<ref name = RM/>

Ved beregning av dette integralet i laveste orden ser man bort fra avhengigheten av '''r'''' i den retarderte tiden. Det gir et bidrag til vektorpotensialet som skyldes strømfordelingens [[dipol|elektriske dipolmoment]]. Det magnetiske bidraget kommer fra neste orden der man gjør den nøyaktigere tilnærmelsen

: <math> |\mathbf{r} - \mathbf{r'}| = r - \mathbf{n}\cdot\mathbf{r'} </math>

hvor enhetsvektoren '''n''' = '''r'''&thinsp;/''r''&thinsp; har samme retning som '''r'''.  Se man bort fra bidraget fra det elektriske dipolmomentet, har man da til denne orden

: <math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = {\mu_0\over 4\pi r}\int\! d^3x' \mathbf J (\mathbf{r'},  t - r/c) + {\mu_0\over 4\pi c r^2}\int\! d^3x'(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}) \dot\mathbf{J} (\mathbf{r'},  t - r/c)  </math>

der prikken over strømtettheten indikerer en [[derivasjon]] med hensyn på tiden. Her representerer den første termen bidraget fra den elektriske dipolen som man her kan se bort fra. Kildens magnetiske moment ligger i den siste termen.<ref name = Zangwill/>

For å kunne isolere den, er det enklest å tenke seg at den elektriske strømmen i kilden skyldes [[Kontinuitetsligning#Punktpartikler|punktladninger]] ''q<sub>a</sub>'', hver med hastighet '''v'''<sub>''a''</sub> = ''d''&thinsp;'''r'''<sub>''a''</sub>&thinsp;/''dt''. Da tar strømtettheten formen

: <math> \mathbf{J}(\mathbf{r},t)  = \sum_a q_a \mathbf{v}_a(t) \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_a(t)) </math>

slik at det gjenværende integralet kan skrives som

: <math>\begin{align} & \int\! d^3x'(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}) \mathbf{J} = \sum_a q_a (\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}_a) \mathbf{v}_a \\ &= {1\over 2} \sum_a q_a \Big[(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}_a) \mathbf{v}_a + (\mathbf{r}\cdot\mathbf{v}_a) \mathbf{r}_a + (\mathbf{r}_a\times\mathbf{v}_a) \times\mathbf{r}\Big]\end{align} </math>

På høyre side er de to første leddene symmetriske i '''r'''<sub>''a''</sub> og '''v'''<sub>''a''</sub>. De gir et bidrag som er gitt det tidsderiverte  [[multipolutvikling|kvadrupolmomentet]] til ladningene. I det siste  leddet opptrer det [[magnetisk moment|magnetiske momentet]]

: <math> \mathbf{m}(t) = {1\over 2} \sum_a q_a (\mathbf{r}_a\times\mathbf{v}_a) = {1\over 2}\int d^3x\, \mathbf{r}\times \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) </math>

Det gir resultatet

: <math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = - {\mu_0\over 4\pi c r}\mathbf{n}\times \dot\mathbf{m}(t - r/c) </math>

for vektorpotensialet når man ser bort fra bidraget fra kvadrupolmomentet.  Da det avtar med avstanden som 1/''r'', gir det opphav til [[elektromagnetisk stråling]] i form av en [[bølge]] som har en form som er gitt ved den tidsderiverte av det magnetiske momentet. Den vil vanligvis inneholde alle mulige [[frekvens]]er som er bestemt av funksjonen som beskriver hvordan momentet varierer med tiden og kan finnes ved en [[Fourier-transformasjon]] av denne funksjonen.<ref name = RM/>

===Strålingsfelt===
[[Fil:Dipole xmting antenna animation 4 408x318x150ms.gif|thumb|280px|Magnetiske [[feltlinje]]r i strålingssonen  utenfor en oscillerende, magnetisk dipol.]]

Ut fra formen for vektorpotensialet kan de elektromagnetiske feltene '''E'''('''r''',''t'')  og {{nowrap|'''B'''('''r''',''t'') {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A'''('''r''',''t'')}}  i strålingssonen nå beregnes på samme måte som for en ladet partikkel i [[Elektromagnetisk felt#Stråling fra punktpartikkel|akselerert bevegelse]]. Mens det elektriske strålingsfeltet da blir

: <math> \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = {q\mu_0\over 4\pi c r} \mathbf{n}\times\ddot\mathbf{m}(t - r/c) </math>,

kan det magnetiske feltet skrives som '''B''' = '''n'''&thinsp;&times;&thinsp;'''E'''/''c''. Det viser at det som forventet står [[vinkelrett]] på utbredelsesretning '''n''' og det elektriske feltet.  Sammenligner man dette med strålingsfeltene fra en [[Dipol#Elektrisk dipolstråling|elektrisk dipol]], ser man at fordelingen av strålingsfeltene '''E''' og '''B''' er byttet om.<ref name = Zangwill/>

Intensiteten av den utstrålte energien kan beregenes fra [[Poyntings vektor]] '''S''' = '''E'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' hvor magnetfeltet '''H''' = '''B'''/''&mu;''<sub>0</sub>.
Gjennom en liten [[romvinkel]] ''d&Omega;'' i retning '''n''' blir den

: <math> {dP\over d\Omega}  =  {\mu_0\over 16\pi^2 c^3}(\mathbf{n}\times\ddot\mathbf{m})^2 = {\ddot{m}^2\over 16\pi^2\varepsilon_0 c^5}\sin^2\theta </math>

hvor ''&theta;'' er vinkelen som '''n''' danner med <math>\ddot{\mathbf{p}}</math>. Dette er samme «dipolfordeling» av utstrålt energi som for den elektriske dipolen og konsentrert vinkelrett til vektoren <math>\ddot\mathbf{m}</math>.

Utfra definisjonene har det magnetiske dipolmomentet en størrelsesorden som er en faktor ''v'' i forhold til det elektriske. Den gir derfor en utstrålt energi som er omtrent en faktor {{nowrap|''v''<sup>&thinsp;2</sup>/''v''<sup>&thinsp;2</sup>}} av  den [[Dipol#Elektrisk dipolstråling|elektriske energien]]. Da man allerede har antatt at {{nowrap|''v'' << ''c'',}} vil energien fra en magnetisk dipol være mye mindre en fra det tilsvarende, elektriske dipolmomentet til samme strømfordelingen. Det samme gjelder for den utstrålte energien som skyldes kvadrupolmomentet.<ref name = Zangwill/>

==Se også==

* [[Magnetisk moment]]
* [[Dipol]]

== Referanser ==
<references/>

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Fysikk]]
[[Kategori:Magnetisme]]
[[Kategori:Elektromagnetisme]]
[[Kategori:Elektriske og magnetiske felt i stoff]]