Redigerer Logaritme

{{Forveksles|Algoritme}}
[[Fil:Logarithmic functions.svg|thumb|300px|Logaritmefunksjonen med ulike [[grunntall]]. <span style="color:red">Rød</span> bruker grunntall 2, <span style="color:green">grønn</span> bruker grunntall  [[e (matematikk)|''e'']], <span style="color:blue">blå</span> grunntall 10 og  <span style="color:cyan">cyan</span> bruker grunntall ½.]]
'''Logaritmen''' med [[grunntall]] ''b''  til et tall ''a'' er den eksponenten ''c'' som grunntallet må opphøyes i for å gi tallet:

:<math>b^c = a \ \iff  \ c = \log_b a \, </math>

Grunntallet kalles også ''basis'' for logaritmen.  Tallet ''a'' er ''antilogaritmen''.  Logaritmer med grunntall lik [[Eulers tall]] ''e''  kalles [[naturlig logaritme|naturlige logaritmer]], mens [[Henry Briggs#Briggske logaritmer|briggske logaritmer]] bruker grunntallet 10.  Også grunntallet 2 er vanlig brukt og gir opphav til ''binære logaritmer''..

Desimaltallene i en logaritme blir betegnet ''mantissen'', mens heltalsverdien kalles ''karakteristikken''.  For en logaritmeverdi lik 3,2727 er karakteristikken lik 3 og mantissen er 0,2727.

For et fast grunntall kan logaritmen betraktes som en [[Funksjon (matematikk)|funksjon]] av argumentet ''x'' og kalles da for ''logaritmefunksjonen'':

:<math>f(x) = \log_b x \, </math>.
 
==Bruk av logaritmer==
Logaritmefunksjonen er en av de såkalte elementære grunnfunksjonene og har stort bruksområde i mange deler av [[matematikk]] og fysikk.  For [[reelt tall|reelle]] positive verdier defineres logaritmefunksjonen som den [[invers funksjon|inverse funksjonen]] til [[eksponensialfunksjon]]en. I det briggske logaritmesystem er således logaritmen til en million lik 6 fordi 10<sup>6</sup> = 1 000 000. Definisjonen av funksjonen kan utvides slik at den gjelder også for [[komplekst tall|komplekse]] verdier av argumentet.

Før innføring av lommekalkulatoren var logaritmer viktige for å forenkle mange praktiske regnestykker:  Beregningsuttrykk som bare inneholder multiplikasjon og divisjon kan ved hjelp av logaritmer forenkles til uttrykk som bare inneholder addisjon og [[subtraksjon]].  Trykte logaritmetabeller var i mange år et viktig hjelpemiddel for komplekse beregninger.  [[Charles Babbage]] utviklet forløperen til dagens regnemaskiner nettopp for å kunne generere logaritmetabeller.  Også [[regnestav]]en er basert på bruk av logaritmer.

Logaritmer er også praktisk fordi mange fysiske størrelser varierer innen svært vide grenser. Eksempler:
*Et [[supervulkan]]utbrudd med en kan være en million ganger kraftigere enn et lite utbrudd. Derfor kan vi si at de to utbruddene har en [[Volcanic Explosivity Index|vulkansk eksplosivitetsindeks]] (VEI) på henholdsvis 8 og 2.
*Øredøvende larm på f.eks. et diskotek eller en konsert eller ved en sandblåsemaskin kan være en billion (en million millioner, eller 10<sup>12</sup>) ganger så sterk som den svakeste [[lyd]] et menneske kan høre. Derfor har vi definert at den siste har et lydtrykk på 0 Bel, og den øredøvende larmen 12 Bel. Istedenfor bel har en så innført [[desibel]] (dB) og lagt til en A for en skala som er veid etter de frekvensene vi hører best, slik at den svakeste lyden og den øredøvende larmen er på henholdsvis 0 og 120 dBA.

Adjektivet ''logaritmisk'' brukes for å beskrive en tilknytning til logaritmer, for eksempel at det som omtales har en egenskap som varierer logaritmisk.  I en  [[logaritmisk skala]] er et avstand langs skalaen mellom tallet 1 og et tall ''a'' [[proporsjonalitet|proporsjonal]] med logaritmen til ''a''.  En logaritmisk [[spiral]] er en [[kurve]] der vinkelen til et punkt er proporsjonal med logaritmen til radien til punktet.

==Notasjon ==
Logaritmen med grunntall ''b''  til et tall ''a'' skrives normalt ''log''<sub>b</sub> ''a'', men dersom grunntallet er underforstått kan dette forenkles til ''log a''.  Standarden [[ISO]] 31-11 anbefaler følgende notasjon:

For logaritmer med grunntall 2:

:<math>\operatorname{lb} a = \log_2 a  \, </math>

For briggske logaritmer:

:<math>\lg a = \log_{10} a  \, </math>

For naturlige logaritmer:

:<math>\ln a = \log_e a \, </math>

Logaritmen skrives som regel uten parentes rundt argumentet ''a'', som vist i eksemplene over.  Hvis ''a'' = ''b''<sup>''c''</sup>, er ''a'' antilogaritmen og skrives som

:<math> a = \operatorname{antilog}_b c \, </math>

== Definisjon av logaritmefunksjonen for reelle tall ==
Eksponensialfunksjonen er generelt definert ved

:<math>g(y) = b^y \, </math>

der grunntallet ''b'' er et positivt reelt tall.  [[Verdimengde]]n til denne funksjonen er lik mengden av positive reelle tall.  Siden funksjonen er [[bijeksjon|injektiv]] har den definert en invers funksjon som har [[definisjonsmengde]] lik mengden av positive reelle tall og som blir betegnet logaritmefunksjonen:

:<math>f(x) = g^{-1}(x) = \log_b x \, </math>.

Fra definisjonen følger identiten

:<math>b^{\log_b x}  = x = \log_b (b^x)  \, </math>.

Den naturlige logaritmen kan også defineres ved det følgende bestemte [[integral (matematikk)|integralet]]:

:<math>\ln x = \int \limits_1^x \frac{dt}{t} \quad x > 0 \, </math>

Et annet alternativ er bruk av grenseverdien

:<math>\ln x = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{x^\epsilon -1}{\epsilon} \quad x > 0 \, </math>

== Egenskaper og regler for logaritmer ==
:''Utdypende artikkel [[Liste over logaritmeidentiteter]]''
De følgende identitetene gjelder for logaritmer med et vilkårlig grunntall.  For å forenkle notasjonen er derfor grunntallet ''b'' utelatt der det ikke er strengt nødvendig.

===Grunnleggende egenskaper ===
For alle grunntall gjelder det at logaritmen til tallet 1 er lik null:

:<math>\log 1 = 0 \, </math>

Logaritmen til grunntallet er lik 1:

:<math>\log b = 1 \, </math>

Logaritmefunksjonen er strengt voksende for grunntall større enn 1 og strengt minkende for grunntall mindre enn 1.

===Første logaritmesetning ===
: <math>\log(xy) = \log x + \log y \, </math>

Logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmene til faktorene.

Beviset bygger på den følgende identiteten for eksponensialfunksjonen:

:<math>b^u \cdot b^v  = b^{(u+v)} \, </math>

Her er ''u'' og ''v'' vilkårlige tall, så ved å definere

:<math>u = \log x \, </math>
:<math>v = \log y \, </math>

og sette inn i identiten over, så er

:<math>b^{\log x} \cdot b^{\log y}  = b^{(\log x+\log y)} \, </math>

Fra definisjonen av logaritmen er

:<math>b^{\log x} \cdot b^{\log y}  = x y = b^{\log (xy)} \, </math>

Tilsammen gir dette

:<math>x y = b^{\log (xy)} = b^{(\log x+\log y)} \, </math>

=== Andre logaritmesetning ===
: <math>\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b \, </math>

Logaritmen til en [[brøk]] er lik logaritmen til telleren minus logaritmen til nevneren.

Beviset følger samme form som for første logartimesetning, ved hjelp av identiteten

:<math>\frac{b^u}{b^v}  = b^{(u-v)} \, </math>

=== Tredje logaritmesetning ===
: <math>\log(a^x) = x \log a \, </math>

Logaritmen til en potens er lik eksponenten ganger logaritmen til grunntallet.

=== Relasjon mellom logaritmer med ulike grunntall ===
Sammenhengen mellom to logaritmer med grunntall henholdsvis lik ''a'' og ''b''   er gitt ved

:<math>\log_a x \log_b a = \log_b x \, </math>

===Derivasjon av logaritmefunksjonen ===
Den deriverte av den naturlige logaritmen er gitt ved

:<math>\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \, </math>

For logaritmen med generelt grunntall ''b'' gjelder derivasjonsregelen

:<math>\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x \ln b} \, </math>

=== Logaritmisk derivasjon===
Såkalt logaritmisk derivasjon utnyttest ofte for funksjoner som består av kompliserte produkt:
  
:<math>f^\prime(x) = f(x) \frac{d}{dx}\ln f(x) \, </math>

Denne regelen følger av [[kjerneregelen]] for derivasjon brukt på funksjonen <math>\ln</math> <math>f(x)</math>.

=== Antiderivert ===
Den [[integral (matematikk)|antideriverte]] til den naturlige logaritmen er gitt ved uttrykket

: <math>\int \ln x  \,dx = x \ln x  - x + C. \, </math>

For logaritmer med andre baser gjelder

: <math>\int \log_b x \,dx = x \log_b x  - \frac{x}{\ln b } + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C.</math>

== Eksempel på bruk av logaritmer ==
[[Fil:Abramowitz&Stegun.page97.agr.jpg|thumb|300px|Logaritmetabell i håndboka Abramowitz og Stegun.]]
Anta at en trenger å beregene det følgende talluttrykket for ''x'', og bare har en logaritmetabell til hjelp:

:<math>x = \sqrt[3]{\frac{60,27 \cdot 70,34}{0,27}} </math>

Siden en logaritmetabell typisk tabulerer logaritmene for tallverdiene mellom 1 og 10, kan en først utføre en liten omskriving av uttrykket:

:<math>x = \left [  \frac{(6,027 \cdot 10) \cdot ( 7,034 \cdot 10) }{2,7 \cdot 0,1} \right ]^{\frac{1}{3}} </math>

Fra dette følger det ved hjelp av regneregler for briggske logaritmer

:<math>\lg x = \frac{1}{3} \left [ ( \lg 6,027 + 1) + ( \lg 7,034 + 1)  - (\lg 2,7 - 1) \right ] </math>

Fra en logaritmetabell kan en finne verdiene

:<math>\begin{alignat}{2}
\lg 6,027 &= 0,780101\dots \\
\lg 7,034 &= 0,847202\dots \\
\lg 2,700 &= 0,431363\dots \\
\end{alignat}
</math>

Ved å utføre addisjonene og subtraksjonen i uttrykket over finner en

:<math>\lg x = 1,398647\dots \, </math>

Fra en tabell over antilogaritmer finner en for mantissen

:<math>\operatorname{antilog}_{10} 0,398647 = 2,504071 \, </math>

Tilsammen gir dette

:<math>x = (\operatorname{antilog}_{10} 0,398647 ) \cdot 10 = 25,04071 \, </math>

== Rekkeutviklinger for logaritmefunksjonen ==
Det eksisterer mange kjente rekkeutviklinger som involverer naturlige logaritmer:

:<math>\begin{alignat}{3}
\ln x &= \sum_{i=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}  &0 < x \le 2 \\
\ln x &=2 \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2n-1} \left ( \frac{x-1}{x+1} \right )^{2n-1} & x > 0 \\
\end{alignat}</math>

Den første rekka er [[taylorrekke|taylorrekka]] til logaritmefunksjonen, og denne rekka kalles også ''Mercator-rekka'' eller ''Newton-Mercator-rekka'', etter [[Nicholas Mercator]] og [[Isaac Newton]].

== Logaritmer med komplekse argument ==
Logaritmefunksjonen kan utvides til å være definert for komplekse verdier av argumentet ''z'', gjennom definisjonen
:<math>\log z  = \ln|z| + i\arg(z) \, </math>

Her er ''z'' er komplekst tall, og logaritmen er også et komplekst tall.  Funksjonen <math>\arg</math> er [[komplekst tall#Geometrisk tolkning av komplekse tall|argumentet]] til det komplekse tallet, og ''i'' er den [[imaginær enhet|imaginære enheten]].

For komplekse argument er logaritmefunksjonen ikke entydig, fordi argumentet kan inneholde et vilkårlig multiplum av <math>2 \pi</math>.  Skriver en det komplekse tallet på [[komplekse tall#polarform|polarform]]en

:<math>z = |z| e^{i \phi},\, </math>

så kan den komplekse logaritmen skrives som

:<math>\log z  = \ln |z| + i\left(\phi + 2 k \pi \right) \, </math>

Her er ''k'' et vilkårlig heltall.  Den såkalte ''prinsipalverdien'' av logaritmefunksjonen er gitt for ''k'' = 0, når

:<math>\text{Log} z  = \ln|z| + i\operatorname{Arg}(z) = \ln|z| + i \phi  \quad \text{der} \quad  \phi \in (-\pi,\ \pi] \, </math>

For relle positive argument er den komplekse logaritmen lik den naturlige logaritmen.

Den komplekse logaritmen oppfyller første og andre logaritmesetning, men ikke den tredje.

==Numeriske beregninger==

Det finnes i dag mange raske metoder for numerisk beregning av logaritmer på [[datamaskin]]er. Noen av disse kan føres tilbake til [[Henry Briggs]] som kom frem til dem da han  for første gang konstruerte logaritmetabeller med [[grunntall]] eller radix lik med 10. I sitt store verk ''Arithmetica Logarithmica'' fra 1624 viste han at disse kunne finnes ved å ta mange påfølgende [[kvadratrot|kvadratrøtter]] av tallet han ønsket å finne logaritmen til. Resultatet nærmer seg da raskt 1 etter mange nok slike operasjoner. Avviket fra denne asymptotiske verdien vil da være et uttrykk for logaritmen for tallet. Dette er en av de første [[algoritme]]r i [[logaritmers historie|historien om logaritmer]].<ref>J.M. Muller [https://doc.lagout.org/science/0_Computer%20Science/2_Algorithms/Elementary%20Functions_%20Algorithms%20and%20Implementation%20%282nd%20ed.%29%20%5BMuller%202005-10-24%5D.pdf ''Elementary functions: Algorithms and implementation''] {{Wayback|url=https://doc.lagout.org/science/0_Computer%20Science/2_Algorithms/Elementary%20Functions_%20Algorithms%20and%20Implementation%20%282nd%20ed.%29%20%5BMuller%202005-10-24%5D.pdf |date=20181105004451 }}, Birkhäuser, Boston (2006). ISBN 978-0-8176-4372-0.</ref>

===Radix-metoden===
Briggs foreslo også en alternativ måte som er raskere og kan lett automatiseres. Den kalles i dag for «radix-metoden» og baserer seg på det enkle faktum at å multiplisere eller dividere med grunntallet eller ''radix'' for logaritmen man vil beregne, kun betyr en flytting av [[desimaltegn]]et hvis radix er 10 som for briggske logaritmer. På samme, enkle måte gjøres det med et annet grunntall som for eksempel 2 for binære logaritmer. Denne algoritmen er basert på å splitte opp det aktuelle tallet i et visst antall faktorer som alle er nær 1. Avhengig av hvor mange slike faktorer man benytter, kan dette gjøres med så god nøyaktighet som man måtte ønske.<ref>F. Cajori, [https://archive.org/details/ahistorymathema00cajogoog/page/n9/mode/2up ''A History of Mathematics'',] MacMillan and Co, New York (1894).</ref>

For briggeske logaritmer velges disse faktorene å være av formen 1 + 1/10<sup>''n''</sup>&thinsp; hvor et ''n'' er positivt [[heltall]]. Man behøver i utgangspunktet kun logaritmene for tall ''x'' mellom 1 og 10. Logaritmene for andre tall kan derav beregnes ved de vanlige reglene. Man kan også for å lette beregningen dele ut fra ''x'' en [[potens (matematikk)|potens]] av 2 slik at resten er nærmest mulig 1. Med ''n'' + 1 slike faktorer har man dermed

: <math> x = 2^{k_0}\cdot 1.1^{k_1}\cdot 1.01^{k_2}\cdot 1.001^{k_3}\cdots (1 + 10^{-n})^{k_n} </math>

hvor 0 &le; ''k<sub>i</sub>'' &le; 9 er positive heltall. De bestemmes ut fra kravet

: <math> x_k \le x \le x_k\cdot (1 + 10^{-k}) </math>

som må oppfylles for ''k'' = 0, 1, 2, 3 og så videre. Logaritmen til ''x&thinsp;'' vil nå være en sum av lg&thinsp;2 og forskjellige lg(1 + 1/10<sup>''n''</sup>) som lett kan regnes ut på forhånd fra Mercators rekke. De kan så benyttes for alle andre tall.

Det behøves ikke mange slike oppsplittinger for å få god nøyaktighet. For eksempel, hvis man betrakter tallet ''x'' = 7, må man først dele ut en faktor {{nowrap|2<sup>2</sup> {{=}} 4}} da 2<sup>3</sup> = {{nowrap|8 > 7}}. Dermed har man {{nowrap|''k''<sub>0</sub> {{=}} 2}}. Videre finner man lett {{nowrap|''k''<sub>1</sub> {{=}} 5,}} {{nowrap|''k''<sub>2</sub> {{=}} 8}} og {{nowrap|''k''<sub>3</sub> {{=}} 3}} hvis man velger å stoppe der. Det betyr at man tilnærmet har

: <math> 7 = 2^2 \cdot 1.1^5 \cdot 1.01^8 \cdot 1.001^3 </math>

som gir lg&thinsp;7 = 0.8449. Den korrekte verdien er 0.8451 som kan nås ved å ta med en faktor til.

I datamaskiner  benyttes [[binært tall|binære tall]] som tilsvarer radix lik med 2. Det betyr at oppsplittingen da må gjøres med faktorer av formen {{nowrap|1 + 1/2<sup>''n''</sup>.}} Da [[Richard Feynman]] var involvert i konstruksjonen av en [[superdatamaskin]] på begynnelsen av 1980-årene, benyttet han denne algoritmen for beregning av binære logaritmer.<ref>W.D. Hillis,  ''Richard Feynman and The Connection Machine'', Physics Today, '''42'''(2), 78 (1989).</ref>

==Historie==
[[Fil:Logarithms Britannica 1797.png|thumb|420px|Definisjon av logaritmer i [[Encyclopædia Britannica]] fra 1797.]]
{{utdypende|Logaritmers historie}}
Begrepet logaritme ble innført av [[John Napier]] i arbeidet ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' (Beskrivelse av reglene for fantastiske logaritmer) som ble trykt i 1614. Napier var en skotsk landadelsmann med spesiell interesse for tallberegninger og trigonometri. Ifølge eget utsagn hadde han arbeidet med logaritmene i over tjue år før han publiserte resultatene. Han ønsket å redusere arbeidet med [[multiplikasjon]] og [[Divisjon (matematikk)|divisjon]] av store tall som man benyttet innen [[navigasjon]] og [[astronomi]].

En forbedret system med logaritmer basert på grunntallet 10 ble publisert av [[Henry Briggs]] i 1617 i verket ''Logarithmorum chilias prima'' (De tusen første logaritmer) med dette nye grunntallet i 1617. De har fordelene at {{nowrap|lg&thinsp;1 {{=}} 0}} og {{nowrap|lg&thinsp;10 {{=}} 1}} slik at de egner seg spesielt for [[desimaltall]]. Dette er de samme briggske logaritmer som brukes i dag.

I de følgende årene ble det utarbeidet stadig nye og mer nøyaktige tabeller med logaritmer og deres verdier for [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjoner]]. Noen tiår senere ble det klart at en bedre forståelse av denne beregningsmetoden kunne fås fra en kontinuerlig logaritmefunksjon basert på arealet under en [[hyperbel]]. På midten av 1700-tallet viste [[Leonhard Euler]] at den [[Naturlig logaritme#Hyperbolsk definisjon|hyperbolske logaritmefunksjonen]] ikke var noe annet enn den inverse av [[eksponentialfunksjon]]en med [[Eulers tall]] ''e'' som grunntall.<ref name="Kline">M. Kline, ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Volume 2, Oxford University Press, England (1972). ISBN 978-0-19-506136-9.</ref>

De hyperbolske logaritmene ble derfor i ettertid omtalt som [[naturlig logaritme|naturlige logaritmer]]. Dette gjorde det mulig til å beregne logaritmen til [[komplekst tall|komplekse tall]] og derfor også for negative tall. Mest kjent er prinsipalverdien {{nowrap|ln(-1) {{=}} ''i&pi;&thinsp;''}} som er ekvivalent med [[Eulers likhet]] {{nowrap|''e''<sup>''i&pi;''</sup> {{=}} - 1}}. Generelt er den komplekse logaritmefunksjonen mangetydig, men kan formuleres som en entydig funksjon ved en [[kompleks analyse|analytisk fortsettelse]].

==Se også==
* [[Napiers logaritme]]
* [[Henry Briggs#Briggske logaritmer|Briggs-logaritmer]]
* [[Logaritmers historie]]

==Referanser==
<references />

== Litteratur ==

* O.F.Olden, S.K.Østratt:  ''Matematiske og fysiske tabeller'', Aschehoug, 1970.
*{{Kilde bok
| forfatter= M.Abramowitz, I.Stegun
| redaktør= 
| utgivelsesår=1964
| artikkel=
| tittel=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= 
| forlag= Dover Publications
| side=
| isbn= 0-486-61272-4
| id=
| kommentar= 
| url= }}
*{{Kilde bok
| forfatter= C.B.Boyer
| redaktør= 
| utgivelsesår=1968
| artikkel=
| tittel=A history of mathematics.  
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Princton, USA
| forlag= John Wiley & Sons, Inc
| side=
| isbn=  0-691-02391-3 
| id=
| kommentar= 
| url= }}

==Eksterne lenker==

* S.O.S. Mathematics, [http://www.sosmath.com/tables/logtable/logtable.html ''Briggs-logaritmer for 1000 decimaltall mellom 1 og 10.'']

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Logaritmer]]
[[Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha]]