Redigerer Ligninger for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor

'''Ligninger for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor''' er matematiske sammenhenger fra fluiddynamikken som må løses for å finne ''Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor''. Ligningene er basert på eksperimentelle data og teori for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor. Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor er en [[dimensjonsløs størrelse]] som brukes i [[Darcy-Weisbachs ligning]] for å beregne friksjonstap i [[rør]] eller kanaler, samt også for strøming i åpen kanal. Friksjonstap vil si det samme som trykkfall eller redusert fallhøyde. Faktoren er også kjent som ''Weisbachs friksjonsfaktor'' eller ''Moodys friksjonsfaktor'', og er fire ganger større enn ''[[Fannings friksjonsfaktor]]''.<ref>{{Cite book| title=Oilfield Processing of Petroleum. Vol. 1: Natural Gas | first1=Francis S. | last1=Manning | first2=Richard E. | last2=Thompson | publisher=PennWell Books | year=1991 | isbn=0-87814-343-2| postscript= }}, 420 pages. See page 293.</ref>

Ligningene for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor søker å gi en mest mulig nøyaktig beregning av falltapet, gitt forholdene. Om stor grad av nøyaktighet ikke er nødvendig kan Moodys diagram også brukes, noe som er betydelig enklere.

== Strømningsregimer ==
Hvilken formel for friksjonsfaktoren som bør komme til anvendelse avhengig av strømningstypen for veskestrømmen som studeres:
* ''[[Laminær strømining]]''
* Overgang mellom laminær og ''[[Turbulens|turbulent strømning]]''
* Fullt utviklet turbulent strømning i glatte rør
* Fullt utviklet turbulent strømning i ru rør
* Strømning med fri overflate (for eksempel åpen kanal eller ikke fullstendig fylt rør).

=== Laminær strømning ===
''Darcys friksjonsfaktor'' for laminær strømning i et sirkulært rør ([[Reynoldstall]] mindre enn 2100), er gitt ved følgende formel:

:<math> f = \frac{64}{\mathrm{Re}}</math>

der:
* f er Darcys friksjonsfaktor
* Re er Reynoldstall.

=== Transiente strømning ===
Overgangen (hverken helt laminær eller fullstendig turbulent) strømning finner sted i området der  Reynoldstall ligger mellom 2300 og 4000. Verdien av Darcys friksjonsfaktor kan være gjenstand for store usikkerheter i dette strømningsregime.

=== Turbulent strømning i glatte rør ===
''Blasius-korrelasjon'' er den enkleste ligningen for beregning av Darcy-Weisbachs friksjonfaktor. I Blasius-korrelasjonen inngår ikke noe begrep for rør-ruhet, den er derfor gyldig bare for glatte rør. Imidlertid brukes Blasius-korrelasjon noen ganger i sammenheng med ru rør på grunn av sin enkle form. Blasius-korrelasjon er gyldig opp til Reynolds-tall 100 000.

=== Turbulent strømning i ru rør ===
Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor for fullt utviklet turbulent strømning (Reynolds tall større enn 4000) i ru rør er gitt ved ''Colebrook-ligningen''.

=== Fri overflatestrømning ===
Den siste formelen i ''Cole-ligningen'' i denne artikkelen er for strømning med fri overflate. Approksimasjonene andre steder i denne artikkelen er ikke aktuelt for denne type strømning.

== Valg av formel ==
Før det velges formel det er verdt å kjenne til at i [[Moodys diagram]] er nøyaktigheten omtrent ± 5 % for glatte rør og ±10 % for ru rør. Hvis mer enn én formel er anvendelig i strømningsregimet som er under vurdering, kan valget av formel bli påvirket av en eller flere av de følgende forhold:
* Nødvendig presisjon
* Hastighet for utregningen
* Tilgjengelig teknologi for beregningen:
** [[kalkulator]] (minimere tastetrykk)
** [[regneark]] (encellede formler)
** programmering/skriptspråk (subrutine).

=== Kompakte former ===
Colebrook-ligningen er en implisitt ligning som kombinerer eksperimentelle resultater fra studier av turbulent strømning i glatte og ru rør. Den ble utviklet i 1939 av C. F. Colebrook.<ref>{{cite journal |first=C.F. | last=Colebrook | title=Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws | journal=Journal of the Institution of Civil Engineers | location=London |date=februar 1939}}</ref> Artikkelen fra 1937 av C. F. Colebrook og C. M. White<ref>{{cite journal | title = Experiments with Fluid Friction in Roughened Pipes | author=Colebrook, C. F. and White, C. M. | journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences | volume = 161 | pages=367–381 | year=1937 | issue= 906 | doi=10.1098/rspa.1937.0150 |bibcode=1937RSPSA.161..367C }}</ref> blir begge ofte feilaktig oppgitt som kilde til ligningen. Dette er delvis fordi Cole i en fotnote (i hans artikkel fra 1939) erkjenner sin gjeld til White for å foreslå den matematiske metoden som den glatte og ru rørkorrelasjoner kan kombineres med. Ligningen brukes [[iterasjon|iterativt]] for å løse ut Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor kjent som ''f''. Denne ligningen er også kjent som ''Colebrook-White ligningen''.

For rørledninger helt full av [[væske]] og med Reynolds-tall større enn 4000, er ''f'' definert som:

:<math> \frac{1}{\sqrt{f}}= -2 \log_{10} \left( \frac { \varepsilon}
{3,7 D_\mathrm{h}} + \frac {2,51} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right)</math>

hvor:
* Log<sub>10</sub> [[Logaritme]] med 10 som grunntall
* <math>\varepsilon</math> er trykkhøydetap på grunn av kanalens ruhet [m]
* D er hydraulisk diameter av kanalen (for et rør med sirkulært tverrsnitt, tilsvarer dette den indre diameter av røret) [m] 

De andre faktorene er de samme som definert over.

En kan løse Cole-ligningen ved iterasjon ved hjelp av [[Newtons metode]]. Et eksempel er gitt i den eksterne lenken helt nede i artikkelen.

=== Utvidede formler ===
Som en alternativ metode kan matematisk ekvivalente former av Cole-White ligningen brukes:

:<math> \frac{1}{\sqrt{f}}= 1,7384\ldots -2 \log_{10} \left( \frac { 2 \varepsilon}
{D_\mathrm{h}} + \frac {18,574} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right)</math>

::der:
:::1,7384... = 2 log (2 &times; 3,7) = 2 log (7,4)
:::18,574 = 2,51 &times; 3,7 &times; 2

og

:<math> \frac{1}{\sqrt{f}}= 1,1364\ldots + 2 \log_{10} (D_\mathrm{h} / \varepsilon) -2 \log_{10} \left( 1 + \frac { 9,287} {\mathrm{Re} (\varepsilon/D_\mathrm{h}) \sqrt{f}} \right)</math>

:eller

:<math> \frac{1}{\sqrt{f}}= 1,1364\ldots  -2 \log_{10} \left( \frac {\varepsilon}
{D_\mathrm{h}} + \frac {9,287} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right) </math>

:: der:
:::1,1364... = 1,7384... &minus; 2 log (2) = 2 log (7,4) &minus; 2 log (2) = 2 log (3,7)
:::9,287 = 18,574 / 2 = 2,51 &times; 3,7.

De ekstra ekvivalente formene ovenfor forutsetter at konstantene 3,7 og 2,51 i formelen i begynnelsen av dette avsnittet er nøyaktig. Konstantene er trolig verdier som ble avrundet av Cole under hans [[kurvetilpasning]], men de gir mulighet for eksakt behandling når en sammenligner resultater (med flere desimaler) fra eksplisitte formler (slik som de som finnes andre steder i denne artikkelen) for friksjonsfaktoren beregnet via Colebrooks implisitte ligning.

Ligninger lik de alternative formene ovenfor (med konstantene avrundet til færre desimaler, eller kanskje litt forskjøvet for å minimalisere total avrundingsfeil) kan bli funnet i en rekke referanser. Det kan være nyttig å merke seg at de i hovedsak er den samme ligningen.

=== Fri overflatestrømning ===
En annen form for Colebrook-White ligningen foreligger for strømning med fri overflate. En slik tilstand kan som nevnt finnes i et rør som er delvis fylt av væske. Fri overflatestrøm:

:<math>\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10} \left(\frac{\varepsilon}{12R_\mathrm{h}} + \frac{2,51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).</math>

== Approksimasjoner av Colebrook  ligningen ==

=== Haaland ligningen ===
''Haaland ligningen'' ble foreslått av professor  S. E. Haaland ved [[Norges tekniske høgskole]] i 1984. Den brukes til å løse ut direkte for Darcy-Weisbach friksjonsfaktor ''f'' for et fylt sirkulært rør.  Ligningen er en tilnærming til den implisitte Colebrook-White ligningen, men avviket fra eksperimentelle data er godt innenfor nøyaktigheten av dataene.

Haaland ligningen er definert som:

:<math> \frac{1}{\sqrt {f}} = -1,8 \log_{10} \left[ \left( \frac{\varepsilon/D}{3,7} \right)^{1,11} + \frac{6,9}{\mathrm{Re}} \right] </math><ref name="ReferenceA">BS Massey Mechanics of Fluids 6th Ed ISBN 0-412-34280-4</ref>

der parametrene er de samme som definnert over.

=== Swamee-Jain ligning ===
Swamee-Jain ligning brukes til å løse direkte ut for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor ''f'' for et fylt sirkulære rør. Det er en tilnærming til den implisitte Colebrook-White ligningen.

:<math>f = 0,25 \left[\log_{10} \left(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\right)\right]^{-2}</math>

hvor parametrene er de samme som definnert over.

=== Serghides løsning ===
Serghides løsning brukes til å løse ut direkte for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor ''f'' for et fylt  sirkulært rør. Det er en tilnærming til den implisitte Colebrook-White ligningen. Det ble avledet med ''Steffensen metode''.<ref>Serghides, T.K (1984). "Estimate friction factor accurately". ''Chemical Engineering Journal'' ''91''(5): 63–64.</ref>

Løsningen innebærer beregning av tre mellomliggende verdier og deretter erstatte disse verdiene i en endelig ligning.

: <math> A = -2\log_{10}\left( {\varepsilon\over 3,7 D} + {12\over \mbox{Re}}\right) </math>

: <math> B = -2\log_{10} \left({\varepsilon\over 3,7 D} + {2,51 A \over \mbox{Re}}\right) </math>

: <math> C = -2\log_{10} \left({\varepsilon\over 3,7 D} + {2,51 B \over \mbox{Re}}\right) </math>

: <math> f = \left(A - \frac{(B - A)^2}{C - 2B + A}\right)^{-2}</math>

hvor parametrene er de samme som definnert over.

Denne ligningen ble funnet å gi samme resultat som Colebrook-White ligningen innenfor en feilmargin på 0,0023 % med en test satt med en 70-punkts matrise som bestod av ti verdier for relative ruhet (i området  0,00004 til 0,05) med forsøk med syv forskjellige Reynolds tall (fra 2500 til 10 <sup>8</sup>).

=== Goudar-Sonnad ligningen ===
Goudar ligningen er den mest nøyaktige tilnærming for å løse direkte ut for Darcy-Weisbach friksjonsfaktor ''f '' for et fylt sirkulære rør. Det er en tilnærming til den implisitte Colebrook-White ligningen. Ligning har følgende form:<ref>Goudar, C.T., Sonnad, J.R. (August 2008). "Comparison of the iterative approximations of the Colebrook–White equation". ''Hydrocarbon Processing'' '''Fluid Flow and Rotating Equipment Special Report'''(August 2008): 79–83.</ref>

: <math> a = {2 \over \ln(10)}</math>
: <math> b = {\varepsilon/D\over 3,7} </math>
: <math> d = {\ln(10)Re\over 5,02} </math>
: <math> s = {bd + \ln(d)} </math>
: <math> q = {{s}^{s/(s+1)}} </math>
: <math> g = {bd + \ln{d \over q}} </math>
: <math> z = {\ln{q \over g}} </math>
: <math> D_{LA} = z{{g\over {g+1}}} </math>
: <math> D_{CFA} = D_{LA} \left(1 + \frac{z/2}{(g+1)^2+(z/3)(2g-1)}\right) </math>
:<math>    \frac{1}{\sqrt {f}} = {a\left[ \ln\left( \frac{d}{q} \right) + D_{CFA} \right] } </math>

hvor parametrene er de samme som definnert over.

=== Brkić løsning ===
Brkić har vist en tilnærming av Cole ligningen basert på Lambert W-funksjon:<ref>
{{cite journal |   title=An Explicit Approximation of Colebrook’s equation for fluid flow friction factor | author=Brkić, Dejan | journal=Petroleum Science and Technology | volume=29 | pages=1596–1602 | year=2011 | issue=15 | doi=10.1080/10916461003620453}}</ref>

:<math> S = ln\frac{Re}{\mathrm{1,816ln\frac{1,1Re}{\mathrm{ln(1+1,1Re)}}}}</math>

: <math> \frac{1}{\sqrt {f}} = -2\log_{10} \left({\varepsilon/D\over 3,71} + {2,18 S \over \mbox{Re}}\right) </math>

hvor parametrene er de samme som definnert over.

=== Blasius korrelasjoner ===
Tidlige tilnærmelser av Paul Richard Heinrich Blasius i form av Moodys friksjonsfaktor er gitt i en artikkel fra 1913:<ref name="Trinh">[http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1007/1007.2466.pdf Trinh, On the Blasius correlation for friction factors, p. 1]</ref>

<math>f = 0,316 \mathrm{Re}^{-{1 \over 4}}</math>

Johann Nikuradse foreslo i 1932 at dette svarer til en [[Potenslov]]-korrelasjon for fluidhastighetsprofilet.

I 1979 foreslo Mishra og Gupta en korreksjon for buede eller spiralformet kveilede rør som tar hensyn til ekvivalente kurveradius, R<sub>c</sub>:<ref>Adrian Bejan, Allan D. Kraus, Heat transfer handbook, John Wiley & Sons, 2003</ref>

<math>f = 0,316 \mathrm{Re}^{-{1 \over 4}} + 0,0075\sqrt{\frac {D}{2 R_c}}</math>, 

med

<math>R_c = R\left[1 + \left(\frac{H}{2 \pi R} \right)^2\right]</math>

* ''H'' [m] er spiralbanens (det kveilede rørets) stigning. Alle de andre parametrene er de samme som definert tidligere. Formlene er gyldig for:
* ''Re<sub>tr</sub>'' < ''Re'' < 10<sup>5</sup>
*6,7 < ''2R<sub>c</sub>/D'' < 346,0
*0 < ''H/D'' < 25,4

==Tabell for approksimasjoner==
Tabellen under lister opp historiske approksimasjoner:<ref name=Beograd>{{cite journal|last=Beograd|first=Dejan Brkić|title=Determining Friction Factors in Turbulent Pipe Flow|journal=Chemical Engineering|date=mars 2012|pages=34–39|url=http://www.che.com/processing_and_handling/liquid_gas_and_air_handling/9059.html|url-tilgang=abonnement}}</ref> 

* Re er Reynoldstall (dimensjonsløst tall)
* f  er Darcy-Weisbach friksjonsfaktor (dimensjonsløs)
* &epsilon; er ruheten av rørets flater (spesifikt)
* ''D'' er indre rør diameter;
* <math>\log(x)</math> logaritmen med 10 som grunntall.

Merk at Churchill-ligningen<ref>{{cite journal | first=S.W. | last=Churchill | title=Friction-factor  equation spans all fluid-flow regimes | journal=Chemical Engineering | pages = 91–92 |date=7. november 1977}}</ref> (1977) er den eneste som gir en korrekt verdi for friksjonsfaktoren i det laminære strømningsområde (Reynolds tall < 2300). Alle de andre er bare for overgangs- og turbulent strømning. 

{| class="wikitable sortable" border="1"
|+ Table of Colebrook equation approximations
|-
! scope="col" class="unsortable"| Equation
! scope="col" | Author
! scope="col" | Year
|-
|
<math>
f = 0,0055 (1 + (2 \times10^4 \cdot\frac{\varepsilon}{D} + \frac{10^6}{Re} )^\frac{1}{3})
</math>
|Moody
|1947
|-
|
<math>
f = 0,094 (\frac{\varepsilon}{D})^{0,225} + 0,53 (\frac{\varepsilon}{D}) + 88 (\frac{\varepsilon}{D})^{0,44} \cdot {Re}^{-{\Psi}}
</math>
:hvor
:<math>\Psi = 1,62(\frac{\varepsilon}{D})^{0,134}</math>
|Wood
|1966
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log (\frac{\varepsilon}{3,715D} + \frac{15}{Re})
</math>
|Eck
|1973
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log (\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{5,74}{Re^{0,9}})
</math>
|Jain and Swamee
|1976
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log ((\frac{\varepsilon}{3,71D}) + (\frac{7}{Re})^{0,9})
</math>
|Churchill
|1973
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log ((\frac{\varepsilon}{3,715D}) + (\frac{6,943}{Re})^{0,9}))
</math>
|Jain
|1976
|-
|
<math>
f = 8[(\frac{8}{Re})^{12} + \frac{1}{(\Theta_1 + \Theta_2)^{1,5}})]^{\frac{1}{12}}
</math>
:where
:<math>\Theta_1=[-2,457 \ln[(\frac{7}{Re})^{0,9} + 0,27\frac{\varepsilon}{D}]]^{16}</math>
:<math>\Theta_2 = (\frac{37530}{Re})^{16}</math>
|Churchill
|1977
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log [\frac{\varepsilon}{3,7065D} - \frac{5,0452}{Re} \log(\frac{1}{2,8257}(\frac{\varepsilon}{D})^{1,1098} + \frac{5,8506}{Re^{0,8981}})]
</math>
|Chen
|1979
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = 1,8\log[\frac{Re}{0,135Re(\frac{\varepsilon}{D}) +6,5}]
</math>
|Round
|1980
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log \left(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{5,158log(\frac{Re}{7})} {Re \left(1 + \frac{Re^{0,52}}{29} (\frac{\varepsilon}{D})^{0,7} \right)} \right)
</math>
|Barr
|1981
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log [\frac{\varepsilon}{3,7D} - \frac{5,02}{Re} \log(\frac{\varepsilon}{3,7D} - \frac{5,02}{Re} \log(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{13}{Re}))]
</math>
:or
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log [\frac{\varepsilon}{3,7D} - \frac{5,02}{Re} \log(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{13}{Re})]
</math>
|Zigrang and Sylvester
|1982
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1,8 \log \left[\left(\frac{\varepsilon}{3,7D}\right)^{1,11} + \frac{6,9}{Re}\right]
</math>
|Haaland{{efn| Haalandligningen ble foreslått av professor Haaland ved Norges tekniske høgskole i 1984. Den brukes til å løse direkte ut for Darcy-Weisbach friksjonsfaktor ''f'' for en fylt sirkulært rør. Det er en tilnærming til den implisitte Colebrook-White ligningen, men avviket fra eksperimentelle data er godt innenfor nøyaktigheten av dataene. Den ble utviklet av S. E. Haaland i 1983 .}}<ref name="ReferenceA"/>
|1983
|-
|
<math>
f = [\Psi_1 - \frac{(\Psi_2-\Psi_1)^{2}}{\Psi_3-2\Psi_2+\Psi_1}]^{-2}</math>
:or
<math>
f = [4,781 - \frac{(\Psi_1-4,781)^{2}}{\Psi_2-2\Psi_1+4,781}]^{-2}</math>
:where
:<math>\Psi_1 = -2\log(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{12}{Re})</math>
:<math>\Psi_2 = -2\log(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{2,51\Psi_1}{Re})</math>
:<math>\Psi_3 = -2\log(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{2,51\Psi_2}{Re})</math>
|Serghides
|1984
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{95}{Re^{0,983}} - \frac{96,82}{Re})</math>
|Manadilli
|1997
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log \lbrace \frac{\varepsilon}{3,7065D}-\frac{5,0272}{Re}\log[\frac{\varepsilon}{3,827D}- \frac{4,657}{Re} \log ((\frac{\varepsilon}{7,7918D})^{0,9924} + (\frac{5,3326}{208,815 + Re})^{0,9345})] \rbrace </math>
|Monzon, Romeo, Royo
|2002
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = 0,8686 \ln[\frac{0,4587Re}{(S-0,31)^{\frac{S}{(S+1)}}}]
</math>
:hvor:
:<math>S = 0,124Re \frac{\varepsilon}{D} + \ln (0,4587Re)</math>
|Goudar, Sonnad
|2006
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = 0,8686 \ln[\frac{0,4587Re}{(S-0,31)^{\frac{S}{(S+0,9633)}}}]
</math>
:hvor:
:<math>S = 0,124Re \frac{\varepsilon}{D} + \ln (0,4587Re)</math>
|Vatankhah, Kouchakzadeh
|2008
|-
|
<math>
\frac{1}{\sqrt{f}} = \alpha - [ \frac {\alpha + 2\log(\frac{\Beta}{Re})}{1 + \frac{2.18}{\Beta}}]
</math>
:where
:<math>\alpha = \frac{(0,744\ln(Re)) - 1,41}{(1+ 1,32\sqrt{\frac{\varepsilon}{D}})}</math>
:<math>\Beta = \frac{\varepsilon}{3,7D}Re + 2,51\alpha</math>
|Buzzelli
|2008
|-
|
<math>
f = \frac{6,4}{(\ln(Re) -\ln(1+0,01Re\frac{\varepsilon}{D}(1+10\sqrt{\frac{\varepsilon}{D}})))^{2,4}}
</math>
|Avci, Kargoz
|2009
|-
|
<math>
\lambda = \frac{0,2479 - 0,0000947(7-\log Re)^{4}}{(\log(\frac{\varepsilon}{3,615D} + \frac{7,366}{Re^{0,9142}}))^{2}}
</math>
|Evangleids, Papaevangelou, Tzimopoulos
|2010
|}

{{løpenummer|lower-alpha}}
<references group="lower-alpha"/>

==Referanser==
<references/>


==Litteratur==
*{{cite journal | first=C.F. | last=Colebrook | title=Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws | journal=Journal of the Institution of Civil Engineers | location=London |date=februar 1939 | doi=10.1680/ijoti.1939.13150}} <br /> For the section which includes the free-surface form of the equation – {{Cite journal | year=2002 |title=Computer Applications in Hydraulic Engineering | url=https://archive.org/details/computerapplicat0000unse_n2s7 | edition=5th | publisher=Haestad Press | postscript=<!--None--> }}, p.&nbsp;16.
*{{cite journal|last = Haaland|first = SE|title = Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Flow|url = https://archive.org/details/sim_journal-of-fluids-engineering_1983-03_105_1/page/89|journal = Journal of Fluids Engineering | publisher=ASME|volume = 105|pages = 89–90|year = 1983|issue = 1|doi=10.1115/1.3240948}}
*{{cite journal | author = Swamee, P.K. |author2=Jain, A.K. | year = 1976 | title = Explicit equations for pipe-flow problems | journal = Journal of the Hydraulics Division | publisher=ASCE | volume = 102 | issue = 5 | pages = 657–664}}
*{{cite journal| author = Serghides, T.K | year = 1984 |title = Estimate friction factor accurately | url = https://archive.org/details/sim_chemical-engineering_1984-03-05_91_5/page/n66 | journal = Chemical Engineering | volume = 91 | issue = 5 | pages = 63–64}} – Serghides' solution is also mentioned [http://www.cheresources.com/colebrook2.shtml here].
*{{cite journal | first=L.F. | last=Moody | title=Friction Factors for Pipe Flow | journal=Transactions of the ASME | volume=66 | issue=8 | year=1944 | pages=671–684 }}
*{{cite journal | first=Dejan | last=Brkić | title=Review of explicit approximations to the Colebrook relation for flow friction | journal=Journal of Petroleum Science and Engineering | volume=77 | issue=1 | year=2011 | pages=34–48 | doi=10.1016/j.petrol.2011.02.006 }}
*{{cite journal | first=Dejan | last=Brkić | title=W solutions of the CW equation for flow friction | journal=Applied Mathematics Letters | volume=24 | issue=8 | year=2011 | pages=1379–1383 | doi=10.1016/j.aml.2011.03.014 }}

==Eksterne lenker==
* [http://www.calctool.org/CALC/eng/civil/friction_factor Web-based calculator of Darcy friction factors by Serghides' solution.]
* [http://processimulation.blogspot.no/2014/06/metodos-numericos-con-c-en-esta.html Métodos Numéricos con C #]
{{Autoritetsdata}}
[[Kategori:Fluiddynamikk]]