Redigerer Larmors formel

[[Fil:Larmor formula 1897.jpg|thumb|360px|Larmors strålingsformel i hans originalarbeid, 1897.]]
'''Larmors formel''' er et [[matematikk|matematisk]] uttrykk for hvor mye [[energi]] per tidsenhet en [[elektrisk ladning|elektrisk ladet]] partikkel stråler ut når den er [[akselerasjon|akselerert]]. Den er bare gyldig så lenge som partikkelen beveger seg mye langsommere enn [[lyshastigheten]] ''c''. 

Når partikkelens akselerasjon er ''a'' og den har en [[elektrisk ladning]] ''q'' i det vanlige [[SI-systemet]],  skrives formelen som

:<math> P = \frac{q^2 a^2}{6 \pi \varepsilon_0 c^3} </math>

I eldre litteratur som benytter [[CGS-systemet]] hvor [[Coulombs konstant]] ''k<sub>e</sub>'' = 1/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub> er lik én, tar den formen 

:<math> P = \frac{2q^2 a^2}{3 c^3} </math>

[[Måleenhet]]ene i dette systemet er nesten identiske med de [[Joseph Larmor]] benyttet i 1897 da han utledet formelen.

Med etableringen av [[Einstein]]s [[spesiell relativitet|spesielle relativitetsteori]] i 1905 lot formelen til Larmor seg generalisere til partikler med vilkårlig store hastigheter. Dens utledning er en sentral del av moderne [[elektrodynamikk]].

==Bakgrunn==
[[Zeeman-effekt]]en ble oppdaget i 1896 og viste at  [[spektrallinje]]ne fra et [[atom]] blir splittet opp når det befinner seg i et [[magnetfelt]]. Kort tid etterpå kunne  [[Hendrik Antoon Lorentz|Lorentz]] forklare denne effekten ved at atomet inneholder negativt ladete partikler som beveger seg i lukkete baner.  [[Frekvens]]en til det utsendte lyset skulle da være gitt ved den omvendte omløpstiden i en slik bane.

Hvis disse ladningene i tillegg ble utsatt for et magnetfelt, vil [[Lorentz-kraft]]en påvirke omløpstiden i banen og dermed gi opphav til nye frekvenser. Ut fra størrelsen av denne magnetiske oppsplittingen av spektrallinjene, kunne Lorentz estimere at massen til de ladete partiklene tilsvarte massen til [[elektron]]et som var oppdaget av [[Joseph John Thomson|Thomson]] omtrent på samme tid.<ref> A. Pais, ''Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World'', Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref>

[[Joseph Larmor|Larmor]] hadde i flere år vært opptatt med [[Maxwells ligninger|Maxwells teori]] for [[elektromagnetisk stråling]] og egenskapene til [[eter (fysikk)|eteren]] som denne beveger seg gjennom.<ref name = Darrigol> O. Darrigol, ''Electrodynamics from Ampere to Einstein'',  Oxford University Press, England (2002). ISBN 0-19-850594-9.</ref> Det var derfor nærliggende for han å undersøke nærmere denne modellen til Lorentz for utsendelse av lys fra atom med ladete partikler i lukkete baner hvor de må en stor [[akselerasjon]]. Selv om han kom frem til en enkel formel for hvor mye energi en slik partikkel vil sende ut, kunne han ikke trekke noen avgjørende konklusjoner av resultatet.<ref name = Larmor> J. Larmor, [http://mriquestions.com/uploads/3/4/5/7/34572113/larmor_paper_540013.pdf  ''On the theory of the magnetic influence on spectra and on the radiation from moving ions''], Phil. Mag, Series 5, '''44''' (271),  503-512  (1897).</ref>

Det var i samme arbeid han kom frem til [[magnetisk moment#Larmor-presesjon|Larmor-frekvensen]] som angir [[vinkelhastighet]]en for [[presesjon]] av et [[magnetisk moment]] i et magnetfelt.

==Utledning==

I sin utledning av strålingsformelen beregnet Larmor det [[elektrisk felt|elektriske]] og [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] fra en ladet partikkel i bevegelse ved å løse Maxwells ligninger i stor avstand fra denne.<ref name = Jackson> J. D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'', John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.</ref> Med antagelse av at partikkelen har en hastighet {{nowrap|''v'' << ''c''}}, kan disse feltene i et punkt '''r''' langt borte fra partikkelen ved  tidspunktet ''t'' beregnes fra [[Elektromagnetisk felt#Elektromagnetisk stråling|vektorpotensialet]]

: <math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = {q\mu_0\over 4\pi r}\mathbf{v}(t - r/c) </math>

Det tilsvarende magnetfeltet følger fra definisjonen  {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A'''}} som gir

: <math> \mathbf{B} (\mathbf{r}, t) = - {q\mu_0\over 4\pi rc} {\mathbf{n}\times\dot\mathbf{v}}(t - r/c) </math>

hvor <math>  \mathbf{a} = \dot\mathbf{v} </math> er [[akselerasjon]]en til partikkelen og enhetsvektoren '''n''' = '''r'''/''r'' peker mot feltpunktet i retning '''r'''. Magnetfeltet står som forventet [[vinkelrett]] på denne retningen. På tilsvarende måte er det elektriske feltet gitt ved '''E''' = ''c''&thinsp;'''B'''&thinsp;&times;&thinsp;'''n''' og står derfor vinkelrett både på '''B''' og utbredelsesretningen '''n'''. 

===Differensiell utstråling===

Den utstrålte energien per tidsenhet og flateenhet i denne retningen er nå gitt som '''n'''&sdot;'''S''' hvor  '''S''' = '''E'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' er [[Poyntings vektor]] og {{nowrap|'''H''' {{=}} '''B'''/''&mu;''<sub>0</sub>}} i vakum. Betrakter man en liten [[romvinkel]] ''d&Omega;'' i stråleretningen, er dermed energistrømmen gjennom denne gitt som

: <math> {dP\over d\Omega} =  r^2\mathbf{n}\cdot\mathbf{S} =  {q^2\mu_0\over 16\pi^2 c}(\mathbf{n}\times\dot\mathbf{v})^2</math>

I denne ikke-relativistiske grensen er energiutstrålingen uavhengig av hastigheten til partikkelen og dennes retning. Kaller man vinkelen mellom vektorene '''a''' og '''n''' for ''&theta;'', tar resultatet formen

: <math> {dP\over d\Omega} =  {q^2 a^2\over 16\pi^2\varepsilon_0 c^3}\sin^2\theta </math>

ved å benytte at ''c&mu;''<sub>0</sub>  =  1/''c&epsilon;''<sub>0</sub>. Strålingen er derfor konsentrert i retninger som er nærmest normalen til akselerasjonen og uavhengig av den [[asimut]]ale vinkelen ''&phi;'' om denne. Dette er Larmors formel på differensial form.

===Integrert utstråling===
De to vinklene ''&theta;'' og ''&phi;'' utgjør vanlige [[kulekoordinater]] slik at man kan skrive romvinkelen som ''d&Omega;'' = sin''&theta;d&theta;''&thinsp;''d&phi;''. Den utstrålte energien i alle retninger og per tidsenhet finnes ved integrasjon over disse vinklene. Da formelen er uavhengig av ''&phi;'', gir denne integrasjonen ganske enkelt 2''&pi;''. For integrasjonen over ''&theta;'', kan man innføre ''x'' = cos''&theta;'' slik at sin<sup>2</sup>''&theta;'' = 1 - ''x''<sup>&thinsp;2</sup>. Da reduseres  det gjenværende integralet til

: <math> \int_{-1}^1\!dx (1 - x^2) = {4\over 3} </math>

og gir den integrerte formelen

: <math> P = {q^2 \dot{v}^2\over 6\pi\varepsilon_0 c^3} </math>

Siden dette resultatet er uavhengig av hastigheten til partikkelen, er det også gyldig i dens instantane hvilesystem hvor den har null hastighet. Spesiell relativitetsteori sier nå at resultatet må være gyldig i et vilkårlig referansesystem der partikkelen beveger seg med hastigheten '''v'''.  Ved å skrive resultatet på en [[Kovariant relativitetsteori|Lorentz-invariant]] måte, kan det så vises at den relativistisk korrekte Larmor-formelen er

: <math> P = {q^2\gamma^6\over 6\pi\varepsilon_0 c^3} \Big[ \dot\mathbf{v}^2 - (\dot\mathbf{v}\times\mathbf{v}/c)^2\Big]  </math>

hvor ''&gamma;''<sup>&thinsp;2</sup> = 1/(1 - ''v''<sup>&thinsp;2</sup>/''c''<sup>&thinsp;2</sup>) er den kvadrerte [[Spesiell relativitet#Utledning av Lorentz-transformasjonen|Lorentz-faktoren]]. Utstrålingen øker derfor kraftig når partikkelhastigheten nærmer seg lyshastigheten.<ref name = Jackson/>

Dette generelle resultatet ble funnet allerede i 1898 av Alfred-Marie Liénard som en konsekvens av [[Liénard-Wiechert-potensial]]ene.<ref name = L> A. -M. Liénard, ''Champ électrique et magnétique produit par une charge électrique'', Éclairage Électr. '''16''', 5–14 (1898).</ref>  At dette kunne gjøres flere år før [[Einstein]] hadde formulert sin [[spesiell relativitet|spesielle relativitetsteori]], skyldes at Maxwell-teorien i utganspunktet er i overensstemmelse med Einsteins teori. I den ikke-relativistiske grensen der {{nowrap|''v'' << ''c''}}, kan det siste leddet i det generelle uttrykket neglisjeres, og man står igjen med den opprinnelige formelen til Larmor.

==Thomsons utledning==
[[Fil:Larmor-Thomson.jpg|thumb|320px|Den røde [[feltlinje]]n har fått en knekk som er opphav til strålingsfeltet.]]
Mens Larmor hadde utledet sin formel ved den strenge, matematisk behandling av Maxwells ligninger, kunne [[Joseph John Thomson|J.J. Thomson]] noen få år senere presentere en forenklet utgave av denne beregningen.<ref name = Thomson> J.J. Thomson, [https://archive.org/details/electricitymatte00thomiala/page/n7/mode/2up ''Electricity and Matter''], Charles Scribner's Sons, New York (1904).</ref> Den har senere blitt nevnt i noen lærebøker<ref name = Purcell>E.M. Purcell,  ''Electricity and Magnetism'', Berkeley Physics Course, Volume 2, McGraw-Hill Book Company, New York (1965).</ref>, mens andre har gitt den en mer grundig gjennomgang.<ref name = Longair> M.S. Longair, ''Theoretical Concepts in Physics'', Cambridge University Press, Cambridge (2003). ISBN 978-0-521-52878-8.</ref>

Man betrakter ladningen ''q'' først liggende i ro. Den omgir seg da med et radielt, elektrisk felt {{nowrap|''E<sub>r</sub>'' {{=}} ''q''/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>''r''<sup>&thinsp;2</sup>&thinsp;}} som er det samme i alle retninger. I løpet av et kort tidsrom ''dt'' gis nå partikkelen en hastighet ''dv'' som den fortsetter med i samme retng. Etter en tid {{nowrap|''t'' >> ''dt''}} har den derfor beveget seg et stykke {{nowrap|''t&thinsp;dv''}}. Ved dette tidspunktet vil da de elektriske [[feltlinje]]ne peke radielt ut fra denne nye posisjonen. Men de gamle feltlinjene utenfor en avstand ''ct'' har ennå ikke fått vite at partikkelen har inntatt en ny posisjon,. De peker derfor fremdeles tilbake til den opprinnelige posisjonen før akselerasjonen.

Hver enkel feltlinje vil derfor få en «knekk» som illustrert ved siden av.  Det elektriske feltet har dermed fått en komponent i en retning [[vinkelrett]] til den radielle. Denne nye komponenten {{nowrap|''E<sub>&theta;</sub>''&thinsp;}} er opphavet til strålingsfeltet når vinkelen ''&theta;'' angir retningen til feltpunktet i forhold til akselerasjonen. 

Hvis tidsrommet ''dt'' er veldig kort, er knekken i feltlinjen tilnærmet en rett linje med to komponenter {{nowrap|''E<sub>r</sub>''&thinsp;}} og {{nowrap|''E<sub>&theta;</sub>''&thinsp;}}. Fra geometrien i illustasjonen følger nå at

: <math> {E_\theta\over E_r} = {tdv\sin\theta\over cdt} </math>

Setter man her inn for den radielle komponenten ''E<sub>r</sub>'', er strålingskomponenten

: <math> E_\theta = {qa\over 4\pi\epsilon_0c^2r} \sin\theta </math>

etter å ha benyttet at ''r = ct'' og innført akselerasjonen ''a'' = ''dv''/''dt''. Dette er  et strålingsfelt da det avtar omvendt proporsjonalt med avstanden ''r''.

Da størrelsen til [[Poyntings vektor]] nå er gitt som ''S'' = ''&epsilon;''<sub>0</sub>''c''&thinsp;''E<sub>&theta;</sub>''<sup>2</sup>, blir den differensiell strålingsintensiteten

: <math> {dP\over d\Omega} = r^2 S =  {q^2 a^2\over 16\pi^2\varepsilon_0 c^3}\sin^2\theta </math>

i full overensstemmelse med Larmors mer metodiske utledning.

==Referanser==
<references />

==Eksterne lenker==

* D.V. Schroeder, [http://physics.weber.edu/schroeder/mrr/MRRtalk.html Purcell Simplified: Magnetism, Radiation and Relativity] samt Thomsons forenklete utledning.

[[Kategori:Elektromagnetisme]]
[[Kategori:Elektromagnetisk stråling]]