Redigerer L’Hôpitals regel

'''L'Hôpitals regel''' er en regel innenfor [[Matematikk|matematikken]] som brukes til å bestemme grenseverdier av ubestemmelige uttrykk som 0<sup>0</sup>, 0/0, &#8734;/&#8734; og lignende. Regelen sier at en kan finne grenseverdien ved å [[derivasjon|derivere]] teller og nevner i uttrykket hvis det står på formen 0/0 eller &#8734;/&#8734;.

Den er oppkalt etter [[Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital]], som først publiserte den.

==Regel==
*Gitt funksjonene f(x) og g(x)

:<math>\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0.\,</math>

*eller:
:<math>\lim_{x \to c}f(x)=\pm\lim_{x \to c}g(x)=\pm\infty,\,</math>

*Er grenseverdien gitt ved:

:<math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>

==Eksempler==
*Et enkelt eksempel på bruk av L'Hôpitals regel:
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2}{2x^2} = \lim_{x\to\infty}\frac{6x}{4x} = \lim_{x\to\infty}\frac{6}{4} = \frac{3}{2}</math>

*Et litt mer komplisert uttrykk er gitt ved følgende ligning:
: <math>
\begin{align}
\lim_{x\to 0} {2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}
& =\lim_{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x} \\
& = \lim_{x\to 0}{-2\sin x +4\sin 2x \over \sin x} \\
& = \lim_{x\to 0}{-2\cos x +8\cos 2x \over \cos x} \\
& ={-2\cos 0 +8\cos 0 \over \cos 0} \\
& =6
\end{align}
</math>

*Her er et eksempel på et &#8734;/&#8734; uttrykk:
:: <math>
  \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\ 1/(2 \sqrt{x})\ }{1/x}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = \infty
</math>

*0×&#8734; uttrykk:
:: <math>\lim_{x\to 0+} (x  \ln x) =\lim_{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}
=\lim_{x\to 0+}{1/x \over -1/x^2}
=\lim_{x\to 0+} -x = 0</math>


*For å regne ut uttrykk av formen 0<sup>0</sup> må uttrykket omskrives. Vi bruker resultatet fra forrige eksempel til å fastslå grenseverdien:
::<math> \lim_{x\to 0} x^x  = e^{\lim_{x\to 0} (x  \ln x )} = e^0 = 1.</math>

== Litteratur ==
*{{citation|last=Chatterjee|first=Dipak|title=Real Analysis|publisher=PHI Learning Pvt. Ltd|year=2005|isbn=81-203-2678-4}}
*{{citation |last=Krantz |first=Steven G. |title=A handbook of real variables.  With applications to differential equations and Fourier analysis |publisher=Birkhäuser Boston Inc. |place=Boston, MA  |year=2004  |pages=xiv+201 |isbn=0-8176-4329-X  |mr=2015447 |doi=10.1007/978-0-8176-8128-9}}
*{{citation |last=Lettenmeyer |first=F.  |title=Über die sogenannte Hospitalsche Regel  |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik  |volume=174 |year=1936  |pages=246–247 |doi=10.1515/crll.1936.174.246}}
*{{citation |last=Taylor |first=A. E. |title=L'Hospital's rule  |journal=Amer. Math. Monthly  |volume=59 |year=1952  |pages=20–24  |issn=0002-9890  |mr=0044602 |doi=10.2307/2307183}}
*{{citation |last=Wazewski |first=T.  |title=Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations  |language=fransk  |journal=Prace Mat.-Fiz.  |volume=47  |year=1949  |pages=117–128  |mr=0034430 }}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Teorem i differensialregning]]
[[Kategori:Teorem i reell analyse]]
[[Kategori:Grenser (matematikk)]]
[[Kategori:Eponymer]]