Redigerer Kommutativ lov

[[Fil:Commutative Addition.svg|mini|Kommutativitet i [[addisjon]]: 3 + 2 = 2 + 3.]]
En '''kommutative lov''' i [[matematikk]] er et [[teorem]] eller et [[aksiom]] som sier at en [[binær operasjon]] er kommutativ.<ref name=EJBB1/>  En '''kommutativ''' operasjon tillater at rekkefølgen på de to argumentene kan endres uten å endre resultatet.  [[Addisjon]] av [[reelt tall|reelle tall]] er for eksempel kommutativ, slik at 2 + 3 = 3 + 2.  [[Divisjon (matematikk)|Divisjon]] er derimot ikke kommutativ, fordi ''a''/''b'' generelt ikke er lik ''b''/''a''.  Utsagnet «faktorenes orden er likegyldig» er et uttrykk for at multiplikasjon av [[reelt tall|reelle tall]] er kommutativ og [[Assosiativ lov|assosiativ]] (begge egenskapene trengs for at faktorenes rekkefølge ikke skal spille noen rolle).

En [[algebraisk struktur]] som inneholder en kommutativ operasjon blir ofte omtalt som en ''kommutativ struktur''.<ref name=EJBB1/>  En [[abelsk gruppe]] er for eksempel en kommutativ gruppe.

Kommutativitet er en fundamental egenskap til mange operasjoner, og egenskapen blir ofte postulert i [[aksiom]]er som definerer operasjonen.  Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon og [[multiplikasjon]].<ref name=WR1/>  Dersom en operasjon ikke kommuterer, så er den ''ikke-kommutativ''.  Også en matematisk struktur kan være ikke-kommutativ.

== Formell definisjon ==
En binær operasjon  <math>*</math> på en [[mengde]] ''S'' er ''kommutativ'' dersom

:<math>x * y = y * x \qquad \mbox{for alle } x,y \in S. </math>

Dette kan også uttrykkes som at ''x'' og ''y'' ''kommuterer'' i operasjonen.  

Dersom en binære operasjonen uttrykkes som en funksjon ''f(x,y)'', så vil operasjonen være kommutativ hvis og bare hvis funksjonen er [[symmetri|symmetrisk]] slik at  ''f(x,y)'' = ''f(y,x)''.  Operasjonen multiplikasjon kan for eksempel skrives som funksjonen ''f(x,y) = xy''.

En ikke-kommutativ operasjon kan være ''anti-kommutativ'', det vil si at ''f(x,y) = - f(y,x)''.  Dette krever at resultatet av operasjonen er definert i en mengde der det eksisterer en ''invers'', ofte gitt ved et negativt element.  

== Eksempler ==

=== Fra hverdagslivet ===

* Å ta på seg strømper kan betraktes som en kommutativ operasjon: uansett om en starter med venstre eller høyre fot, så blir resultatet det samme.  

* Dusjing og tørking er utført sammen,  «addert»,  er ikke en kommutativ operasjon.  Rekkefølgen av de to leddene er avgjørende for sluttresultatet.  

=== Aritmetikk  ===

* Addisjon og multiplikasjon av reelle og [[komplekst tall|komplekse tall]] kommuterer.

* Divisjon og [[subtraksjon]] er ikke kommutative operasjoner.  

=== Matematikk generelt ===

* Operasjonen å ta [[union (mengdelære)|unionen]] av to mengder er kommutativ.  Det samme gjelder for [[snitt (mengdelære)|snittet]]:

:<math>A \cap B = B \cap A \qquad \qquad  A \cup B = B \cup A </math>

* Multiplikasjon av to [[matrise]]r er ikke kommutativ.  Dette er vist ved det følgende eksempelet:

:<math>
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

* Operasjonen å  sette to reelle funksjoner sammen er ikke kommutativ.  Generelt vil

:<math>f(g(x)) \ne g(f(x)). \, </math>

== Kommutativitet i matematiske strukturer ==

* En ''abelsk gruppe'' eller ''kommutativ gruppe'' er en [[gruppe (matematikk)|gruppe]] der gruppeoperasjonen kommuterer.   

* En kommutativ [[ring (matematikk)|ring]] er en ring der multiplikasjonen kommuterer.  En ring har også definert addisjon, og denne vil alltid være kommutativ.

* I en [[kropp (matematikk)|kropp]] er både addisjon og multiplikasjon kommutative.  

* Både vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon i et [[vektorrom]] er kommutative.    

* Mengden av [[kvaternion]]er er en ikke-kommutativ utvidelse av de komplekse tallene.

* Produktet i en [[Grassmann-algebra]] er anti-kommutativt.  En slik algebra benyttes for en mulig [[supersymmetri]] i [[standardmodellen|elementærpartikkelfysikk]].

== Se også ==

* [[Assosiativ lov]]
* [[Distributiv lov]]

== Referanser ==

<references>
<ref name=EJBB1>[[#EJBB|, E.J.Borowski, J.M.Borwein,1989]], ''Commutative'', s.92</ref>
<ref name=WR1>[[#WR|W.Rudin, 1976]], s.5</ref>
</references>

== Litteratur ==

*{{Kilde bok
| ref = EJBB 
| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein
| redaktør= 
| utgivelsesår=1989
| artikkel=
| tittel=Dictionary of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Glasgow
| forlag= Collins
| side=
| isbn= 0-00-434347-6
| id=
| kommentar=
| url= }}

*{{Kilde bok
| ref = WR
| forfatter= Walter Rudin
| redaktør= 
| utgivelsesår=1953, 1964, 1976
| artikkel=
| tittel=Principles of mathematical analysis
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Singapore
| forlag= McGraw-Hill International Book Co.
| side=
| isbn= 0-07-085613-3
| id=
| kommentar= 
| url= }}


{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematisk terminologi]]
[[Kategori:Aritmetikk]]
[[Kategori:Binære operasjoner]]