Redigerer Integrasjon

{{Analyse}}
[[Fil:Integral as region under curve.svg|thumb|250px|Det bestemte integralet av <math>f(x)</math> i intervallet 
<math>[a,b]</math> er lik arealet <math>S</math> mellom kurva og x-aksen.]] 
: ''Se [[sosial integrasjon]] for ordets betydning i samfunnsfagene''
'''Integrasjon''' er en matematisk operasjon som utføres på en matematisk [[funksjon (matematikk)|funksjon]]. Ved å utføre denne operasjonen finner man en ny funksjon, man sier at man finner funksjonens ''integral''. Integrasjon brukes blant annet til å beregne areal og volum.

Integrasjon er på mange måter det motsatte av [[derivasjon]], og kalles i noen sammenhenger også for ''antiderivasjon''. For [[reell funksjon|reelle funksjoner]] er sammenhengen mellom det ubestemte og det bestemte integralet gitt ved den såkalte [[analysens fundamentalteorem |fundamentalsatsen for matematisk analyse]]. Sammen med derivasjon utgjør integrasjon det området man kaller [[matematisk analyse]]. Integrasjon kalles også for ''integrasjonsregning'', og derivasjon for ''differensialregning''; samlet betegnet dette som ''infinitesimalregning''. Ligninger som inneholder integral kalles for [[integralligning]]er.

''Det ubestemte integralet''  til en reell funksjon er en ny funksjon med egenskapen at den [[derivasjon|deriverte]] er lik den opprinnelige funksjonen.  Et slik integral kalles også en ''antiderivert'' og en [[primitiv funksjon|primitiv]] til den opprinnelige funksjonen.  En gitt funksjon kan ha en hel familie av primitiver, der differansen mellom to primitiver er en konstant.

'' Det bestemte integralet''  til en funksjon <math>f(x)</math> er en generalisert sum av elementer <math>f(x)\delta x</math>, der summasjonen foregår mellom to funksjonsargument <math>a</math> og <math>b</math>. Definisjonen bygger på en grenseprosess der antall ledd i summasjonen går mot uendelig, mens størrelsen av hvert element <math>\delta x</math> går mot null. For reelle funksjoner av en variabel representerer det bestemte integralet arealet mellom [[funksjonsgraf]]en og x-aksen, regnet med fortegn.

==Formell definisjon av ubestemt integral ==
La <math>f:\R\to\R</math> være en reell funksjon av en reell variabel, og la <math>F(x)</math> være en ny funksjon med egenskapen at den deriverte av <math>F</math> er lik <math>f</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x} = f(x)</math>.

Det ubestemte integralet av <math>f</math> skrives med en langstrakt «s» som i ordet «sum» og er definert ved

:<math>\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C</math>.

Her er <math>C</math> en vilkårlig konstant. Funksjonen <math>f(x)</math> kalles ''integranden'' i integralet.  Dersom funksjonen <math>F</math> eksisterer sies funksjonen <math>f</math> å være ''integrerbar''.

=== Eksempler på ubestemte integral ===
:<math>\int x^n\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ hvis }n \ne -1</math>

:<math>\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln{\left|x\right|} + C</math>

== Formell definisjon av bestemt integral ==
Definisjonen av et bestemt integral bygger på definisjonen av en ''partisjon'' (oppdeling) av det [[lukket mengde | lukkede]] intervallet <math>[a,b]</math>.  

Det eksisterer flere ulike definisjoner av et bestemt integral, og presentert her er definisjonen av et [[Riemannintegral]], som igjen er ekvivalent med et [[Darbouxintegral]].  For en videre klasse av funksjoner kan en også definere [[Riemann-Stieltjesintegral]] og [[Lebesguesintegral]].

=== Partisjoner ===
En partisjon er en endelig mengde

:<math>P = \{ x_0, x_1, x_2,\ldots ,x_n\}</math>

slik at 

:<math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < n_n = b</math>

''Bredden'' til partisjonen <math>\mu(P)</math> er definert som den største avstanden mellom to påfølgende element:

:<math>\mu(P) = \max_i  \Delta x_i  \ \text{ der }  \ \Delta x_i = x_i - x_{i-1}</math>

Videre sier en at partisjonen er ''merket'' dersom det til hvert par av påfølgende elementer i partisjonen <math>i-1</math> og <math>i</math> er definert en verdi <math>t_i</math> slik at

:<math>x_{i-1} \le t_i \le x_i</math>

=== Riemann-integrasjon ===
En ''Riemannsum'' for en gitt merket partisjon er definert ved

:<math>\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i</math>

Det bestemte integralet av funksjonen <math>f(x)</math> over intervallet <math>[a,b]</math> er definert lik <math>S </math> dersom det for et hver positivt tall <math>\varepsilon</math> eksisterer en verdi <math>\delta</math> slik at for alle partisjoner med bredde mindre enn <math>\delta</math>, så er 

:<math>\left| S - \sum_{i=1}^n f(t_i)\Delta x_i \right| < \varepsilon</math>

Notasjon for verdien av integralet <math>S</math> er på forma

:<math>S = \int \limits_a^b f(x) \,\mathrm{d}x</math>. 

Noe mer uformelt kan en si at integralet er lik grenseverdien for Riemannsummen når bredden av partisjonen går mot null, dersom en slik [[grenseverdi]] eksisterer.  Grenseverdien er lik arealet under grafen til funksjonen, dersom denne er positiv, slik som vist på figurene under.  

[[Fil:Riemansumma 1.gif]] [[Fil:Riemansumma 2.gif]]

=== Lesbegue-integrasjon ===
Riemann-integrasjon kan generaliseres ved [[Lesbegue-integrasjon]]. Denne generaliseringen danner grunnlaget for [[målteori]].

===Integrerbare funksjoner ===
En funksjon der grenseverdien for Riemannsummen eksisterer sies å være ''(Riemann-)integrerbar.''

* Alle [[Kontinuerlig funksjon|kontinuerlige funksjoner]] er integrerbare.
* Hvis <math>f</math> er begrenset i <math>[a,b]</math> og har et endelig antall diskontinuiteter i intervallet, så er <math>f</math> integrerbar i intervallet.

===Eksempel på bestemt integral ===
Det følgende eksemplene på bestemt integral er basert på det tilsvarende eksempelet for ubestemt integral:

:<math>\int \limits_1^2 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \left[ \; \ln{\left|x\right|} \; \right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2</math>

Her er brukt den følgende notasjonen, som er vanlig i forbindelse med utregning av bestemte integral:

:<math>\left[ \; f(x) \; \right]_a^b  = f(b) - f(a) \, </math>

== Egenskaper til integral ==
=== Linearitet ===
Integralet er en lineær funksjon med hensyn på integranden:

:<math> \int \limits_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \,\mathrm{d}x = \alpha \int \limits_a^b f(x) \,\mathrm{d}x + \beta \int \limits_a^b g(x) \,\mathrm{d}x</math>

===Additivitet ===
Integral av samme funksjon over to nabointervall kan summeres:

:<math>\int \limits_a^b f \,\mathrm{d}x + \int \limits_b^c f \,\mathrm{d}x = \int \limits_a^c f \,\mathrm{d}x  </math>

=== Monotonisitet ===
Hvis <math>f</math>  og <math>g</math> er to funksjoner som begge er integrerbare på intervallet <math>[a,b]</math>, og der <math>f\le g</math>, så er

:<math>\int \limits_a^b f \,\mathrm{d}x \le \int \limits_a^b g \,\mathrm{d}x</math>
   
=== Absoluttverdi-integrasjon ===
Dersom <math>f</math> er integrerbar på intervallet <math>[a,b]</math>, så er absoluttverdi-funksjonen <math>|f|</math> integrerbar, og

:<math>\big| \int \limits_a^b f \,\mathrm{d}x  \big| \le \int \limits_a^b |f|\,\mathrm{d}x</math>

== Uekte integral ==
[[Fil:Improper_integral.svg|thumb|Utsnitt av grafen til en funksjon hvis integral konvergerer: Ved å la grensene gå mot uendelig, kan man beregne integralet ved å finne grenseverdiene.]]
Et [[uekte integral]] er et integral der integranden <math>f</math> går mot uendelig når argumentet nærmer seg en verdi i integrasjonsområdet, eller der integrasjonsområdet er uendelig. I begge tilfeller må verdien av integralet defineres ved en grenseprosess. For eksempel kan en definere

:<math>\int \limits_a^\infty f\,\mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty}  \int \limits_a^b f\,\mathrm{d}x</math>.

Et eksempel på et uekte integral av denne typen er

:<math>\int \limits_1^\infty \frac{1}{x^2} \,\mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty} \left[- \frac{1}{x}\right]_1^b = 1</math> 

==Numerisk integrasjon==
[[Fil:Integration_trapezoid.svg|thumb|Illustrasjon av [[trapesintegrasjon]]: Man deler opp arealet i mindre trapeser, og beregner summen av arealet av alle disse.]]
Vanligvis kan ikke et integral beregnes eksakt. Man er derfor ofte henvist til å bruke [[numerisk analyse|numeriske metoder]] og [[datamaskin|elektroniske regnemaskiner]]. Disse tar vanligvis utgangspunkt i Riemann-summen som definerer integralet. Det er også hensiktsmessig å beregne funksjonsverdiene i diskrete punkt <math>x_i</math> med konstant avstand <math>h</math>. 

Da integrasjon av en funksjon <math>y=f(x)</math> som beskriver en [[kurve]] i <math>xy</math>-planet, gir arealet under kurven, kan dette deles opp i mindre deler som kan beregnes mer nøyaktig. [[Trapesintegrasjon]] er basert på å dele arealet opp i mindre [[trapes (geometri)|trapeser]]. Deles hele integrasjonen opp i <math>n</math> slike interval, har man for integralet

:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx  \frac{h}{2} ( f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) )</math>

hvor <math>x_0=a</math> og <math>x_n=b</math>. Denne fremgangsmåten kan gjøres mer nøyaktig i form av [[Simpson-integrasjon]] eller [[Romberg-integrasjon]].

== Generaliseringer ==
For funksjoner av flere variable eksisterer det en rekke generaliseringer av integralet, som i hovedsak skiller seg fra hverandre i elementet som funksjonen summeres over.

=== Multippelintegral ===
[[Image:Volume under surface.png|right|thumb|Volumet begrenset av en kurve gitt som dobbeltintegral.]]
For en funksjon av én variabel utføres integrasjonen over et intervall. Tilsvarende kan funksjoner av flere variable integreres over en region <math>D</math> i definisjonsområdet til funksjonen, og resultatet av slik integrasjon kalles et [[multippelintegral]]:

:<math>\int \ldots \int_D\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,\mathrm{d}x_1 \ldots \mathrm{d}x_n</math>

For funksjoner i to variable kalles integralet et ''dobbeltintegral''. Verdien av et dobbeltintegral til en positiv funksjon svarer til [[volum]]et av legemet mellom kurva og planet definert ved <math>z=0</math> innenfor integrasjonsområdet. [[Fubinis teorem]] gir vilkår for når et dobbeltintegral kan beregnes ved suksessivt å integrere over en og en variabel.  

Et multippelintegral over et tredimensjonalt område kalles et trippelintegral eller et volumintegral.  Et volumintegral over området <math>D</math> kan skrives med både ett og tre integraltegn:

:<math>S = \int \limits_D f \,\mathrm{d}V = \iiint \limits_D f \,\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z</math>

=== Linjeintegral ===
I et linjeintegral utføres integrasjonen av et [[vektorfelt]] over lengde-elementer langs en [[kurve]].   Også navnet ''kurveintegral'' er vanlig brukt. La <math>C</math> være en kurve i et flerdimensjonalt [[Rom (matematikk)|rom]] og anta at kurva er definert med en parametrisering <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math>, der parameteren <math>t</math> er inneholdt i intervallet <math>[a,b]</math>. La <math>\mathbf{f}</math> være et vektorfelt definert i et område som inneholder <math>C</math> og med komponenter i det samme rommet <math>(f_1,f_2,\ldots,f_n)</math>. Da er linjeintegralet <math>S</math> langs <math>C</math> definert ved

:<math>S = \int_C \mathbf{f}(\mathbf{r})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{f}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t</math>

Alternativt skrives linjeintegralet også som

:<math>S = \int_C (f_1\,\mathrm{d}r_1 + f_2 \,\mathrm{d}r_2 + \ldots + f_n \,\mathrm{d}r_n)</math> 

når <math>\mathbf{r}=(r_1,r_2,\ldots,r_n)</math>.

=== Flateintegral ===
I et [[flateintegral]] utføres integrasjon av et [[skalarfelt]] over et elementer av en parametriserbar [[flate]]. La <math>S=\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> være en [[flate]] definert for en region <math>T</math> i <math>(u,v)</math>-planet. La <math>f</math> være en skalar funksjon definert og begrenset på <math>S</math>. Flateintegralet av <math>f</math> over <math>S</math> er da definert ved

:<math>\int_S f \,\mathrm{d}S 
= \iint_T f(\mathbf{r}(u, v)) 
\begin{Vmatrix}{\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}
\end{Vmatrix} \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v
</math>

== Historie ==
Den moderne notasjonen for et ubestemt integral ble innført av [[Gottfried Leibniz]] i 1675.  Han innførte integrasjonssymbolet som en forlenget «S».

==Litteratur==
* {{Kilde bok | etternavn=Adams | fornavn=Robert | tittel=Calculus : a complete course | byrå=Addison-Wesley | sted=Toronto, Ont | dato=2003 | isbn=0-201-79131-5 | språk=english | ref={{sfnref | Adams | 2003 |}}}}
* Atkinson, Kendall E. (1989). ''An Introduction to Numerical Analysis'' (2nd edition). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.
* {{Kilde bok | etternavn1=Clapham | fornavn1=C. | etternavn2=Nicholson | fornavn2=J. | tittel=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics | byrå=OUP Oxford | serie=Oxford Quick Reference | dato=2009 | isbn=978-0-19-157976-9 | url=http://books.google.com/books?id=WGxoVJcM4xgC | ref={{sfnref| Clapham | Nicholson | 2009}} | besøksdato=2016-08-30}}
* {{Kilde bok | etternavn=Lindstrøm | fornavn=T. | tittel=Kalkulus | byrå=Universitetsforlaget | dato=2006 | isbn=978-82-15-00977-3 | url=http://books.google.com/books?id=4E1ytwAACAAJ | språk=no | ref={{sfnref | Lindstrøm | 2006}} | besøksdato=2016-08-30}}
* {{Kilde bok | etternavn=Lindström | fornavn=S.B. | tittel=Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk: | byrå=Stefan B. Lindström | dato=2013 | isbn=978-91-981287-0-3 | url=http://books.google.com/books?id=GgoaAwAAQBAJ&pg=PA126 | språk=sv | ref={{sfnref | Lindström | 2013 |}} | besøksdato=2016-08-30}}

== Eksterne lenker ==
* [http://kalkuler.no Kalkulator som kan integrere funksjoner av én variabel]

{{Matematikk}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Integralregning]]
[[Kategori:Funksjoner]]