Redigerer Hilbert-rom

{{Kildeløs|Helt uten kilder.|dato=10. okt. 2015}}
Et '''Hilbert-rom''' er et (ofte reelt eller komplekst) indreproduktrom som er et komplett metrisk rom med hensyn på metrikken indusert av [[indreprodukt]]et. Det kan ses på som en spesialisering av klassen av vektorrom til rom med et begrep om (grader av) ortogonalitet. Hilbert-rom er viktige eksempler på [[Banach-rom]].

Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren [[David Hilbert]] (1862–1943).

== Indreproduktrom ==
La <math>V</math>være et [[vektorrom]] over <math>\mathbb{C}</math> (evt. <math>\mathbb{R}</math>). Et [[indreprodukt]] på <math>V</math> er en funksjon <math>\langle \cdot, \cdot \rangle \colon V \times V \to \mathbb{C}</math> slik at 

# (Positivitet) <math>\langle v, v \rangle \geq 0 </math> for alle <math>v \in V </math> med likhet hvis og bare hvis <math>v = 0</math>; 
# (Additivitet i hver variabel) <math>\langle u + v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle </math> for alle <math>u, v, w \in V</math>; 
# (Linearitet i første variabel) <math>\langle \alpha u, v \rangle = \alpha \langle u, v, \rangle </math> for alle <math>u, v \in V </math> og <math>\alpha \in \mathbb{C}</math>; 
# (Antisymmetri) <math>\langle v, u \rangle = \overline{\langle u, v \rangle }</math> for alle <math>u, v \in V</math>.

Et vektorrom utstyrt med et indreprodukt kalles et ''indreproduktrom.'' To umiddelbare konsekvenser av definisjonen er at 

# (Antilinearitet i andre variabel) <math>\langle u, \alpha v \rangle = \bar{\alpha} \langle u, v \rangle </math> for alle <math>u, v \in V </math> og <math>\alpha \in \mathbb{C}</math>; 
# (Additivitet i andre variabel) <math>\langle u, v + w \rangle = \langle u, v \rangle + \langle u, w \rangle </math> for alle <math>u, v, w \in V</math>.

Definisjonen tilpasset enklet til vektorrom over reelle tall ved å fjerne alle konjugasjoner. 

Det er enkelt å sjekke at et indreprodukt <math>\langle \cdot, \cdot \rangle \colon V \times V \to \mathbb{C}</math> induserer en [[Norm (matematikk)|norm]] <math>\lVert \cdot \rVert : V \to \mathbb{R}</math> på <math>V</math> gitt ved <math>\lVert v \rVert = \sqrt{\langle v, v \rangle} </math> for alle <math>v \in V </math>. Et indreproduktrom kalles et ''Hilbert-rom'' hvis det er et komplett metrisk rom med hensyn på denne normen. 

== Sentrale eksempler ==

=== Euklidske og hermitiske rom ===
Det n-dimensjonale euklidske rommet <math>\mathbb{R}^n</math> er et Hilbert-rom under indreproduktet gitt ved <math>\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{j=1}^n x_j y_j </math> for <math>\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n), \mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}^n </math>, som kalles det ''euklidske indreproduktet.'' Tilsvarende er <math>\mathbb{C}^n  </math> et indreproduktrom under det ''hermitiske indreproduktet'' gitt ved <math>\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{j=1}^n x_j \overline{y_j} </math> for <math>\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n), \mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{C}^n </math>. 

=== Kvadratsummerbare følger ===
Mengden <math>\ell^2 ( \mathbb{N}) = \bigg\{ \mathbf{x} = (x_n)_{n=1}^\infty : \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty \bigg\} </math> av kvadratsummerbare følger av komplekse tall er et Hilbert-rom med indreprodukt gitt ved <math>\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y_n} \ </math>for <math>\mathbf{x} = (x_n)_{n=1}^\infty, \mathbf{y} = (y_n)_{n=1}^\infty \in \ell^2(\mathbb{N}) </math>. 

=== Kvadratintegrerbare funksjoner ===
La <math>(X, \mathcal{A}, \mu) </math> være et [[målrom]]. Man definerer rommet av kvadratintegrerbare funksjoner ved 

<math>\mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) = \bigg\{ f \colon X \to \mathbb{C} : f \text{ er } \mathcal{A}\text{-målbar og } \int_X |f|^2 \, d\mu < \infty \bigg\}. </math>

Man kan forsøksvis definere et indreprodukt på <math>\mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) </math> ved <math>\langle f, g \rangle = \int_X fg \, d \mu </math>, men denne funksjonen tilfredsstiller generelt ikke punkt 1 i definisjonen ovenfor da funksjoner som er 0 bortsett fra på en mengde av mål 0 vil få norm 0. Løsningen er å identifisere funksjoner som er like bortsett fra på en mengde av mål 0 og i steden studere det tilsvarende vektorrommet av ekvivalensklasser av funksjoner. Dette gjøres som følger: Definer en [[ekvivalensrelasjon]] <math>\sim </math> på <math>\mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) </math> ved 

<math>f \sim g  \iff \mu( \{ x \in X : f(x) \neq g(x) \}) = 0 \quad \text{for alle } f, g \in \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu).  </math>

For <math>f \in \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) </math> lar vi <math>[f] </math> betegne ekvivalensklassen til <math>f </math>. Vi skriver <math>L^2(X, \mathcal{A}, \mu) = \{[f] : f \in \mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) \} </math>for mengden av slike, som arver en vektorromssstruktur fra <math>\mathcal{L}^2(X, \mathcal{A}, \mu) </math>. Vi kan nå definere et indreprodukt på <math>L^2(X, \mathcal{A}, \mu ) </math> ved <math>\langle [f], [g] \rangle = \int_X fg \, d \mu </math> for <math>[f], [g] \in L^2(X, \mathcal{A}, \mu). </math>Riesz-Fischer-teoremet sier at dette rommet er komplett med hensyn på den induserte normen og således er et Hilbert-rom. Merk at forrige eksempel er et spesialtilfelle av denne konstruksjonen der det relevante målrommet er <math>\mathbb{N} </math> med [[Σ-algebra|<math>\sigma </math>-algebraen]] bestående av alle delmengder og tellemålet. 

== Riesz' representasjonsteorem ==
Et av de viktigste grunnleggende resultater om Hilbert-rom generelt er Riesz' representasjonsteorem. <blockquote>'''(Riesz' representasjonsteorem).''' La <math>\mathcal{H} </math> være et Hilbert-rom over <math>\mathbb{K} </math> (enten <math>\mathbb{R}</math> eller <math>\mathbb{C}</math>) og anta at <math>\phi : \mathcal{H} \to \mathbb{K} </math> være en begrenset lineær funksjonal. Da finnes en unik vektor <math>y \in \mathcal{H} </math> slik at <math>\phi(x) = \langle x, y \rangle  </math> for alle <math>x \in \mathcal{H}. </math> Dessuten er <math>\lVert y \rVert = \lVert \phi \rVert.  </math></blockquote>Riesz' representasjonsteoremet gir en antilineær isometrisk isomorfi mellom Hilbert-rommet <math>\mathcal{H} </math> og [[Dualrom|dualrommet]] <math>\mathcal{H}^* </math>. 

== Eksterne lenker ==
* {{Offisielle lenker}}

{{stubb}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Lineær algebra]]
[[Kategori:Funksjonalanalyse]]
[[Kategori:Normerte rom]]