Redigerer Harmonisk tall

[[Fil:HarmonicNumbers.svg|right|thumb|340px|Harmoniske tall ''H<sub>n</sub>'' øker som den [[naturlig logaritme|naturlige logaritmen]] av ''n''.]]

'''Harmoniske tall''' eksisterer i [[matematikk]]en for hvert [[heltall]] ''n'' og betegnes med symbolet ''H<sub>n</sub>&thinsp;''. Hvert slikt tall er definert ved den endelige summen 

: <math> H_n =  1 + \frac 12 + \frac 13 + \cdots + \frac 1n = \sum_{k=1}^n \frac 1k </math>

og har fått sitt navn fra den egenskapen at det er direkte relatert til den [[harmonisk gjennomsnitt|harmoniske middelverdien]] av de første ''n'' [[naturlige tall]]ene. 

Tallene har vært studert siden [[antikken]] og allerede på 14-hundretallet viste [[Nicole Oresme]] at tallene vokser mot uendelig når ''n'' blir veldig stor. Mer detaljerte undersøkelser  ble senere foretatt av [[Jakob Bernoulli]] og hans yngre bror [[Johann Bernoulli]]. Men det var deres elev [[Leonhard Euler]] som rundt 1730 kunne fremlegge et bevis for at tallene økte nøyaktig som den [[naturlig logaritme |naturlige logaritmen]] log&thinsp;''n'' i denne grensen. Det var begynnelsen til mange andre viktige fremskritt innen [[tallteori]]en.

==Noen egenskaper==

Fra definisjonen av de harmoniske tallene følger at de alltid vil oppfylle sammenhengen

: <math>H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n} </math>

Dette er en [[rekursjon|rekursjonsrelasjon]] hvorfra man kan beregne alle sammen med utgangspunkt i ''H''<sub>1</sub> = 1. De 10 første er:

{| class="wikitable"  width="60%"
 |-
!scope="row"| ''n''
 | align="center"| 1
 | align="center"| 2
 | align="center"| 3
 | align="center"| 4
 | align="center"| 5
 | align="center"| 6
 | align="center"| 7
 | align="center"| 8
 | align="center"| 9
 | align="center"| 10
 |-
 !scope="row"| ''H<sub>n</sub>''
 | align="center" |{{math|1}}
 | align="center" | <math>\frac32</math>
 | align="center" | <math>\frac{11}{6}</math>
 | align="center" | <math>\frac{25}{12}</math>
 | align="center" | <math>\frac{137}{60}</math>
 | align="center" | <math>\frac{49}{20}</math>
 | align="center" | <math>\frac{363}{140}</math>
 | align="center" | <math>\frac{761}{280}</math>
 | align="center" | <math>\frac{7129}{2520}</math>
 | align="center" | <math>\frac{7381}{2520}</math>
 |-
|}

De er alle [[brøk]]er med [[partall]] i [[nevner]] og [[oddetall]] i [[teller]]. Størrelsen av dem øker jevnt, men svært langsomt. Det harmoniske tallet med ''n'' = 10<sup>&thinsp;6</sup>&thinsp; ledd i summen, er ikke større enn omtrent 15.

Et mer nøyaktig bilde av denne økningen får man ved å gi det harmoniske tallet ''H<sub>n</sub>&thinsp;'' et geometrisk innhold. Det er gitt ved en sum som kan betraktes som arealet til ''n'' rektangler, hver med sidekanter 1 og 1/''k''.  Når man sammenligninger dette med arealet under kurven {{nowrap|''y'' {{=}} 1/''x''&thinsp;}} fra {{nowrap|''x'' {{=}} 1}} til {{nowrap|''x'' {{=}} ''n'' + 1}}, vil det være litt mindre enn summen over alle rektanglene som hver har en del over kurven. Derfor er 

: <math> H_n  >  \int_1^{n+1} \frac{dx}{x}  =   \ln(n + 1) </math>

slik at de harmoniske tallene øker [[logaritme|logaritmisk]] med indeksen ''n''. Mer presist viste [[Euler]] at differansen {{nowrap|''H<sub>n</sub>'' - ln&thinsp;''n''&thinsp;}} konvergerer mot en bestemt verdi ''&gamma;'' når ''n'' blir veldig stor.  Denne verdien er i ettertid blitt kalt [[Euler-Mascheronis konstant]] og er definert som

:<math>  \gamma = \lim_{n\to\infty} (H_n - \ln n) = 0.57721\,56649\cdots </math>

Euler undersøkte også hvor raskt denne konstante verdien fremkommer i  summasjonen. Han hadde samtidig utviklet en nye metode som i dag kalles [[Euler-MacLaurins formel]], for å kunne utføre slike summasjoner på en mer effektiv måte. Den gir et tilnærmet svar som kan finnes fra

: <math> H_n =  \ln n + \gamma + \frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2} +\mathcal O\!\left(\frac 1{n^{4}}\right) </math>

Ved å ta med tilstrekkelig mange ledd i denne formelen, kan man oppnå så stor nøyaktighet som ønskelig. Uansett hvilken metode som benyttes, må de oppnådde resultat alltid oppfylle [[ulikhet (matematikk)|ulikhetene]] 

: <math> {1\over 2n + 2} < H_n - \ln n - \gamma < {1\over 2n} .</math>

==Generalisering==

[[Leonhard Euler|Euler]] viste at de harmoniske tallene kan formelt beregnes fra integralet

: <math> H_n = \int_0^1\!dt\, \frac{1 - t^n}{1 - t} </math>

som han fant ved å integrere hvert ledd i identiteten

: <math> \frac{1-t^n}{1-t}=1+t+\cdots +t^{n-1} </math>

Det er lett å vise at denne definisjonen oppfyller den fundamentale egenskapen for disse tallene, nemlig at

: <math> H_{n+1} =  \int_0^1\!dt\, \frac{1 - t^{n+1}}{1 - t} =  \int_0^1\!dx\, \Big(\frac{1 - t^n}{1 - t} +  t^n \Big) = H_n + {1\over n +1} </math>

Integralet eksisterer ikke bare for heltallige verdier av ''n'', men mer generelt når ''n'' er et positivt, [[reelt tall]]. Det kan derfor benyttes til å finne harmoniske tall for ikke-heltallige verdier av ''n''. For eksempel, så fant Euler selv at

:<math> H_{1/2} = 2 - 2 \ln 2 </math>

Harmoniske tall er  senere gitt en enda større generalisering ved at de kan defineres ut fra [[digammafunksjon]]en ''&psi;''(''z'') som eksisterer for [[komplekst tall|komplekseverdier]] ''z''. Denne funksjonen er gitt ved den deriverte av [[gammafunksjon]]en og er en [[Kompleks analyse|analytisk funksjon]]. Dermed kan man definere harmoniske tall for komplekse indekser ved sammenhengen

: <math> H_z = \gamma + \psi(z+1) </math>

Ved her å benytte  definisjonen av digammafunksjonen, har man dermed

: <math> H_z = \sum_{k =1}^\infty \left(\frac1k-\frac1{k+z}\right) </math>

Når  ''z'' er et positivt heltall ''n'', reduseres denne uendelige summen til den opprinnelige definisjonen av ''H<sub>n</sub>''.

==Spesielle rekker==

Harmoniske tall dukker opp i mange forskjellige sammenhenger. Spesielt innen [[tallteori]] har de betydning som Euler var den første til å påpeke i etableringen av det som i ettertid ble kalt for [[Riemanns zetafunksjon]] ''&zeta;''(''z''). Han kunne da rundt 1740 eksakt utføre den spesielle summasjonen

: <math> \sum_{n=1}^\infty {H_n\over n^2} = 2\zeta(3) </math>

Kort tid deretter viste hans venn  og kollega [[Christian Goldbach]] på samme måte at

: <math> \sum_{n=1}^\infty {H_n\over n^3} = {5\over 4} \zeta(4) = {\pi^4\over 72} </math>

da zetafunksjonen for like heltallsargument er gitt ved kjente [[Bernoulli-tall]]. Senere er mange lignenede summasjoner av harmoniske tall gjennomført.

==Litteratur==
* W. Dunham,  ''Euler: The Master of Us All'',  The Mathematical Association of America (1999). ISBN 0-88385-328-0.
* J. Havil,  ''Gamma: Exploring Euler's Constant'', Princeton University Press, New Jersey (2003). ISBN 0-691-09983-9.

==Eksterne lenker==

* E.W. Weisstein, MathWorld, [http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html ''Harmonic Number'']

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori: Tallteori]]
[[Kategori:Matematiske konsepter]]