Redigerer Harmonisk deling

[[Fil:exempleDivHarm.svg|thumb|280px| Linjestykket ''AB'' er innvendig delt av punkten ''C&thinsp;'' med [[delingsforhold]]et {{nowrap|''AC/CB'' {{=}} 2/1 {{=}} 2}}. Samtidig er det utvendig delt av punktet ''D'' med [[delingsforhold]]et {{nowrap|''AD/DB'' {{=}} 6/(-3) {{=}} -2}}.]]
'''Harmonisk deling''' betegner en spesiell plassering av fire punkter på en rett [[linje]]. Den oppstår i mange forskjellige sammenhenger i [[geometri]] og spiller en spesielt viktig rolle i [[projektiv geometri]]. 

Setter man av to punkter ''A'' og ''B'' på en [[linje]], får man et [[linjestykke]] som man kan betegne med ''AB''.  Har linjen en ''retning'', kan også dette linjestykket tilordnes et fortegn avhengig av om man beveger seg med eller mot denne retningen. Hvis ''AB'' betegner linjestykket fra ''A'' til ''B'', vil ''BA'' betegne linjestykket fra ''B'' til ''A'' slik at ''AB'' = - ''BA''.  

I [[euklidsk geometri]] kan man også angi lengden av dette linjestykket ganske enkelt som ''AB''. Men selve definisjonen av harmonisk deling er mer generell og gjelder også i [[affin geometri]] hvor lengden av et linjestykke ikke er definert. Men forholdet mellom linjestykker langs samme linje er entydig og bestemmer den harmoniske delingen. Den ligger til grunn for at [[kjeglesnitt]] kan forbindes med spesielle punkt og linjer som kalles [[pol og polare]]. 

==Definisjon==

Hvis et tredje punkt ''C'' plasseres mellom ''A'' og ''B'', er linjestykket ''AB'' innvendig delt av dette punktet med et [[delingsforhold]] {{nowrap|''(A,B;C) {{=}} AC/CB''}}. Det går mot null når ''C'' nærmer seg punktet ''A'', er lik 1/2 når ''C'' deler ''AB'' på midten og går mot uendelig når ''C'' nærmer seg punktet ''B''.

Tilsvarende vil et punkt ''D'' utenfor linjestykket ''AB'' sies å dele dette utvendig med et delingsforhold {{nowrap|''(A,B;D) {{=}} AD/DB''}} som da vil bli negativt. Det skyldes at i dette tilfellet vil ''DB'' være negativ når ''D'' ligger til høyre for ''B'', mens ''AD'' da er positiv. Når ''D'' ligger til venstre for ''A'', får begge linjestykkene motsatte fortegn som gir samme, negative fortegn i delingsforholdet.<ref name = STL> A. Søgaard og R. Tambs Lyche, ''Matematikk for den høgre skolen'' II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).</ref>

To punkter ''C'' og ''D'' sies å dele linjestykket ''AB'' harmonisk når delingsforholdet  {{nowrap|''(A,B;C)''}} er like stort som delingsforholdet  {{nowrap|''(A,B;D)''}}, men har motsatt fortegn. Matematisk kan dette skrives som

: <math> {AC\over CB} = -  {AD\over DB}  </math>

I [[euklidsk geometri]] gjelder da relasjonen ''AC&sdot;DB = - AD&sdot;CB'' mellom lengdene til de tilsvarende linjestykkene. Et av delingspunktene ligger mellom ''A'' og ''B'', mens det andre ligger utenfor. Det indre delingspunktet kan ikke halvere linjestykket, da det vil tilsvare at det ytre delingspunktet befinner seg uendelig langt borte.

Definisjonen  ''AC&sdot;DB = - AD&sdot;CB'' for harmonisk deling av linjestykket ''AB'' kan omskrives til den ekvivalente formen  ''CA&sdot;BD = - CB&sdot;AD''. Det viser at når punktene  ''C'' og ''D'' deler ''AB'' harmonisk, så vil også punktene ''A'' og ''B'' dele linjestykket ''CD'' harmonisk.

Ved en slik harmonisk deling ser man at [[dobbeltforhold]]et {{nowrap|''(A,B;C,D) {{=}} (A,B;C)/(A,B;D)''&thinsp;}} tar den spesielle verdien -''1''. Dette forholdet er invariant under [[projektive transformasjoner]] og spiller en sentral rolle i [[projektiv geometri]].<ref name = Faulkner> T.E. Faulkner, ''Projective Geometry'', Dover Publications, New York (2006). ISBN 0-486-45326-X.</ref>

===Harmonisk middelverdi===

Skriver man betingelsen for harmonisk deling som ''BC/AC = - BD/AD'', kan den lett omformes til 1/''AB'' - 1/''AC'' = 1/''AD'' - 1/''AB''. Det gir relasjonen

: <math> {2\over AB} = {1\over AC} + {1\over AD}   </math>

som noen ganger blir tilegnet den franske filsosof og naturviter [[Descartes]]. Den sier at lengden til linjestykket ''AB'' er den [[harmonisk gjennomsnitt|harmoniske middelverdien]] av lengdene ''AC'' og ''AD'' og har gitt opphav til navnet ''harmonisk deling''.

===Affin geometri===

I [[euklidsk geometri]] er lengden av linjestykket ''AB'' entydig gitt ved de [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinatene]] til punktene ''A'' og ''B'' og kan benyttes til beregning av harmonisk deling. Men dette kan generaliseres til [[affin geometri]] hvor slike lengder i alminnelighet ikke kan tilordnes vilkårlige linjestykker. Men de relative forholdene {{nowrap|''AC/CB {{=}} - AD/DB&thinsp;''}} mellom linjestykkene som inngår i definisjonen av harmonisk deling, er derimot veldefinerte da linjestykkene ligger langs samme [[linje]]. 

Alle punkt ''T'' på linjen gjennom ''A'' og ''B'' kan da angis ved en parameter ''t&thinsp;'' som {{nowrap|''T'' {{=}} (1 - ''t'')''A'' + ''tB''}}. For punktet ''A'' er {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}, mens for punktet ''B'' er {{nowrap|''t'' {{=}} 1}}. For delingspunktet ''C'' er parameteren {{nowrap|''t'' {{=}} ''c'' < 1}}, mens punktet ''D'' har en parameter {{nowrap|''t'' {{=}} ''d'' > 1}}. Linjestykket ''AC'' tilsvarer dermed vektoren  {{nowrap|''C - A'' {{=}} ''c''(''B - A'')}},  linjestykket  ''CB'' tilsvarer  vektoren  {{nowrap|''B - C'' {{=}} (1 - ''c'')(''B - A'')}} og likedan for ''AD'' og ''DB''. Betingelsen {{nowrap|''AC''/''CB'' {{=}} - ''AD''/''DB&thinsp;''}} for harmonisk deling tar da formen

: <math> {c\over 1 - c} = - {d\over 1 - d} </math>

hvor vektoren ''B - A'' blir en felles faktor som faller ut i [[delingsforhold]]et. Dette kan forenkles til betingelsen {{nowrap|''c'' + ''d'' {{=}} 2''cd''}} som også gjelder i [[euklidsk geometri]]. Da angir ''c'' avstanden til ''C&thinsp;'' fra ''A'' og ''d'' avstanden til ''D'' fra ''A'' i enheter hvor avstanden mellom ''A'' og ''B'' er lik 1. Skriver man dette som 2 = 1/''c'' + 1/''d'', ser man at det ikke er noe annet enn et nytt uttrykk for at ''AB'' er det [[harmonisk gjennomsnitt|harmoniske gjennomsnittet]] av ''AC'' og ''AD''.

Dette resultatet blir mer interessant ved å innføre midtpunktet ''M'' mellom punktene ''A'' og ''B''. I disse enhetene er da {{nowrap|''MC'' {{=}} ''c'' -1/2}} og {{nowrap|''MD'' {{=}} ''d'' - 1/2}} hvor den halve avstanden mellom ''A'' og ''B'' er ''AM'' = ''MB'' = 1/2. Da kan resultatet skrives på formen {{nowrap|''MA&sdot;MB {{=}} - MC&sdot;MD''}} som går tilbake til [[Newton]].

I den mer generelle, [[projektiv geometri]] er denne beskrivelsen av punkter på en linje ikke gyldig. Da må harmonisk deling defineres på en annen måte. Vanligvis gjøres det ved å forlange at [[dobbeltforhold]]et  tar verdien {{nowrap|(''A,B;C,D'') {{=}} -1}} for fire punkter ''A'', ''B'', ''C'' og ''D'' på en linje. Dette forholdet er alltid entydig bestemt.<ref name = Fenn> R. Fenn, ''Geometry'', Springer Undergraduate Mathematics Series, London (2003). ISBN 1-85233-058-9.</ref>

==Konstruksjon==

Hvis man i [[euklidsk geometri]] er gitt linjestykket ''AB'' og et indre delingspunkt ''S'', kan man finne det harmonisk konjugerte punktet ''T'' ved å beregne lengden ''BT''&thinsp; fra definisjonen for harmonisk deling og så avsette denne direkte på forlengelsen av linjestykket ''AB'' ved å benytte for eksempel en linjal som målestav.

===Sirkelinversjon===
[[Fil:Harmon-punkt-konstruktion-mit-kreis.png|300px|thumb|Konstruksjon av det fjerde, harmoniske punktet ved [[sirkelinversjon|inversjon]] i en sirkel.]]
Man kan i stedet for en lengdemåler bruke en sirkel. Det gir en mer direkte, [[Konstruksjon (geometri)|geometrisk konstruksjon]] av det konjugerte punktet. Man lar sirkelen ha sitt sentrum i midtpunktet ''M'' til ''AB'' og dette linjestykket som diameter. Trekkes en linje gjennom det gitte punktet ''S'' [[rett vinkel|normalt]] til linjestykket, skjærer den sirkelen i punktet ''Q'' som vist i figuren. Konstruerer man nå [[tangent (matematikk)|tangenten]] til sirkelen i dette punktet, vil den skjære forlengelsen av ''AB'' i punktet ''T''. Det er nå det harmonisk konjugerte punktet.

Dette følger fra en sammenligning av trekantene ''MSQ'' og ''MQT'' som er [[trekant|formlike]]. Det betyr at {{nowrap|''MS/MQ {{=}} MQ/MT''}}. Men nå er {{nowrap|''MQ''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} - ''MA&sdot;MB''}} lik med kvadratet til radius i sirkelen slik at {{nowrap|''MA&sdot;MB {{=}} - MS&sdot;MT''}}. Derfor deler punktene ''S'' og ''T'' linjestykket ''AB'' harmonisk som vist tidligere.

At produktet ''MS&sdot;MT'' er lik kvadratet av sirkelens radius, betyr at det harmonisk konjugerte punktet ''T'' også kan betraktes som ''speilbildet'' av det gitte punktet ''S'' under en [[sirkelinversjon|inversjon]] i sirkelen som går gjennom punktene ''A'' og ''B''.

===Parallelle linjer===
[[Fil:Harmon-teil-konstr.png|300px|thumb|Konstruksjon av harmonisk deling i [[affin geometri]].]]
I [[affin geometri]] er ikke lengder av linjestykker i alminnelighet veldefinerte. Heller ikke finnes det sirkler. Men man kan konstruere parallelle linjer som gjør det mulig å finne det harmonisk konjugerte punktet ''T'' direkte ved en geometrisk konstruksjon uten bruk av noen lengdemåler eller sirkler. Man går frem på følgende måte:

#Man trekker en vilkårlig linje gjennom ''A'' og en parallell til denne gjennom ''B''.  
#På linjen gjennom ''A'' setter man av et vilkårlig punkt ''C'' og trekker linjen gjennom dette punktet og ''S''.
#Den skjærer linjen gjennom ''B'' i punktet ''D''. Forleng linjestykket ''DB'' med seg selv til punktet ''D'''.
#Trekk linjen mellom ''C'' og ''D'&thinsp;'' slik at den skjærer forlengelsen av ''AB&thinsp;'' i punktet ''T''.

Dette punktet ''T'' sammen med det gitte punktet ''S'' gir nå en harmonisk deling av linjestykket ''AB''. Det følger fra figuren som viser at {{nowrap|''AS/SB {{=}} AC/DB {{=}} AC/BD''}}. Men samtidig ser man også fra figuren at {{nowrap|''AT/BT {{=}} AC/BD'&thinsp;''}}. Det betyr at {{nowrap|''AS/SB {{=}} - AT/TB''}}&thinsp; som er det ønskede resultatet.<ref name = STL/>

===Fullstendig firkant===
[[Fil:pappusharmonic.svg|thumb|right|300px|Bruk av en [[fullstendig firkant]] for konstruksjon av  punktene ''C'' og ''D&thinsp;'' harmonisk konjugert til ''A'' og ''B''.]]

Harmonisk deling kan også gjennomføres uten bruk av sirkler i [[euklidsk geometri]] eller parallelle linjer i [[affin geometri]], men kun ved bruk av en [[linjal]] til konstruksjon av rette linjer. Den er basert på spesielle egenskaper ved det som kalles en [[fullstendig firkant]] og har en viktig rolle i [[projektiv geometri]].<ref name = Faulkner/>

Oppgaven er å finne et nytt punkt ''C'' på en linje gjennom to gitte punkt ''A'' og ''B'' som er harmonisk konjugert med et tredje punkt ''D'' relativt til de to andre, gitte punktene. Man velger da et vilkårlig punkt ''L'' utenfor linjen gjennom  ''A'' og ''B''. Etter å ha trukket linjene ''LB'' og ''LD'' trekkes en linje gjennom ''A'' som skjærer disse to linjene i ''K'' og ''N''. En ny linje gjennom punktene ''B'' og ''K'' skjærer linjen ''LA'' i et fjerde punkt ''M''. Dermed er den fullstendige firkanten ''KLMN'' konstruert. Hvis man nå forlenger dens diagonal ''MN&thinsp;'' til den skjærer den gitte linjen i ''C'', er dette det søkte punktet. Samme konstruksjon kan benyttes hvis punktet ''C'' utenfor ''A'' og ''B'' er gitt og man skal finne det konjugerte punktet ''D''.

Ved bruk av [[Projektivt plan#Homogene koordinater|homogene koordinater]] på linjen gjennom ''A'' og ''B'', kan det gitt punktet ''D'' skrives på den kompakte formen {{nowrap|''D'' {{=}} ''A'' + ''&lambda;B''&thinsp;}} hvor ''&lambda;&thinsp;'' er en slik koordinat. På samme vis kan man skrive at {{nowrap|''K'' {{=}} ''D'' + ''&mu;L''}} da ''K'' ligger på linjen ''LD''. Derfor er {{nowrap|''K'' {{=}} ''A'' + ''&lambda;B'' +  ''&mu;L''}}. Denne sammenhengen betyr at {{nowrap|''K'' - ''A''}} = {{nowrap|''&lambda;B'' +  ''&mu;L'' {{=}} ''N''&thinsp;}} da dette punktet ''N'' er definert ved skjæringspunktet mellom linjene ''AK'' og ''LB''. Alternativt følger at {{nowrap|''K'' - ''&lambda;B''}} = {{nowrap|''A'' +  ''&mu;L'' {{=}} ''M''&thinsp;}} da punktet ''M&thinsp;'' er skjæringspunktet mellom linjene ''BK'' og ''LA''.

Da det søkte punktet ''C'' ligger på linjen mellom ''M'' og ''N'', ser man fra {{nowrap|''M'' - ''N'' {{=}} ''A'' - ''&lambda;B''&thinsp;}} at det harmonisk konjugerte punktet til {{nowrap|''D'' {{=}} ''A'' + ''&lambda;B''&thinsp;}} er gitt som {{nowrap|''C'' {{=}} ''A'' - ''&lambda;B''&thinsp;}} da det også ligger på linjen mellom ''A'' og ''B'',

==Referanser==
<references/>

==Litteratur==

* D. Pedoe, ''Geometry: A Comprehensive Course'', Dover Publications, New York (2013). ISBN  1-306-340551.

==Eksterne lenker==

* Geometrikon, [http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Harmonic.html Harmonic division.]
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Projektiv geometri]]
[[Kategori:Forhold]]