Redigerer Hamilton-operator

'''Hamilton-operatoren''' er den mest sentrale [[Kvantemekanikk#Operatorer og hermitisitet|operator]] i [[kvantemekanikk]]en. En måling av [[energi]]en til et fysisk system vil gi som resultat en av dens [[egenverdi]]er. Ved bruk av [[Schrödinger-ligning]]en bestemmer den hvordan systemet forandrer seg med tiden. 

For systemer som kan beskrives i [[klassisk fysikk]], kan Hamilton-operatoren finnes fra [[Hamilton-mekanikk|Hamilton-funksjonen]] ved at de klassiske variable for posisjon og impuls blir kvantemekaniske operatorer. Denne formalismen ble utarbeidet av [[William Rowan Hamilton]] i første halvdel av 1800-tallet. Derfor blir Hamilton-funksjonen vanligvis betegnet med bokstaven <math> H </math>. Den tilsvarende Hamilton-operatoren skrives da ofte som <math> \hat{H} </math>  for å markere forskjellen mellom disse to størrelsene, men benyttes sjeldnere i mer spesialisert litteratur.

Både [[Kvantemekanikk#Schrödingers bølgemekanikk|Schrödingers]] og [[Kvantemekanikk#Heisenbergs matrisemekanikk|Heisenbergs]] versjoner av kvantemekanikken er bygget opp rundt Hamilton-operatoren. Den mer moderne formuleringen ved [[Kvantemekanikk#Feynmans veiintegral|Feynmans veiintegral]] har sitt utganspunkt ikke i Hamilton-funksjonen, men i [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]] til det fysiske systemet. Dermed vil denne mer generelle versjonen gi resultat som er mer direkte i overensstemmelse med [[Einstein]]s [[spesielle relativitetsteori]]. Da formuleringen ikke inneholder operatorer, vil Hamilton-operatoren her spille bare en indirekte rolle. 

==Tidsutvikling og energi==

Et fysisk system beskrives i [[kvantemekanikk]]en ved en tilstandsfunksjon &Psi;(''t&thinsp;'') som avhenger av tiden ''t&thinsp;'' samt de dynamiske variable som benyttes. Istedenfor [[Newtons bevegelseslover]] i [[klassisk mekanikk]] styres systemet kvantemekanisk av [[Schrödinger-ligning|Schrödingers bevegelsesligning]]

: <math> i\hbar{\partial\over\partial t} \Psi(t) = \hat{H} \Psi(t) </math>

hvor <math> \hat{H} </math>  er dets Hamilton-operator. Her er {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''&pi;&thinsp;''}} den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]] og ''i'' = &radic;-1 er den [[imaginær enhet|imaginære enheten]].<ref name= Griffiths> D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

Når Hamilton-operatoren er uavhengig av tiden, vil den ha [[Egenvektor|egentilstander]] definert ved <math> \hat{H} \psi_E = E \psi_E </math> hvor ''E&thinsp;'' er den tilsvarende egenverdien. En slik tilstand vil derfor forandre seg med tiden som

: <math> \psi_E (t) =  \psi_E \,e^{-iEt/\hbar} </math>

Dette representerer en harmonisk [[svingning]] med [[vinkelfrekvens]] ''&omega;'' = ''E''/''ħ''. Denne sammenhengen mellom energi og frekvens kan føres helt tilbake til starten av kvantemekanikken i 1900 da [[Max Planck]] lanserte sin [[Plancks strålingslov|strålingsformel]].

I dette tilfellet med en tidsuavhengig Hamilton-operator vil en vilkårlig tilstand &Psi;(''t&thinsp;'') utvikle seg med tiden ifølge

: <math> \Psi(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar} \Psi(0) </math>

Denne variasjonen med tiden kan nå eksplisitt beregnes ved å uttrykke begynnelsestilstanden &Psi;(0&thinsp;) som en [[Schrödinger-ligning#Superposisjon|superposisjon]] av egentilstander ''&psi;<sub>E</sub>&thinsp;'' som hver oscillerer i tiden rent harmonisk.

==Eksempel==

Mange ganger kan Hamilton-operatoren finnes direkte fra den klassiske [[Hamilton-mekanikk|Hamilton-funksjonen]] til systemet. Den beskriver dets totale energi og kan for ikke-relativistiske partikler splittes opp i [[kinetisk energi|kinetisk]] og [[potensiell energi]]. For det enkleste tilfellet med én partikkel med masse ''m&thinsp;'' som beveger seg i et statisk potensial er Hamilton-funksjonen

: <math> H = {\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\mathbf{x})  </math>

De dynamiske variable er her partikkelens posisjon '''x''' og dens impuls '''p'''. Ved å benytte en [[Kvantemekanikk#Posisjonsbasis|posisjonsbeskrivelse]] finnes nå den tilsvarende Hamilton-operatoren ved å la impulsvektoren bli erstattes med derivasjonsoperatoren '''p''' &rarr; - ''iħ''&thinsp;'''&nabla;''' slik at den blir

: <math> \hat{H} = -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x})  </math>

Den inneholder derfor [[Laplace-operator]]en '''&nabla;'''<sup>&thinsp;2</sup>. Det er på denne formen av Hamilton-operatoren at energinivåene i [[hydrogenatom]]et vanligvis beregnes.<ref name = Liboff> R.L. Liboff, ''Introductory Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.</ref>

Hamilton-operatoren for mange ikke-relativistiske partikler kan på lignende vis finnes fra Hamilton-funksjonen ved å erstatte impulsvektoren '''p'''<sub>''n''</sub> for hver av dem med den tilsvarende derivasjonsoperatoren - ''iħ''&thinsp;'''&nabla;'''<sub>''n''</sub> som virker på koordinatene '''x'''<sub>''n''</sub> til hver av partiklene.

===Relativistiske partikler===

For partikler som beveger seg med hastigheter som nærmer seg [[lyshastighet]]en ''c'',  kan det ikke uten videre finnes en enkel Hamilton-operator. Men for ikke altfor høye hastigheter kan man benytte det [[Spesiell relativitetsteori#Relativistisk impuls|approksimative uttrykket]] 

: <math> H = \sqrt{m^2c^4 + \mathbf{p}^2 c^2} = mc^2 + {\mathbf{p}^2\over 2m} - {\mathbf{p}^4\over 8m^3c^2} + \cdots </math>

for Hamilton-funksjonen når  impulsen ''p'' < ''mc''. Den relativistiske korreksjonen proporsjonal med '''p'''<sup>4</sup> vil dermed gi opphav til et ledd med '''&nabla;'''<sup>&thinsp;4</sup> i den resulterende Hamilton-operatoren og kan beregnes ved  kvantemekanisk [[Kvantemekanisk perturbasjonsteori|perturbasjonsteori]].<ref name = Griffiths/>

En mer fundamental beskrivelse kan gis for en partikkel med [[spinn]] ''s'' = 1/2 ved bruk av [[Dirac-ligning]]en. Bølgefunksjonen &Psi;(''t&thinsp;'') må da utvides til å bli en ''spinor'' med fire komponenter. Når partikkelen befinner seg i et ytre potensial, kan dens kvantemekaniske egenskaper på den måten finnes ved bruk av Hamilton-operatoren

: <math> \hat{H} =  c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat\mathbf{p} + \beta mc^2 + V(\mathbf{x}) </math>

hvor '''&alpha;''' =  (''&alpha;<sub>x</sub>'', ''&alpha;<sub>y</sub>'', ''&alpha;<sub>z</sub>'') og ''&beta;&thinsp;'' er fire 4&times;4 [[matrise]]r og impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} .</math> Men denne Hamilton-operatoren har også egenverdier for energien som kan være negative.  Slike løsninger av Dirac-ligningen betyr at den også beskriver [[antipartikkel|antipartikler]] og derfor ikke lenger er en énpartikkel-ligning.<ref name = Gross> F. Gross, ''Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory'', John Wiley & Sons, New York (1993). ISBN 0-471-59113-0.</ref>

===Partikkel i elektromagnetisk felt===

Når partikkelen har en [[elektrisk ladning]] ''q'', kan den vekselvirke både med [[Elektrisk felt|elektriske felt]] '''E''' og [[Magnetisk felt|magnetiske felt]] '''B''' som begge kan variere både med tiden og posisjonen til partikkelen. Begge disse koblingene bidrar til dens potensielle energi. De kan uttrykkes ved bruk av det tilsvarende [[Elektrisk potensial|elektriske potensialet]] {{nowrap|&Phi; {{=}} &Phi;('''x''',''t'')}} og det [[Magnetfelt#Vektorpotensialet|magnetiske potensialet]] {{nowrap|'''A''' {{=}} '''A'''('''x''',''t'')}} ved sammenhengene {{nowrap|'''E''' {{=}}  - &part;&thinsp;'''A'''/&part;&thinsp;''t'' - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;&thinsp;}} og {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;''' &times; '''A'''}}. Da vekselvirkningen skal være invariant under [[gaugetransformasjon]]er, vil den inngå i [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]] til partikkelen på en bestemt måte. Den blir

: <math> L = {1\over 2}m \mathbf{v}^2 - q\Phi  + q \mathbf{v}\cdot\mathbf{A} </math>

hvor '''v''' = d'''x'''/d''t&thinsp;''  er hastigheten til partikkelen. For å finne den tilsvarende Hamilton-funksjonen behøver man partiklens [[Lagrange-mekanikk#Bevegelseskonstanter|konjugerte impuls]]. Den blir nå {{nowrap|'''p''' {{=}} &part;''L''/&part;'''v'''}} = ''m''&thinsp;'''v''' + ''q''&thinsp;'''A'''. Dermed tar Hamilton-funksjonen den kompakte formen

: <math>\begin{align} H &= \mathbf{v}\cdot\mathbf{p} - L\\  &= {1\over 2m}\left(\mathbf{p} - q\mathbf{A}\right)^2 + q\Phi \end{align} </math>

Igjen kan Hamilton-operatoren finnes herfra ved substitusjonen <math> \mathbf{p} \rightarrow -i\hbar\boldsymbol{\nabla} .</math> Det er da viktig å ta hensyn til at denne impulsoperatoren ikke [[Kommutativ lov|kommuterer]] med posisjonen '''x''' som inngår i vektorpotensialet.<ref name = Liboff/>

Kravet om en gaugeinvariant kobling til de elektromagnetiske feltene bestemmer også hvordan de inngår i Dirac-ligningen. Den tilsvarende Hamilton-funksjonen blir da

: <math> H = c\boldsymbol{\alpha}\cdot(\mathbf{p} - q\mathbf{A}) + \beta mc^2 +q\Phi </math>

Siden potensialene '''A''' og &Phi; generelt  varier med tiden, vil ikke disse Hamilton-operatorene ha noen entydige egenverdier. Det betyr at de elektromagnetiske koblingene vil påvirke det fysiske systemet ved at det foretar kvantesprang mellom ellers stabile eller stasjonære tilstander.<ref name = Gross/>

==Skalart kvantefelt==

På samme måte som Lagrange-funksjonen for et [[felt (fysikk)|felt]] finnes fra en [[Hamiltons virkningsprinsipp#Kontinuerlig system|Lagrange-tetthet]], vil Hamilton-funksjonen til feltet være gitt ved en tilsvarende Hamilton-tetthet. Et [[skalarfelt]] ''&phi;'' = ''&phi;''('''x''',''t'') for [[boson]]er med spinn ''s'' = 0 er gitt ved [[Klein-Gordon-ligning]]en. Den følger fra Lagrange-tettheten

: <math> {\mathcal L}  = {\hbar^2\over 2c^2}\Big({\partial\phi\over\partial t}\Big)^2 - {\hbar^2\over 2}(\boldsymbol{\nabla}\phi)^2 - {1\over 2}m^2c^2\phi^2 </math>

der ''m&thinsp;'' er massen til partiklene. Feltet kan [[kvantefeltteori|kvantiseres]] ved bruk av den kanonisk konjugerte feltimpulsen <ref name = Goldstein>H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addidon-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1959).</ref>

: <math> \Pi = {\partial{\mathcal L}\over\partial\dot{\phi}} = {\hbar^2\over c^2}\dot{\phi} </math> 

når man skriver <math> \dot{\phi} = \partial\phi/\partial t .</math> Hamilton-tettheten til feltet er nå som alltid definert ved

: <math> \begin{align} {\mathcal H} &= \dot{\phi}\Pi - {\mathcal L} \\ &= {c^2\over 2\hbar^2}\Pi^2 + {\hbar^2\over 2}(\boldsymbol{\nabla}\phi)^2 + {1\over 2}m^2c^2\phi^2 \end{align} </math>

Den er et uttrykk for den klassiske energitettheten som feltet har i det tredimensjonale rommet. Dets Hamilton-funksjon er dermed gitt ved det romlige integralet

: <math> H = \int\!d^3x\, {\mathcal H}(\phi,\Pi) </math>

Herav finnes Hamilton-operatoren ved å la de to dynamiske variable bli kvantiserte operatorer <math> \phi \rightarrow \hat{\phi} </math> og <math> \Pi \rightarrow \hat{\Pi}. </math> Kvantiseringen må da være i overensstemmelse med den kanoniske kommutatoren

: <math> [\hat{\phi}(\mathbf{x},t), \hat{\Pi}(\mathbf{x'},t)] = i\hbar\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') </math>

hvor [[Diracs deltafunksjon]] inngår på høyre side.<ref name = Gross/>

===Feltmoder===

Partiklene som feltet beskriver, opptrer som [[kvant]] ved kvantiseringen. Dette kommer mest direkte frem ved å utvikle det klassiske feltet i [[Fourier-transformasjon|Fourier-moder]]. I praksis betyr det å kvantisere feltet når det befinner seg i en kubisk boks med volum {{nowrap|''V'' {{=}} ''L''<sup>3</sup>}} og benytte periodiske grensebetingelser. Da kan man skrive

: <math> \phi(\mathbf{x},t) = {c\over\hbar}\sqrt{1\over V}\sum_\mathbf{k}\phi_\mathbf{k}(t) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} </math>

hvor hver komponent av [[bølge]]vektoren '''k''' er et heltallig multiplum av 2''&pi;''&thinsp;/''L''. Fourier-komponentene ''&phi;''<sub>'''k'''</sub> er [[Komplekst tall|komplekse]], men oppfyller {{nowrap|''&phi;''<sub>'''k'''</sub>* {{=}} ''&phi;''<sub>-'''k'''</sub>}} da skalarfeltet ''&phi;''('''x''',''t'') er reelt.<ref name = TDL>T.D. Lee, ''Particle Physics and Introduction to Field Theory'', World Scientific, Singapore (1988). ISBN 3-7186-0033-1.</ref>

Ved nå å benytte integralet

: <math> \int\! d^3x\, e^{i(\mathbf{k} - \mathbf{k}')\cdot\mathbf{x}} = V\delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} </math>

kan Lagrange-funksjonen til feltetskrives på den nye formen

: <math> L = \int\!d^3x\, {\mathcal L} =  {1\over 2} \sum_\mathbf{k}(\dot{\phi}_\mathbf{k}\dot{\phi}_\mathbf{k}^*  - \omega_\mathbf{k}^2{\phi}_\mathbf{k}{\phi}_\mathbf{k}^*) </math>

hvor

: <math> \omega_\mathbf{k}^2 = k^2c^2 + m^2c^4/\hbar^2 </math>

Det frie skalarfeltet er derfor ekvivalent med en uendelig sum av todimensjonale, [[harmonisk oscillator|harmoniske oscillatorer]] karakterisert ved bølgevektoren '''k''' og med vinkelfrekvens ''&omega;''<sub>'''k'''</sub>. Kvantisering av feltet følger da fra [[Kvantisert harmonisk oscillator|kvantiseringen av en oscillator]].<ref name = TDL/>

===Kvantisering===
Fourier-komponenten til den konjugerte feltimpulsen blir nå

: <math> \Pi_\mathbf{k} = {\partial L\over\partial\dot{\phi}_\mathbf{k}} = \dot{\phi}_\mathbf{k}^* = \dot{\phi}_{-\mathbf{k}} </math>

Når disse komponentene blir kvantemekaniske operatorer, tar den kanoniske kommutatoren den enklere formen

: <math> [\hat{\phi}_\mathbf{k}, \hat{\Pi}_{\mathbf{k}'}] = i\hbar\delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} </math>

Den kan gjøres mer anvendelig ved å innføre [[Stigeoperator|kreasjons- og annhilasjonsoperatorer]] ved å definere dem ved

: <math> \hat{\phi}_\mathbf{k} = \sqrt{\hbar\over 2\omega_\mathbf{k}}\left(\hat{a}_\mathbf{k} +  \hat{a}_{-\mathbf{k}}^\dagger \right) </math>
: <math> \hat{\Pi}_\mathbf{k} = i\sqrt{\hbar\omega_\mathbf{k}\over 2}\left(\hat{a}_\mathbf{k}^\dagger -  \hat{a}_{-\mathbf{k}} \right) </math>

når de oppfyller den fundamentale kommutatoren

: <math> [\hat{a}_\mathbf{k}, \hat{a}_{\mathbf{k}'}^\dagger] = \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} </math>

Hamilton-operatoren til feltet er nå en sum over Hamilton-operatorene til hver harmonisk feltmode,<ref name = TDL/>

: <math> \hat{H} =  \sum_\mathbf{k} \hbar\omega_\mathbf{k} (\hat{a}_\mathbf{k}^\dagger \hat{a}_\mathbf{k} + 1/2) </math>

Den viser at et kvant med bølgetallet '''k''' har en energi som er

: <math> E_\mathbf{k} =  \hbar\omega_\mathbf{k} = \sqrt{\hbar^2 k^2c^2 + m^2c^4} </math>

Det er derfor en relativistisk partikkel med impuls '''p''' = ''ħ''&thinsp;'''k''' og masse ''m''.

Da [[Kvantisert harmonisk oscillator#Nullpunktsenergi|nullpunktsenergien]] til hver mode av feltet er positiv, betyr denne Hamilton-operatoren at også det tomme rom ser ut til å ha en uendelig stor energi. Det kan betraktes som et problem med denne kvantiseringen. Men likevel kan denne konsekvensen under bestemte forhold påvises eksperimentelt og omtales da som en [[Casimir-effekt]] etter oppdageren.<ref name = Milton> K.A. Milton, ''The Casimir Effect: Physical Manifestations of Zero-point Energy'', World Scientific, Singapore (2001). ISBN 978-981-02-4397-5.</ref>

Ved bruk av Hamilton-operatoren kan nå kvantefeltoperatoren beregnes i [[Kvantemekanikk#Tidsutvikling og Heisenberg-bilde|Heisenberg-bildet]] ved et vilkårlig tidspunkt med resultatet

: <math> \begin{align} & \hat{\phi}(\mathbf{x},t) = e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{\phi}(\mathbf{x}, 0)\, e^{-i\hat{H}t/\hbar} \\ &= c \sum_\mathbf{k} \sqrt{1\over 2\hbar\omega_\mathbf{k} V}\left(\hat{a}_\mathbf{k} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega_\mathbf{k} t)}  + \hat{a}_\mathbf{k}^\dagger e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega_\mathbf{k} t)} \right)\end{align} </math>

Det uttrykker matematisk den fundamentale [[bølge–partikkel-dualitet]] som er det essensielle innhold av alle kvantefeltteorier. Vanligvis benytter man [[Måleenhet#Naturlige enheter|naturlige enheter]] med {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''c''}} = 1 i denne beskrivelsen slik at de matematiske uttrykkene blir enklere.<ref name = Gross/>

==Dirac-feltet==

Relativistiske bølgeligninger som Klein-Gordon-ligningen for bosoner og Dirac-ligningen for fermioner har løsninger som også tilsvarer partikler med negativ energi. Det betyr at de beskriver både partikler og [[Antipartikkel|antipartikler]] og må derfor mer korrekt bli betraktet som «feltligninger». Kvantisering av disse feltene gjør det mulig å beskrive samtidig et vilkårlig antall av slike partikler og deres antipartikler.

Hamilton-operatoren for Dirac-feltet  kan utledes på ligningende måte som for Klein-Gordon-feltet ved å ta utgangspunkt i den klassiske Lagrange-funksjonen. Feltet <math> \psi = \psi(\mathbf{x},t) </math> er en spinor med fire komplekse komponenter, og den konjugerte feltimpulsen er gitt ved den kompleks-transponerte spinoren <math> \psi^\dagger. </math> Hamilton-tettheten for det fri feltet blir da

: <math> {\mathcal H}  = \psi^\dagger(c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat\mathbf{p} + \beta mc^2)\psi </math>

hvor igjen <math> \hat\mathbf{p} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} </math> som for én partikkel. Men når feltet kvantiseres for å gi Hamilton-operatoren, vil spinorfeltet <math> \psi </math> bli en feltoperator <math> \hat{\psi} .</math> Denne fremgangsmåten blir derfor av og til omtalt som [[andrekvantisering]].<ref name = Gross/>

Mens kvantiseringsbetingelsene for skalarfeltet er gitt ved kommutatorer, uttrykkes de ved [[Stigeoperator|antkommutatorer]] for Dirac-feltet,

: <math> \{\hat{\psi}_{\alpha}(\mathbf{x},t), \hat{\psi}_\beta^\dagger(\mathbf{x'},t)\} = \delta_{\alpha\beta} \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') </math>

hvor på høyre side nå opptrer et [[Kronecker-delta]] med spinorindeksene. Slike antikommutatorer betyr også at [[Paulis eksklusjonsprinsipp]] er automatisk oppfylt for fermioner.<ref name = Liboff/>

På lignende måte som for skalarfeltet kan også Dirac-feltet nå bli utviklet i moder med tilsvarende kreasjons- og annihilasjonsoperatorer for partikler og antipartikler. Når feltet samtidig kobles til det elektromagnetiske feltet som også kvantiseres, vil den resulterende Hamilton-operatoren danne grunnlaget for relativistisk [[kvanteelektrodynamikk]].

==Se også==

* [[Schrödinger-ligning]]en
* [[Kvantemekanikk]]
* [[Kvantefeltteori]]

==Referanser==
<references />

==Litteratur==

* R. Resnick, R. Eisberg, ''Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles'' (2nd Edition), John Wiley & Sons, New York (1985), ISBN 978-0-471-87373-0

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kvantemekanikk]]
Beskrivelse	Hva du skriver	Hva du får
Kursiv	''Kursiv tekst''	Kursiv tekst
Fet	'''Fet tekst'''	Fet tekst
Fet & kursiv	'''''Fet & kursiv tekst'''''	*Fet & kursiv tekst*