Redigerer Hall-effekt

[[Fil:Halleffekt.svg|thumb|300px|Hall-effekten arter seg som en spenning ''U<sub>H</sub>&thinsp;'' på tvers av den påtrykte strømmen ''I'' og det ytre magnetfeltet ''B''.]]
'''Hall-effekt''' er en [[elektrisk spenning]] som oppstår i et strømførende materiale som befinner seg i et [[magnetfelt]]. Den skyldes at den [[elektrisk strøm|elektriske strømmen]] påvirkes av [[Lorentz-kraft]]en fra magnetfeltet slik at det bygger seg opp en ladningsforskjell i [[elektrisk leder|lederen]] og dermed et [[elektrisk felt]] på tvers av den gitte strømretningen.

Når magnetfeltet ''B'' står [[vinkelrett]] på en plan, [[elektrisk leder]] med tykkelse ''a'' og som fører strømmen ''I'', kan Hall-spenningen skrives som

: <math> U_H = R_H {IB\over a} </math>

der ''R<sub>H</sub>&thinsp;'' kalles '''Hall-koeffisienten'''. Den er bestemt ved egenskaper til materialet i lederen og kan variere med temperaturen. Koeffisienten må ikke forveksles med '''Hall-motstanden''' {{nowrap|''R<sub>xy</sub>'' {{=}} ''U<sub>H</sub>''&thinsp;/''I''}} som er en [[elektrisk motstand]] karakteristisk for effekten. Når Hall-koeffisienten er konstant, vil Hall-motstanden øke proporsjonalt med magnetfeltet.

Effekten ble oppdaget av [[Edwin Hall]] i 1879 da han ville undersøke hvordan et magnetfelt kunne påvirke den elektriske ledningsevnen til materialer. Siden er den blitt praktisk viktig for måling av styrken til magnetfelt. I det omvendte tilfellet når styrken av dette er kjent, kan den benyttes til å skaffe seg et bilde av hvordan den mikroskopiske  ladningstransporten foregår i materialet. 

Spesielt stor interesse har Hall-effekten hatt etter 1980 da den tyske fysiker [[Klaus von Klitzing]] oppdaget at Hall-motstanden antar spesielle, diskrete verdier ved lave temperaturer og sterke magnetfelt. Dette fenomenet skyldes [[kvantemekanikk]]en og omtales i dag som den [[Kvantisert Hall-effekt|kvantiserte Hall-effekten]]. Den har i dag stor teoretisk og praktisk betydning.

===Elektrisk strøm i magnetfelt===

Den klassiske Hall-effekten kan forklares i [[Elektrisk motstand#Drude-modellen|Drude-modellen]] for ladningstransport i [[elektrisk leder|elektriske ledere]]. I det enkleste tilfelle antar man at den skyldes ladningsbærere med [[elektrisk ladning|ladning]] ''q'' og tetthet ''n'' som beveger seg med [[elektrisk strøm#Driftshastigheten|driftshastigheten]] '''v'''. Det resulterer i en [[elektrisk strøm#Driftshastigheten|strømtetthet]] av størrelse  {{nowrap|'''J''' {{=}} ''qn''&thinsp;'''v'''}}. Hvis denne strømmen befinner seg i et [[magnetfelt]] '''B''', vil hver ladningsbærer bli utsatt for den magnetiske [[Lorentz-kraft]]en {{nowrap|'''F''' {{=}} ''q''&thinsp;'''v'''&times;'''B'''}} som tvinger ladningen bort i en retning vinkelrett både til '''J''' og '''B'''.<ref name="Omar"> M.A. Omar, ''Elementary Solid State Physics'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts (1975). ISBN 0-201-05482-5.</ref>

[[Fil:Effet Hall - explications.svg|thumb|upright=2|right|[[Hall-effekt]] sett ovenfra (venstre) og fra siden (høyre). Den elektriske kraften ''F<sub>e</sub>'' skyldes ladninger på sidene og balanserer den magnetiske kraften ''F<sub>m</sub>''. Hall-spenningen ''V<sub>Hall</sub>&thinsp;'' er transvers både til strømmen ''I&thinsp;'' og magnetfeltet ''B''.]]
Hvis den plane lederen ligger i ''xy''-planet og ''B''-feltet normalt til dette, vil Lorentz-kraften skyve ladningene i den negative ''y''-retningen. Det medfører at et ladningsunderskudd oppstår på den motsatte siden og bygger opp et elektrisk felt '''E''' i denne retningen. Når dette har økt til å gi en like stor elektrisk kraft ''q''&thinsp;'''E''' som Lorentz-kraften, vil ladningstransporten i ''x''-retning fortsette uhindret. Det skjer derfor når størrelsen til det elektriske feltet er blitt {{nowrap|''E<sub>y</sub>'' {{=}} ''v<sub>x</sub>B''}} eller

: <math> E_y = {1\over nq}J_x B </math>

Hvis lederen har bredde ''b'', er den tilsvarende Hall-spenningen ''U<sub>H</sub>'' = ''E<sub>y</sub>&thinsp;b''. Da kan strømtettheten også uttrykkes ved den totale strømmen ''I'' =  ''J<sub>x</sub>&thinsp;ab'' der ''a'' er tykkelsen til lederen. Den klassiske verdien til Hall-koeffisienten er derfor 

: <math> R_H = {1\over nq} </math>

og er uavhengig av magnetfeltet.  På samme måte er også den elektriske motstanden i strømretningen uavhengig av dette. I denne beskrivelsen av Hall-effekten er det derfor ikke noen [[magnetoresistans]]. Hall-motstanden kan nå skrives som  {{nowrap|''R<sub>xy</sub>'' {{=}} ''B''&thinsp;/''nqa''}} og øker proporsjonalt med magnetfeltet ''B'' i denne klassiske teorien.

I [[metall]]er skjer ladningstransporten ved flytting av [[elektron]]er.  Ladningen ''q'' er derfor negativ slik at Hall-koeffisienten forventes å være negativ. Det er også i overensstemmelse med målinger.<ref name = Omar/> Men det finnes unntak, som for eksempel for  sink [[sink|Zn]]. Det kan forklares ved en mer komplisert ladningstransport i dette metallet enn antatt i den klassiske Drude-modellen basert på frie elektroner. Siden elektronets ladning er kjent, vil en måling av Hall-effekten gi direkte informasjon om tettheten ''n'' i lederen.

Mer generelt i [[halvleder]]e kan ladningstransporten i tillegg forgå ved transport av ''hull'' med motsatt ladning enn elektronet. Her består ladningstransporten derfor av to komponenter slik at uttrykket for Hall-koeffisientene blir mer komplisert.<ref name="AM"> N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, ''Solid State Physics'', Holt, Reinhart and Winston, New York (1976). ISBN 978-0-030-83993-1. </ref>

===Kvantisert Hall-effekt===
{{utdypende|Kvantisert Hall-effekt}}
[[Fil:QHE Filling Factors.png|thumb|360px|Ved den heltallig QHE varierer Hall-motstanden ''ρ<sub>xy</sub>'' i veldefinerte stepp som blir jevnt mindre og forsvinner i den klassiske grensen der magnetfeltet ''B'' blir svakere.]]
I tynne skikt mellom [[halvleder]]e som ble kjølt ned til lave temperaturer og utsatt for meget sterke magnetfelt, viser Hall-motstanden et klart avvik fra å være proporsjonal med dette feltet slik som det er forventet i den klassiske Drude-modellen. Derimot varierer den i klare stepp med verdier som kan skrives på den enkle formen ''R<sub>xy</sub>'' = ''R<sub>K</sub>''/''&nu;'' hvor 

: <math> R_{K} =  {h\over e^2} = 25 812,807\ 4555 (59) \text{ohm} </math>

er '''von Klitzings konstant'''.<ref name = CODATA> [[National Institute of Standards and Technology|NIST]], 2014 ''CODATA recommended values.''</ref> Dens meget presise verdi er uavhengig av materialets egenskaper. Den inneholder [[Plancks konstant]] ''h'' og ''&nu;'' er et helt tall (1, 2, 3, . .) eller en [[brøk]] (1/3, 2/5, 3/7, . .). Dette fenomenet kalles nå for [[Kvantisert Hall-effekt|den kvantiserte Hall-effekten]] som fra engelsk betegnes med QHE. I det første tilfellet dreier det seg om en heltallig QHE eller IQHE, mens for rasjonelle verdier av ''&nu;'' har man en fraksjonell QHE eller FQHE.<ref name="Stone"> M. Stone, ''Quantum Hall Effect'', World Scientific Publishing, Singapore (1992). ISBN 981-02-0884-7.</ref>

Forklaringen av denne effekten kan finnes i [[kvantemekanikk]]en. Under de forholdene som eksistrerer ved disse målingene vil elektronene i halvledersjiktet bevege seg kun i to dimensjoner. Det sterke magnetfeltet vil føre til at hver av dem utfører en [[Lorentz-kraft#Syklotronbevegelse|syklotronbevegelse]] rundt en sirkel med senter i [[planet]]. På grunn av [[Paulis eksklusjonsprinsipp]] vil hver slik bane kun inneholde et elektron hvis man ser bort fra dets [[spinn]]. Antall elektroner som kan delta i ladningstransporten er da lik med antall slike syklotronbaner. Ved bruk av [[Landau-kvantisering]] gir det en ladningstetthet som er et helt multiplum ''&nu;'' av ''eB''/''h''.  I den klassiske grensen ''h'' &rarr; 0 vil derfor heltallet ''&nu;'' bli stort. 

Da Hall-motstanden kan skrives som  {{nowrap|''R<sub>xy</sub>'' {{=}} ''B''&thinsp;/''nea''}} hvor ''na'' er den todimensjonale tettheten av elektroner i grensen der tykkelsen ''a'' blir veldig liten, tar denne derfor verdiene  {{nowrap|''R<sub>xy</sub>'' {{=}} ''h''/''&nu;e''<sup>2</sup>.}} Dette gir en grov forklaring av den heltallige, kvantiserte Hall-effekten IQHE. Men det overraskende er hvorfor  en slik enkel beskrivelse kan gi et slikt numerisk korrekt resultat.<ref name = Klitzing> K. von Klitzing, [https://web.archive.org/web/20110707025318/http://hrma.physics.sjtu.edu.cn/PhysicsHorizon/25yearsQHE-lecture.pdf ''25 Years of Quantum Hall Effect (QHE)''], Poincaré Seminar, Paris (2004). </ref>

Den fraksjonelle Hall-effekten er ikke like godt forstått. Spesielt er spørsmålet om hvilke brøker ''&nu;'' som kan opptre, ennå uavklart. Men den avgjørende forskjellen fra IQHE er at for FQHE spiller [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] mellom elektrone en avgjørende rolle.<ref name = Stone/>

==Referanser==
<references />

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kvantemekanikk]]
[[Kategori:Faststoffysikk]]
[[Kategori:Elektriske og magnetiske felt i stoff]]