Redigerer Høyereordens deriverte av posisjon

[[Fil:Posisjonsderiverte.svg|thumb|Tidsderiverte av posisjon]]
I [[fysikk]]en er '''tredje, fjerde, femte og sjette deriverte av posisjon''' definert som [[deriverte]] av [[posisjonsvektor]]en med hensyn på [[tid]] – med første- og andre-deriverte som henholdsvis [[hastighet]] og [[akselerasjon]]. De høyere ordens deriverte forekommer likevel, men navnene deres er ikke standardiserte. Foruten rykk for den tredje-deriverte, synes det ikke å forekomme standardiserte navn på norsk. {{tr}}

==<span id="Tredje deriverte"></span> Tredje deriverte (rykk)==
Rykk kan uttrykkes som den tidsderiverte av akselerasjon, andre tidsderiverte av [[hastighet]], og tredje tidsderiverte av [[posisjon]]:

:<math qid=Q497332>\vec \jmath(t) = \frac{\mathrm{d} \vec a(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2 \vec v(t)}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^3 \vec r(t)}{\mathrm{d}t^3} ,</math>

hvor
:<math>\vec a</math> er akselerasjon
:<math>\vec v</math> er hastighet
:<math>\vec r</math> er posisjon
:<math>t</math> er tid

==<span id="Fjerde deriverte"></span> Fjerde deriverte==
Den fjerde [[deriverte]] av [[posisjonsvektor]]en med hensyn på [[tid]], er endringsraten av rykket med hensyn på tid. Enheten har ingen kjent norsk oversettelse, men kalles på engelsk "Snap".<ref>{{Cite book | doi=10.1109/ICRA.2011.5980409| chapter=Minimum snap trajectory generation and control for quadrotors| title=2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation| year=2011| last1=Mellinger| first1=Daniel| last2=Kumar| first2=Vijay| pages=2520–2525| isbn=978-1-61284-386-5}}</ref><ref name="Visser2004"/> Ekvivalent, er det andre deriverte av [[akselerasjon]] og tredje av [[hastighet]],
og er definert ved en av de følgende ligningene:

:<math>\vec s = \frac{d \,\vec \jmath}{dt} = \frac{d^2 \vec a}{dt^2} = \frac{d^3 \vec v}{dt^3} = \frac{d^4 \vec r}{dt^4}.</math>

De følgende likningene er gyldige for konstant fjerde derivert:

:<math>\vec \jmath = \vec \jmath_0 + \vec s t, </math>

:<math>\vec a = \vec a_0 + \vec \jmath_0 t + \frac{1}{2} \vec s t^2, </math>

:<math>\vec v = \vec v_0 + \vec a_0 t + \frac{1}{2} \vec \jmath_0 t^2 + \frac{1}{6} \vec s t^3, </math>

:<math>\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac{1}{2} \vec a_0 t^2 + \frac{1}{6} \vec \jmath_0 t^3 + \frac{1}{24} \vec s t^4, </math>

hvor

:<math>\vec s</math> er konstant fjerde derivert,
:<math>\vec \jmath_0</math> er inititelt rykk,
:<math>\vec \jmath</math> er endelig rykk ,
:<math>\vec a_0</math> er initiell akselerasjon,
:<math>\vec a</math> er endelig akselerasjon,
:<math>\vec v_0</math> er initiell hastighet,
:<math>\vec v</math> er endelig hastighet,
:<math>\vec r_0</math> er initiell posisjon,
:<math>\vec r</math> er endelig posisjon,
:<math>t</math> er tiden mellom initiell og endelig tilstand.

Notasjonen <math>\vec s</math> (brukt av Visser<ref name="Visser2004"/>) må ikke blandes med forskyvningsvektoren som bruker liknende notasjon.

Dimensjonaliteten er distanse per fjerde potens av tid. I [[SI enheter]], er dette "meter per sekund i fjerde", m/s<sup>4</sup>, m⋅s<sup>−4</sup>.

==<span id="Femte deriverte"></span> Femte deriverte==
Den femte [[deriverte]] av [[posisjonsvektor]]en med hensyn på [[tid]]. Enheten har ingen kjent norsk oversettelse, men kalles på engelsk "Crackle".<ref name="Visser2004"/><ref name="Thompson"/> Den femte deriverte av posisjonen er definert ved en av de følgende ekvivalente uttrykkene:

:<math>\vec c =\frac {d \vec s} {dt}=\frac {d^2 \vec \jmath} {dt^2}=\frac {d^3 \vec a} {dt^3}=\frac {d^4 \vec v} {dt^4}=\frac {d^5 \vec r} {dt^5}</math>

De følgende likningene er gyldige for konstant femte derivert:

:<math>\vec s = \vec s_0 + \vec c \,t </math>

:<math>\vec \jmath = \vec \jmath_0 + \vec s_0 \,t + \frac{1}{2} \vec c \,t^2 </math>

:<math>\vec a = \vec a_0 + \vec \jmath_0 \,t + \frac{1}{2} \vec s_0 \,t^2 + \frac{1}{6} \vec c \,t^3 </math>

:<math>\vec v = \vec v_0 + \vec a_0 \,t + \frac{1}{2} \vec \jmath_0 \,t^2 + \frac{1}{6} \vec s_0 \,t^3 + \frac{1}{24} \vec c \,t^4 </math>

:<math>\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 \,t + \frac{1}{2} \vec a_0 \,t^2 + \frac{1}{6} \vec \jmath_0 \,t^3 + \frac{1}{24} \vec s_0 \,t^4 + \frac{1}{120} \vec c \,t^5 </math>

hvor

:<math>\vec c</math> : er konstant femte derivert,
:<math>\vec s_0</math> : initiell fjerde derivert,
:<math>\vec s</math> : endelig fjerde derivert,
:<math>\vec \jmath_0</math> er inititelt rykk,
:<math>\vec \jmath</math> er endelig rykk ,
:<math>\vec a_0</math> er initiell akselerasjon,
:<math>\vec a</math> er endelig akselerasjon,
:<math>\vec v_0</math> er initiell hastighet,
:<math>\vec v</math> er endelig hastighet,
:<math>\vec r_0</math> er initiell posisjon,
:<math>\vec r</math> er endelig posisjon,
:<math>t</math> er tiden mellom initiell og endelig tilstand.

Dimensjonaliteten er distanse per femte potens av tid. I [[SI enheter]], er dette "meter per sekund i femte", m/s<sup>5</sup>, m⋅s<sup>−5</sup>.

==<span id="Sjette deriverte"></span> Sjette deriverte==
Den sjette [[deriverte]] av [[posisjonsvektor]]en med hensyn på [[tid]]. Enheten har ingen kjent norsk oversettelse, men kalles på engelsk "Pop".<ref name="Visser2004"/><ref name="Thompson"/> Den sjette deriverte av posisjonen er definert ved en av de følgende ekvivalente uttrykkene:

:<math>\vec p =\frac {d \vec c} {dt}=\frac {d^2 \vec s} {dt^2}=\frac {d^3 \vec \jmath} {dt^3}=\frac {d^4 \vec a} {dt^4}=\frac {d^5 \vec v} {dt^5}=\frac {d^6 \vec r} {dt^6}</math>

De følgende likningene er gyldige for konstant sjette derivert:

:<math>\vec c = \vec c_0 + \vec p \,t </math>

:<math>\vec s = \vec s_0 + \vec c_0 \,t + \frac{1}{2} \vec p \,t^2 </math>

:<math>\vec \jmath = \vec \jmath_0 + \vec s_0 \,t + \frac{1}{2} \vec c_0 \,t^2 + \frac{1}{6} \vec p \,t^3 </math>

:<math>\vec a = \vec a_0 + \vec \jmath_0 \,t + \frac{1}{2} \vec s_0 \,t^2 + \frac{1}{6} \vec c_0 \,t^3 + \frac{1}{24} \vec p \,t^4 </math>

:<math>\vec v = \vec v_0 + \vec a_0 \,t + \frac{1}{2} \vec \jmath_0 \,t^2 + \frac{1}{6} \vec s_0 \,t^3 + \frac{1}{24} \vec c_0 \,t^4 + \frac{1}{120} \vec p \,t^5 </math>

:<math>\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 \,t + \frac{1}{2} \vec a_0 \,t^2 + \frac{1}{6} \vec \jmath_0 \,t^3 + \frac{1}{24} \vec s_0 \,t^4 + \frac{1}{120} \vec c_0 \,t^5 + \frac{1}{720} \vec p \,t^6 </math>

hvor

:<math>\vec p</math> : er konstant sjette derivert,
:<math>\vec c_0</math> : initiell femte derivert,
:<math>\vec c</math> : endelig femte derivert,
:<math>\vec s_0</math> : initiell fjerde derivert,
:<math>\vec s</math> : endelig fjerde derivert,
:<math>\vec \jmath_0</math> er inititelt rykk,
:<math>\vec \jmath</math> er endelig rykk ,
:<math>\vec a_0</math> er initiell akselerasjon,
:<math>\vec a</math> er endelig akselerasjon,
:<math>\vec v_0</math> er initiell hastighet,
:<math>\vec v</math> er endelig hastighet,
:<math>\vec r_0</math> er initiell posisjon,
:<math>\vec r</math> er endelig posisjon,
:<math>t</math> er tiden mellom initiell og endelig tilstand.

Dimensjonaliteten er distanse per sjette potens av tid LT<sup>−6</sup>(. I [[SI enheter]], er dette "meter per sekund i sjette", m/s<sup>6</sup>, m⋅s<sup>−6</sup>.

== Referanser ==
<references>
<ref name="Visser2004">{{cite journal |last=Visser |first=Matt |date=31. mars 2004 |title=Jerk, snap and the cosmological equation of state |journal=[[Classical and Quantum Gravity]] |volume=21 |issue=11 |pages=2603–2616 |issn=0264-9381 |doi=10.1088/0264-9381/21/11/006 |quote=Snap [the fourth time derivative] is also sometimes called jounce. The fifth and sixth time derivatives are sometimes somewhat facetiously referred to as crackle and pop.|arxiv = gr-qc/0309109 |bibcode = 2004CQGra..21.2603V }}</ref>

<ref name="Thompson">{{cite web | url = https://info.aiaa.org/Regions/Western/Orange_County/Newsletters/Presentations%20Posted%20by%20Enrique%20P.%20Castro/AIAAOC_SnapCracklePop_docx.pdf | archive-url = https://web.archive.org/web/20180626030437/https://info.aiaa.org/Regions/Western/Orange_County/Newsletters/Presentations%20Posted%20by%20Enrique%20P.%20Castro/AIAAOC_SnapCracklePop_docx.pdf | archive-date = 2018-06-26 | url-status = unfit | title = Snap, Crackle, and Pop | last = Thompson | first = Peter M. | date = 5. mai 2011 | website = AIAA Info | publisher = Systems Technology | location = Hawthorne, California | page = 1 | access-date = 3. mars 2017 | quote = The common names for the first three derivatives are velocity, acceleration, and jerk. The not so common names for the next three derivatives are snap, crackle, and pop. }} {{Kilde www |url=https://info.aiaa.org/Regions/Western/Orange_County/Newsletters/Presentations%20Posted%20by%20Enrique%20P.%20Castro/AIAAOC_SnapCracklePop_docx.pdf |tittel=Arkivert kopi |besøksdato=2021-01-03 |arkiv-dato=2017-03-04 |arkiv-url=https://web.archive.org/web/20170304041659/https://info.aiaa.org/Regions/Western/Orange_County/Newsletters/Presentations%20Posted%20by%20Enrique%20P.%20Castro/AIAAOC_SnapCracklePop_docx.pdf |url-status=yes }}</ref>
</references>

== Eksterne lenker ==
{{Wiktionary|snap|jounce|crackle|flounce|pop|pounce}}
*[https://arxiv.org/abs/gr-qc/0411131 ''Cosmography: cosmology without the Einstein equations''], Matt Visser, School of Mathematics, Statistics and Computer Science, Victoria University of Wellington, 2004.

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Fysiske størrelser]]
[[Kategori:Tid (fysikk)]]
[[Kategori:Akselerasjon]]