Redigerer
Gravitasjonspotensial
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
[[Fil:GravityPotential.jpg|thumb|300px|Gravitasjonspotensialet rundt en kuleformet masse er negativt og har et minimum i massens sentrum.]] '''Gravitasjonspotensialet''' på et sted angir i [[klassisk fysikk]] den [[potensiell energi|potensielle energien]] en [[masse]] på samme sted har i nærvær av andre masser på grunn av deres gjensidige [[tyngdekraft|gravitasjonskrefter]]. [[Gradient]]en av potensialet gir [[gravitasjonsfelt]]et på samme sted og dermed den totale kraften som virker på massen. Da [[Newtons gravitasjonslov]] har samme matematiske form som [[Coulombs lov]] for elektriske krefter, spiller gravitasjonspotensialet samme rolle som det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]] i [[elektrostatikk]]en. Men i motsetning til dette, er ikke gravitasjonspotensialet forenlig med [[den spesielle relativitetsteori]]en. I stedet lyktes det [[Einstein]] å vise at det erstattes med den [[metrisk tensor|metriske tensor]]en i [[generell relativitet|den generelle relativitetsteorien]]. Den beskriver de geometriske egenskapene til [[tidrom]]met som blir krummet på grunn av energi og masse. ==Definisjon== Ifølge [[Newtons gravitasjonslov]] er [[kraft]]en ''F'' som virker på en liten masse ''m'' som befinner seg i en avstand ''r'' fra en kuleformet masse ''M'', gitt som : <math> F = {GmM\over r^2} </math> hvor ''G'' er [[gravitasjonskonstanten]]. Da kraften er tiltrekkende, må det utføres et arbeid for å flytte ''m'' fra avstanden ''r'' ut til uendelig hvor kraften er redusert til null. Dette arbeidet : <math> W = \int_r^\infty Fdr = - GmM \left({1\over\infty} - {1\over r}\right) = {GmM\over r}</math> er positivt og går med til å overvinne den [[potensiell energi|potensielle energien]] ''U'' massen hadde i sin opprinnelige posisjon. Denne energien er derfor negativ og kan skrives som {{nowrap|''U {{=}} m'' Φ}} hvor : <math> \Phi = - {GM\over r} </math> er definert å være gravitasjonspotensialet i avstand ''r '' fra den sfæriske massen ''M''. Det er derfor automatisk lik null når avstanden blir uendelig stor. Istedet kunne potensialet ta en eller annen konstant verdi. Det er mulig da kunne differenser i potensiell energi har fysisk betydning.<ref name = Isaachsen> D. Isaachsen, ''Lærebok i Fysikk for Realgymnaset'', H. Aschehoug & Co, Oslo (1958).</REF> ==Jordens gravitasjonspotensial== Med stor nøyaktighet er [[Jorden]] en kuleformet masse. Har den radius ''R'', er gravitasjonspotensialet på overflaten lik med {{nowrap|Φ<sub>0</sub> {{=}} - ''GM''/''R''}}. I en høyde ''h'' over jordoverflaten er det øket til {{nowrap|Φ {{=}} - ''GM''/(''R + h'')}}. Så lenge som {{nowrap|''h'' << ''R''}}, kan dette forenkles til {{nowrap|Φ {{=}} Φ<sub>0</sub> + ''gh'' }} hvor {{nowrap|''g {{=}} GM''/''R''<sup>2</sup> {{=}} 9.82 m/s<sup>2</sup> }} er [[tyngdeakselerasjon]]en på Jordens overflate. Da Φ<sub>0</sub> her kan betraktes som en konstant, er det vanlig å si at gravitasjonspotensialet ved Jordens overflate ganske enkelt er {{nowrap|Φ {{=}} ''gh''}}. En masse ''m'' som slippes løs i høyden ''h'', vil begynne å falle nedover med økende hastighet ''v''. Etter å ha falt ned til overflaten ''h'' = 0, er den potensielle energien {{nowrap|''m'' Φ}} gått over til [[kinetisk energi]] ''mv''<sup>2</sup>/2. Massen har da fått en hastighet : <math> v = \sqrt{2gh} </math> som følger fra energibevarelse. Hastigheten er uavhengig av størrelsen ''m'', noe som er grunnlaget for [[ekvivalensprinsippet]] som ble først formulert av [[Galileo Galilei]].<ref name = HB> G. Holton and S.G. Brush, ''Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond'', Rutgers University Press, New Brunswick (2006). ISBN 0-8135-2907-7.</ref> Inni Jorden kan man bruke [[Newtons skallteorem]] til å finne gravitasjonspotensialet. Det sier at [[gravitasjonsfelt]]et i en viss avstand ''r '' fra sentrum til en sfærisk symmetrisk massefordeling er bestemt alene av massen innenfor et kuleskall med radius ''r''. For ''r'' < ''R'' er derfor tyngdeakselerasjonen ''g''(''r'') = ''gr''/''R'' når man antar at massetettheten ''ρ'' er konstant. Gravitasjonspotensialet i dette området er derfor gitt ved : <math> \Phi - \Phi_0 = \int_R^r g(r) dr = {g\over 2R} (r^2 - R^2) </math> Siden man har at Φ<sub>0</sub> = - ''gR'', kan man skrive resultatet som : <math> \Phi = {g\over 2R} (r^2 - 3R^2) \qquad r\leq R </math> Det har verdien -3''gR''/2  i Jordens sentrum og øker derfra med kvadratet av radius. Ved Jordens overflate går det kontinuerlig over i potensialet {{nowrap|Φ {{=}} - ''GM''/''r'' }} som gjelder i området utenfor der {{nowrap|''r > R''}}.<ref name = Tipler> P.A. Tipler, ''Physics'', Worth Publishers Inc, New York (1982). ISBN 0-8790-1135-1.</ref> ===Unnslipningshastighet=== [[Fil:Newton Cannon.svg|thumb|Bevegelsen til prosjektilet er avhengig av utskytningshastigheten. Mens A og B er deler av [[ellipse]]baner med lav hastighet, viser C og D bundne baner omkring Jorden. I tilfellet E forlater prosjektilet Jorden langs en [[hyperbel]]bane.]] Skytes en ball ut med en kanon eller sendes en [[rakett]] opp fra Jorden og man ser bort fra [[luftmotstand]]en, vil den følge en [[Keplers lover|Kepler-bane]] som er et [[kjeglesnitt]] med Jordens sentrum som et [[brennpunkt]]. Avhengig av størrelsen ''v''<sub>0</sub>  og retningen til hastigheten i utgangspunktet, vil prosjektilet falle ned på Jorden igjen, gå inn i en lukket bane omkring Jorden eller forlate den fullstendig. I dette siste tilfellet vil den til slutt bevege seg så langt bort at gravitasjonspotensialet blir null. Den har da kun en [[kinetisk energi]] som alltid er positiv. Bevarelse av den totale energien til prosjektilet med masse ''m'' må da oppfylle : <math> {1\over 2}mv_0^2 + m\Phi_0 \ge 0 </math> hvor Φ<sub>0</sub> = - ''gR'' igjen er gravitasjonspotensialet på utskytningsstedet. For at prosjektilet skal unnslippe fra Jorden må derfor : <math> v_0 \ge v_\infty = \sqrt{2gR} </math> hvor ''v''<sub>∞</sub>  er [[unnslipningshastighet]]en. Settes her inn ''R'' = 6371 km, finner man ''v''<sub>∞</sub> = 11.2 km/s. Hvis hastigheten til prosjektilet er mindre enn denne kritiske hastigheten, vil det gå inn i en [[ellipse]]bane med negativ energi. Skriver man denne som {{nowrap|''E'' {{=}} - ''GMm''/2''a''}} hvor parameteren {{nowrap|''a'' > 0}} for en slik bunden bevegelse, vil hastigheten ''v'' til prosjektilet og dets avstand til Jorden ''r'' alltid være forbundet ved ligningen : <math>v^2 = GM \left({2 \over r} - {1 \over a}\right) </math> som igjen uttrykker bevarelse av dets totale energi. Parameteren ''a'' angir lengden til den store halvaksen til ellipsen. Denne sammenhengen kalles noen ganger for '''vis-viva-ligningen''' fra den gang [[vis-viva]] var navnet for kinetisk energi.<ref name = Smith> G.E. Smith, [http://www.giovannibachelet.it/FG1-14-15/settimana_04/VisViva-PhysicsToday2006.pdf ''The Vis Viva Dispute: A Controversy at the Dawn of Dynamics''], Physics Today '''59''' (10), 31–36 (2006). </ref> Ved å la parameteren ''a'' være negativ, gjelder den også for ubundne baner som har form av [[hyperbel|hyperbler]]. Det kritiske tilfellet hvor energien er nøyaktig lik null slik at {{nowrap|''a'' {{=}} ∞}}, tilsvarer en [[parabel]]bane der prosjektilet ender opp med null hastighet uendelig langt bort. ==Tidekrefter== En masse ''m'' i et generelt gravitasjonspotensial Φ vil påvirkes av [[gravitasjonsfelt]]et {{nowrap|'''g''' {{=}} - '''∇''' Φ}} som gir opphav til kraften {{nowrap|'''F''' {{=}} ''m'' '''g'''}}. Da potensialet vil variere med stedet, vil denne gravitasjonskraften i allminnelighet være litt forskjellig i to nærliggende posisjoner. Denne differansen kalles en [[tidekraft]] og gir opphav til [[tidevann]] på Jorden og lignende fenomen på andre [[planet]]er. Hvis man betrakter en partikkel i avstand ''R'' fra en sentral masse ''M'', befinner den seg i potensialet {{nowrap|Φ {{=}} - ''GM''/''R''}}. Velger man en ''z''-akse i radiell retning, vil partikkelen dermed være utsatt for feltet {{nowrap|''g<sub>z</sub>''(0) {{=}} - ''GM''/''R''<sup> 2</sup>}}. En annen partikkel litt lenger ut i avstand ''R + z'', vil tilsvarende befinne seg i feltet {{nowrap|''g<sub>z</sub>''(''z'') {{=}} - ''GM''/(''R + z'' )<sup>2</sup>}}. Differansen mellom disse to : <math> \Delta g_z = g_z(z) - g_z(0) = 2z {GM\over R^3} </math> når man antar at ''z'' << ''R''. Da denne er positiv, betyr det at partikler i disse to posisjonene vil bli drevet bort fra hverandre. [[Fil:Marée.jpg|thumb|280px|[[Tidevann]] på [[Jorden]] skyldes at [[Newtons gravitasjonslov|gravitasjons-kraften]] fra [[Månen]] er sterkere på siden som vender mot den og svakere på siden som vender bort fra den, enn i Jordens sentrum.]] Da feltet '''g''' er rettet mot sentrum til massen ''M'', vil det ha samme størrelse, men litt forskjellig retning i et punkt i avstand ''x'' vinkelrett på ''z''-aksen sammenlignet med feltet i origo. Denne differansen er gitt ved ''x''-komponenten av det radielle feltet og er dermed : <math> \Delta g_x = -x{GM\over R^3} </math> Da den er negativ, vil partikler i disse to posisjonene transvers til forbindelseslinjen mellom massene, ble trukket mot hverandre. Det samme gjelder for to posisjoner separert på samme måte i ''y''-retning. Disse tre differansene i gravitasjonsfeltet kan skrives som den negative [[gradient]]en Δ'''g''' = - '''∇''' Ψ av potensialet : <math> \Psi(\mathbf{r}) = - {GM\over R^3}\left(z^2 - {1\over 2}x^2 - {1\over 2}y^2 \right) = - {GMr^2\over 2R^3}\left(3\cos^2\theta - 1 \right) </math> etter å ha innført [[kulekoordinater|sfæriske koordinater]] ''x'' = ''r'' sin''θ'' cos''φ'', ''y'' = ''r'' sin''θ'' sin''φ'' og ''z'' = ''r'' cos''θ''. Vinkelavhengigheten er gitt ved det andre [[Legendre-polynom]]et ''P''<sub>2</sub>(cos ''θ'') som er karakteristisk for et [[multipolutvikling|kvadrupolmoment]].<ref name = HF> L.N. Hand and J.D. Finch, ''Analytical Mechanics'', Cambridge University Press, England (1998). ISBN 0-521-57572-9.</ref> På Jorden skyldes disse tidekreftene påvirkningen fra [[Månen]] og [[Solen]]. De virker på partiklene i havvannet som holdes på plass av Jordens eget gravitasjonsfelt. Men kombinasjonen av disse to effektene betyr at havnivået ikke er helt konstant, men får ulik høyde på forskjellige steder. Partikler på forbindelseslinjen til den eksterne massen med {{nowrap|''θ'' {{=}} 0<sup>°</sup>}} eller 180<sup>°</sup> blir trukket bort fra Jorden, mens partikler normalt til denne retningen med {{nowrap|''θ'' {{=}} 90<sup>°</sup>}} og eller 270<sup>°</sup> blir trukket inn mot sentrum. Den resulterende høydeforskjellen vil flytte seg med [[jordrotasjon]]en og kalles [[tidevann]]. Den vil ha et maksimum to ganger i døgnet. ==Kontinuerlig massefordeling== [[Fil:MogCampoGrav26.7.jpg|thumb|300px|Potensialet i punktet '''r''' får bidrag fra alle mikroskopiske masser ''dm' '' i punkt '''r' ''' innen den kontinuerlige massefordelingen.]] Med mange masser ''m<sub>i</sub> '' i posisjoner '''r'''<sub>''i''</sub> er gravitasjonspotensialet i et punkt '''r''' gitt som summen av potensialene fra hver enkelt masse, : <math> \Phi(\mathbf{r}) = - \sum_i {Gm_i\over |\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|} </math> Når alle disse enkeltmassene utgjør en kontinuerlig massefordeling med tetthet ''ρ'', kan hver av dem erstattes med den infinitesemale massen {{nowrap|''dm' '' {{=}} ''ρ''('''r'''')''dV' ''}} i volumelementet ''dV' '' som befinner seg i '''r''''. Summen over enkeltmassene kan nå erstattes av en [[integrasjon]] slik at potensialet i et vilkårlig punkt er gitt som : <math> \Phi(\mathbf{r}) = - \int\!d^3x' {G\rho(\mathbf{r'}) \over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math> Denne generelle formelen er også gyldig når punktet '''r''' ligger inni den kontinuerlige massefordelingen.<ref name = Tipler/> En mikroskopisk versjon av samme ligning kan finnes ved å bruke den fundamentale egenskapen : <math> \nabla^2 {1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} = - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) </math> til [[Laplace-operator]]en ∇<sup>2</sup> hvor på høyre side [[Diracs deltafunksjon]] inngår.<ref name = Boas> M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.</ref> Gravitasjonspotensialet i det generelle tilfellet tilfredsstiller derfor [[Poisson-ligning|Poissons ligning]] : <math> \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = 4\pi G \rho(\mathbf{r}) </math> som er Newtons gravitasjonslov på differensiell form. Det er på denne formen den følger fra [[Einsteins feltligning]] i [[generell relativitetsteori]] når denne anvendes i [[klassisk mekanikk|Newtonsk mekanikk]].<ref name = Hartle> J.B. Hartle, ''Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity'', Addison-Wesley, San Francisco (2003). ISBN 0-8053-8662-9.</ref> ===Massiv kule=== [[Fil:GaussSphere.svg|left|thumb|Gravitasjonsfeltet både inni ''r < R '' og utenfor ''r''' > ''R '' en sfærisk symmetrisk massefordeling kan beregnes eksakt og er overalt rettet inn mot kules sentrum.]] Gravitasjonspotensialet innenfor og utenfor en massive kule med konstant tetthet ''ρ'' kan lett finnes fra [[Newtons skallteorem]]. Det er ekvivalent med å løse differensialligningen for gravitasjonspotensialet for denne sfæriske geometrien hvor [[Laplace-operator]]en må uttrykkes i [[kulekoordinater]]. Ligningen som må løses, er derfor : <math> {1\over r^2}{\partial\over\partial r}\Big(r^2{\partial\Phi\over\partial r}\Big) = 4\pi G\rho </math> Utenfor kulen hvor massetettheten ''ρ'' = 0, finner man herav at ''r''<sup> 2</sup>(∂Φ/∂''r'') må være lik en konstant. Kaller man den for ''GM'', varierer derved potensialet utenfor kulen som {{nowrap|Φ {{=}} - ''GM''/''r''}}. Det tilsvarer et potensial fra en punktmasse ''M'' i kulens sentrum som er innholdet av skallteoremet i dette tilfellet. På samme måte finner man at inni kulen i en avstand ''r '' fra dens sentrum at differensialligningen etter en integrasjon forenkles til {{nowrap|∂Φ/∂''r'' {{=}} (4''π G''/3)''ρr''.}} Tettheten er her gitt ved den totale massen som {{nowrap|''ρ'' {{=}} ''M''/(4''πR''<sup>3</sup>/3)}}. Gravitasjonspotensialet i dette området er derfor : <math> \Phi(r) = {2\over 3}\pi\rho G r^2 + \Phi_c </math> hvor integrasjonskonstanten Φ<sub>''c''</sub> må bestemmes ut fra kravet at potensialet nær overflaten av kulen skal gå kontinuerlig over til verdien {{nowrap|Φ(''r {{=}} R'') {{=}} - ''GM''/''R''}} like utenfor denne. Det gir Φ<sub>''c''</sub> = - 2''πρGR''<sup>2</sup> slik at :<math>\Phi(r) = \frac {2}{3} \pi\rho G (r^2 - 3R^2),\qquad r\leq R,</math> i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet fra [[Newtons skallteorem]]. ==Kosmologisk konstant== Poissons ligning for gravitasjonspotensialet er en differensiell formulering av [[Newtons gravitasjonslov]]. Men etter [[Einstein]]s [[generell relativitet|generelle relativitetsteori]] som inneholder en [[kosmologisk konstant]] Λ, vet man at denne vil bli modifisert i den [[generell relativitet#Newtonsk grense|newtonske grensen]].<ref name = RN>H.P. Robertson and T.W. Noolan, ''Relativity and Cosmology'', W.B. Saunders Company, Philadelphia (1968).</ref> Den tilsvarende differensialigningen for gravitasjonspotensialet tar da formen : <math> \nabla^2\Phi(\mathbf{r}) + \Lambda c^2 = 4\pi G\rho(\mathbf{r}) </math> hvor ''c'' er [[lyshastigheten]]. Det betyr at det vil overalt finnes en ekstra tyngdekraft som ikke skyldes tilstedeværelse av masse. Setter man ''ρ'' = 0, finnes det tilsvarende potensialet ved integrasjon å være : <math> \Phi(r) = - {1\over 6}\Lambda c^2\Big(x^2 + y^2 + z^2\Big) = - {1\over 6}\Lambda c^2 r^2 </math> Den kosmologiske konstanten skaper derfor et [[gravitasjonsfelt]] {{nowrap|'''g''' {{=}} - '''∇''' Φ}} = (1/3)Λ''c''<sup>2</sup> '''r'''. Når den er positiv, er dette rettet radielt utover og skyver alle masser i denne retning. Ingen slik frastøtende kraft er blitt påvist ved astronomiske observasjoner innen vårt [[Solsystem]] eller innen [[Melkeveien]]. Men målinger over [[kosmologi|kosmologiske]] avstander har vist at en slik effekt er tilstede. Om denne skyldes Einsteins kosmologiske konstant, en mystisk [[vakuumenergi]] eller ny fysikk, er ennå ikke klart.<ref name = Barbara> B. Ryden, ''Introduction to Cosmology'', Cambridge University Press, England (2016). ISBN 978-1-1071-5483-4.</ref> ==Referanser== <references /> {{Autoritetsdata}} [[Kategori: Gravitasjon]] [[Kategori:Klassisk mekanikk]]
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Maler som brukes på denne siden:
Mal:Autoritetsdata
(
rediger
)
Mal:Nowrap
(
rediger
)
Modul:External links
(
rediger
)
Modul:External links/conf
(
rediger
)
Modul:External links/conf/Autoritetsdata
(
rediger
)
Modul:Genitiv
(
rediger
)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon