Redigerer Gnomonikk

[[Fil:Gnomonische Projektion.png|thumb|400px|Illustrasjon av virkemåten til et [[solur]] der [[Solen]]s gang over  [[himmelhvelving]]en avbildes på et plan ved en [[gnomonisk projeksjon]].  [[Gnomon#Timelinjer og datomarkeringer|Timelinjene]] er rette linjer, mens [[Gnomon#Timelinjer og datomarkeringer|datolinjene]]  er krumme med farger.]]

'''Gnomonikk''' er læren om virkemåten til [[solur]] og danner dermed grunnlaget for deres konstruksjon. Navnet kommer fra [[gnomon]] som er den sentrale delen i alle solur. Den skaper en skygge på en nærliggende flate som dermed virker som en urskive når [[Solen]] beveger seg over [[himmelhvelving]]en. Retningen til skyggen er bestemt av dens [[timevinkel]] slik at den angir [[tid]]en på dagen.

Lengden av skyggen er avhengig av Solens [[Elevasjon|høyde]] over horisonten og derfor av årstiden. I løpet av et [[døgn]] vil gnomonens spiss (''nodus'') tegne en [[kurve]] på urskiven som vil være litt forskjellig fra dag til dag. Slike kurver som generelt er [[kjeglesnitt]], kalles [[Gnomon#Timelinjer og datomarkeringer|datolinjer]] da deres plassering på urskiven prinsipielt kan benyttes til fastsette dato. Hver av disse kurvene er en avbildning av Solens gang langs en sirkel på [[himmelhvelving]]en i løpet av en dag ved en [[sentralperspektiv|sentralprojeksjon]] med sentrum i gnomonens spiss. Her kan den betraktes som sentrum i en himmelsk [[sfære]] slik at datolinjen kan sies å være en [[gnomonisk projeksjon]] av Solens bane. Tilsvarende avbildninger benyttes innen [[kartografi]].

Det første grunnlaget for gnomonikken ble lagt av den greske filosof [[Anaximander]] mer enn fem hundre år før vår tidsregning. På den tiden besto solurene vanligvis bare av en loddrett stav eller [[obelisk]] som kastet en skygge på bakken. Nøyaktig fastsettelse av tiden ble stadig viktigere i århundrene som fulgte. Det førte til konstruksjon av mer presise solur basert på en stadig videreutvikling av gnomonikken etter som Solens bevegelse ble bedre forstått.

==Ekvatoriale solur==
[[Fil:Equatorial sundial topview.gif|left|thumb|300px|Skyggen i et [[Solur#Ekvatoriale solur|ekvatorialt solur]] roterer  hver time med 15&deg; som derfor er avstanden mellom [[Gnomon#Timelinjer og datomarkeringer|timelinjene]].]]

En [[gnomon]] med form som en stav eller stang og retning som er parallel med Jordens rotasjonsakse, danner grunnlaget for de enkleste [[solur]]. Den må være rettet mot [[nord]] og ha en helning mot bakken som er lik med stedets geografiske [[breddegrad]] ''&phi;''. Gnomonen sies da å være ''polrettet''. På [[Nordpolen]] vil den stå vertikalt og peker mot den nordlige [[himmelpol]]en.

Skyggen som en slik gnomon kaster på en flate i nærheten, vil nå kunne utgjøre viseren i et solur. I det enkleste tilfelle er dette et plan som står [[vinkelrett]] på gnomonen. Det er da parallelt med [[himmelekvator]] slik at skyggen på planet vil rotere med samme hastighet som den tilsynelatende bevegelsen til Solen har rundt Jorden. Den tilsvarer 360&deg; i løpet av 24 timer som betyr 15&deg; per time hvis man ser bort fra den lille [[tidsjevning]]en. Dette er derfor omdreiningshastigheten til viseren på et slikt [[Solur#Ekvatoriale solur|ekvatorialt solur]]. Timelinjene er rette linjer med 15&deg; gjensidig avstand.<ref name = Waugh > A.E. Waugh, ''Sundials: Their Theory and Construction'', Dover Publications, New York (1973). ISBN 0-486-22947-5.</ref>

Solens [[elevasjon|høyde]] over himmelekvator er gitt ved dens deklinasjon ''&delta;''. Denne varierer fra +23.5&deg; ved [[sommersolhverv]] til -23.5&deg; ved [[vintersolhverv]]. Den er null ved [[jevndøgn]]ene. 

Når den polrettete gnomonen har lengde ''b'', vil lengden av skyggen

: <math> s = b\cot\delta </math>

være tilnærmet konstant hvert døgn, men langsomt forandre seg fra dag til dag. Den blir veldig stor og lite anvendelig i nærheten av jevndøgnene. I sommerhalvåret med ''&delta;'' > 0 benyttes den ene siden av den ekvatoriale urskiven, mens undersiden må benyttes i vinterhalvåret når ''&delta;'' < 0. Skyggen dannes kun når Solen er over horisonten slik at tidsrommet den fungerer som viser, er avhengig av stedets bredde ''&phi;''. På steder så langt nord at man har midnattsol, kan soluret benyttes døgnet rundt.

==Horisontale solur==

[[Fil:Sonnenuhr Amtzell.jpg|thumb|300px|Horisontalt solur med polrettet gnomon på torget i Amtzell i Tyskland.]]

Skyggen fra en polrettet gnomon kan også dannes på en vannrett urskive. Man har dermed et [[Solur#Horisontale solur med polrettet viser|horisontalt solur]]. Man kan da tenke seg den ekvatoriale urskiven projisert ned på dette horisontale planet. De radielle timelinjene vil dermed igjen opptre som rette linjer, men ha variabel, gjensidig avstand i det horisontale soluret.<ref name = Waugh/>

Da lengden og retningen til skyggen er bestemt av Solens posisjon, er de mest naturlig forklart ved å angi denne ved [[horisontalkoordinater]]  på himmelhvelvingen, De er astronomisk [[asimut]] ''A''  og [[elevasjon|høyde]] ''h'' som begge varierer med [[timevinkel]]en ''H''. For beskrivelse av solur er det mest praktisk å måle asimut fra den lokale [[meridian]]en slik at Solen har {{nowrap|''A'' {{=}} 0&deg;}} midt på dagen når den [[kulminasjon|kulminerer]] i syd. Av samme grunn måles også timevinkelen fra dette tidspunkt. Det betyr for eksempel at {{nowrap|''H'' {{=}} 15&deg;}} tilsvarer kl.13 om ettermiddagen, mens {{nowrap|''H'' {{=}} - 30&deg;}} betyr kl.10 om formiddagen.<ref name = Meeus> J. Meeus, ''Astronomical Algorithms'', William-Bell Inc, Richmond VA (1991). ISBN 0-943396-35-2.</ref>

For et solur på geografisk [[breddegrad|bredde]] ''&phi;'' er disse horisontale koordinatene for Solen gitt ved

: <math> \sin h = \sin\phi\cdot\sin\delta + \cos\phi\cdot\cos\delta\cdot\cos H </math> 
: <math> \sin A\cdot\cos h = \cos\delta\cdot\sin H </math>
: <math>  \cot A\cdot \sin H = \sin\phi\cdot\cos H - \cos\phi\cdot\tan\delta  </math>

når den har timevinkel ''H'' og [[deklinasjon]] ''&delta;''. Midt på dagen når {{nowrap|''H'' {{=}} 0&deg;}}, følger derfor solhøyden fra sin''h''<sub>0</sub> = cos(''&phi;'' - ''&delta;'') som betyr at ''h''<sub>0</sub> =  {{nowrap|90&deg; - ''&phi;'' + ''&delta;''}}. Tilsvarende resultat kan finnes ved midnatt {{nowrap|''H'' {{=}} 180&deg;}} og gir ''h''<sub>180</sub> =  {{nowrap|''&phi;'' + ''&delta;'' - 90&deg;}}. Om sommeren vil denne solhøyden være positiv nord for [[Polarsirkel]]en og betyr [[midnattsol]].

===Timelinjer===

Ved et bestemt tidspunkt gitt ved tiimevinkelen ''H'' vil skyggen av den polrettete gnomonen være en en rett linje som forbinder dens feste i den horisontale urskiven og skyggen av gnomonens spiss eller ''nodus''. Avstanden til dette punktet ''P'' fra den vertikale projeksjonen ''O'' av nodus ville være lengden ''r'' av skyggen til en loddrett plassert gnomon i punktet ''O''. Når solhøyden er ''h'', er denne lengden

: <math> r = a\cot h </math>

der ''a'' er høyden til nodus over den horisontale urskiven. Hvis den polrettete gnomonen har lengde ''b'', er da {{nowrap|''a'' {{=}} ''b'' sin''&phi;''}}.

[[Fil:London dial.svg|left|thumb|300px|Eksempel på et horisontalt solur hvor skyggen dannes av øvre kant til en triangelformet [[gnomon]].]]
For å beregne posisjonen til skyggens endepunkt ''P'' på urskiven, kan man benytte et [[kartesisk koordinatsystem]] med origo i ''O'' med ''y''-akse rett nordover og ''x''-akse mot øst. Da har dette punktet koordinater {{nowrap|''x'' {{=}} ''r'' sin''A''&thinsp;}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''r'' cos''A''}}.  Her kan sin''A''&thinsp; og cos''A''&thinsp; uttrykkes ved timevinkelen ''H'' fra ved de to ligningene i koordinattransformasjonen. Det gir

: <math> x = a{\cos\delta\over\sin h} \sin H, \;\;\; y =  a{\cos\delta\over\sin h}\big(\sin\phi\cdot\cos H - \cos\phi\cdot\tan\delta\big) </math>

Når timevinkelen ''H'' har en viss verdi, er skyggen en rett linje som forbinder dette punktet ''P'' = (''x,y'') med det faste punktet {{nowrap|(0, -''a''&thinsp;cot''&phi;'') på urskiven.}} Ligningen for denne timelinjen kommer frem ved å skrive uttrykket for ''y'' som

:  <math> y = {x\over\sin\phi\cdot\tan H} - {a\over\tan\phi} </math>

Linjen danner derfor en vinkel ''&theta;'' med ''y''-aksen hvor

: <math> \tan\theta = \sin\phi\cdot\tan H </math>

Vinkelen er null midt på dagen, og skyggen peker rett nordover som skyldes at Solen da står i syd. Etter som tiden går og ''H'' øker, vil ''&theta;&thinsp;'' vokse og skyggeviseren dreier seg med klokken. Dette viktige uttrykket for horisontale solur kan utledes på flere andre måter.<ref name = Austin> D. Austin, [https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2011-08 ''The Shadow Knows: How to measure time with a sundial''], American Mathematical Association, August (2011).</ref>

===Deklinasjonslinjer===

[[Fil:Rolduc zw 1.jpg|thumb|300px|Time- og datolinjer tegnet inn på en vertikal urskive.]]
I løpet av en dag beveger skyggen seg over urskiven fra soloppgang der {{nowrap|''h'' {{=}} 0}}, til Solen går ned om kvelden når {{nowrap|''h'' {{=}} 0}} igjen. Skyggen av nodus {{nowrap|''P'' {{=}} (''x,y'')}} beskriver dermed en [[kurve]] på den horisontale urskiven. Dens plassering og form er avhengig av deklinasjonen ''&delta;'' og vil derfor langsomt forandre seg fra dag til dag. Den omtales derfor som en  [[Gnomon#Timelinjer og datomarkeringer|datolinje]] eller ''deklinasjonslinje''.

Disse linjene kan bestemmes ved å eliminere timevinkelen ''H'' fra uttrykkene for koordinatene  til ''P''. Fra ''y&thinsp;'' finnes cos''H'' som innsatt i uttrykket for ''x&thinsp;'' gir sin''H''. Ved å benytte at {{nowrap|sin<sup>&thinsp;2</sup>''H'' + cos<sup>&thinsp;2</sup>''H'' {{=}} 1}}, finnes dermed en sammenheng mellom ''x'' og ''y'' som er ligningen for kurven. Den kan skrives som

: <math> x^2\sin^2\!\delta + y^2(\sin^2\!\delta - \cos^2\!\phi) + 2ay\sin\phi\cdot\cos\phi = a^2(\sin^2\!\phi - \sin^2\!\delta) </math>

og fremstiller i allminnelighet et [[kjeglesnitt]] med hovedakser parallelle med koordinataksene og symmetrisk om ''y''-aksen. Dets eksakte form er hovedsakelig bestemt av koeffisienten til ''y''<sup>&thinsp;2</sup>-leddet. Den er positiv når ''&phi;'' > {{nowrap|90&deg; - ''&delta;''}} slik at deklinasjonslinjen er del av en [[ellipse]]. Soluret må da være plassert nord for [[Polarsirkel]]en. I det spesielle tilfellet at ''&phi;'' = {{nowrap|90&deg; - ''&delta;''}} blir denne spesielle datolinjen del av en [[parabel]].<ref name = Meeus/>

For steder lenger syd er koeffisienten alltid negativ, og deklinasjonslinjene er deler av [[hyperbel|hyperbler]]. Men ved begge [[jevndøgn]]ene der ''&delta;'' = 0&deg;, går disse over til  den rette linjen ''y'' = ''a''&thinsp;tan''&phi;'' parallell med ''x''-aksen. Solen befinner seg da i et plan som står vinkelrett på den polrettete gnomonen. Skyggen av nodus fremstiller en rett linje som beskriver Solens gang disse to spesielle dagene.

==Datolinjer som kjeglesnitt==
[[Fil:Sundial solstice declination lines for different latitudes - slow.gif|thumb|300px|Simulasjon av hvordan deklinasjonslinjene ved [[jevndøgn]]ene og de to [[solhverv]]ene forandrer seg med [[breddegrad]]en.]]

Solens gang rundt polaksen gjør at lysstråler gjennom gnomonens spiss beskriver en [[kjegle]] med toppunkt i dette punktet. Da den har en høyde over [[himmelekvator]] som er lik med deklinasjonen ''&delta;'', vil åpningsvinkelen til kjeglen være 2''&alpha;'' der vinkelen ''&alpha;'' = 90&deg; -  ''&delta;''. Hvis dens toppunkt plasseres i origo og den har sin akse langs [[vektor (matematikk)|enhetsvektoren]] '''n''', er den beskrevet ved ligningen

: <math> (\mathbf{x}\cdot \mathbf{n})^2 = (\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}) \sin^2\!\delta </math>

hvor den [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske]] vektoren '''x''' har komponenter (''x,y,z''). Som tidligere ligger ''y''-aksen i horisontalplanet med retning mot nord, mens ''z''-aksen står vinkelrett på dette planet.

I dette koordinatsystemet har retningsvektoren '''n''' som peker langs langs polaksen, komponentene '''n''' = {{nowrap|(0, cos''&phi;'',sin''&phi;'')}}. Ligningen for kjeglen tar dermed formen

: <math> (y\cos\phi + z\sin\phi)^2 = (x^2 + y^2 + z^2)\sin^2\!\delta </math>

Datolinjene fremkommer nå som skjæringslinjene mellom kjeglen og flaten som dannes av urskiven. Når denne er et horisontalt plan i avstand ''a'' under nodus, er den gitt ved {{nowrap|''z'' {{=}} - ''a''}}. Det gir samme ligning for deklinasjonslinjene som den tidligere metoden. Fordelen med denne mer generelle fremgangsmåten er at den gir disse linjene på en plan urskive med en hvilken som helst orientering. Da polrettete gnomoner ofte monteres på husvegger som også utgjør urskiven, kan den anvendes i slike praktiske tilfeller.<ref name = Austin/> 

Ved de to jevndøgnene degenerer kjeglen til et plan. Datolinjen blir da skjæringslinjen mellom to plan og vil derfor være en rett linje uansett orientering til urskiven.

==Analemmatiske solur==

Horisontale solur med loddrett gnomon har den ulempen at vinkelen som skyggen danner med ''y''-aksen, varierer med årstiden. Man kan unngå dette problemet ved å flytte gnomonen langs denne aksen på en kompenserende måte med årstiden, det vil si med deklinasjonen.

Ved jevndøgnene er ''&delta;'' = 0&deg; slik at spissen til en loddrett gnomon i origo har koordinater ''x'' = {{nowrap|''a''&thinsp;tan''H''/cos''&phi;''}} og ''y'' = {{nowrap|''a''&thinsp;tan''&phi;''}}. Skyggen danner derfor en rett linje fra origo beskrevet ved ligninen

: <math> y = x\sin\phi\cdot\cot H </math>

[[Fil:anal stellingw.jpg|thumb|300px|Analemmatisk solur i [[Hasselt]] i Belgia med markeringer for den bevegelige gnomonen.]]
Flyttes nå gnomonen en avstand ''d'' = ''d''(''&delta;'') langs ''y''-aksen, vil skyggen danne en vinkel med denne retningen som er lik Solens asimut ''A''. Derfor faller skyggen langs linjen {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''&thinsp;cot''A'' + ''d''}}. Ved å benytte ligningen for cot''A'' uttrykt ved timevinkel ''H'' og deklinasjon ''&delta;'', vil disse to skyggelinjene skjære hverandre i et punkt når 

: <math> d = x{\tan\delta\over\sin H}\cos\phi  </math>

Dette kan nå gjøres uavhengig av årstiden ved å la den ukjente avstanden ''d'' variere som

: <math> d = m\tan\delta\cdot\cos\phi </math>

hvor lengden ''m'' er vilkårlig stor. Dermed blir {{nowrap|''x'' {{=}} ''m''&thinsp;sin''H''}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''m''&thinsp;sin''&phi;''&sdot;cos''H''}}. Skjæringspunktet  (''x,y'') ligger derfor på [[ellipse]]n

: <math> x^2 + {y^2\over\sin^2\!\phi} = m^2 </math>

med en hovedakse med lengde ''m'' langs ''x''-aksen og den andre med størrelse  ''m''&thinsp;sin''&phi;'' langs ''y''-aksen i nordlig retning. Den kan betraktes som en vertikal projeksjon av en sirkulær deklinasjonslinje i et fiktivt, ekvatorialt oppstilt solur. Navnet ''analemmatisk'' kan komme av at forskyvningen ''d''(''&delta;'') har en variasjon med årstiden som ligner den i et [[analemma]].<ref name = Rohr> R.R.J. Rohr, ''Sundials: History, Theory, and Practice'', Dover Publications, New York (1996). ISBN 0-486-29139-1.</ref>

Solur av denne typen finnes ofte i parker eller på offentlige plasser. Da er det vanlig å bruke en oppreist person som gnomon. Langs nord-syd retningen i ellipsen finnes det da markeringer som angir hvor hen skal stå avhengig av årstiden. For at skyggen skal nå frem til ellipsen, må ikke hovedaksen ''m'' i øst-vest retning være mye lengre enn et normalt menneske.

==Referanser==
<references/>

==Eksterne lenker==

* Anne Bruvold, [https://www.yumpu.com/no/document/read/38640245/dette-er-et-dokument-som-viser-noe-av-matematikken-bak-solur/1 ''Litt av matematikken bak solur''], Nordnorsk Vitensenter, Tromsø (2005).
* PowerFromTheSun, [http://www.powerfromthesun.net/Book/chapter03/chapter03.html#3.2.1%20Solar%20Altitude,%20Zenith,%20and%20Azimuth%20Angles ''The Sun's Position''], astronomiske betraktninger relevant for solur.
* Plus Magazine, [https://plus.maths.org/content/analemmatic-sundials-how-build-one-and-why-they-work ''Analemmatic sundials: How to build one and why they work''], June (2000).

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Astronomi]]
[[Kategori:Ur]]
[[Kategori:Kartografi]]