Redigerer Geodetisk kurve

[[Fil:Orthodromic air route.tif|thumb|Geodetiske linjer på [[Jordkloden]] er [[storsirkel|storsirkler]].]]
En '''geodetisk kurve''' eller '''geodetisk linje''' er en [[kurve]] som følger den korteste veien mellom to punkt på en [[flate]] eller i et [[rom (matematikk)|rom]]. Det er en utvidelse av begrepet   [[linje|rett linje]] i [[euklidsk geometri]] til tilsvarende linjer i mer generelle [[mangfoldighet]]er. På en kule som Jordens overflate vil en geodetisk kurve være en del av en [[storsirkel]]. Navnet kommer fra det [[gresk]]e ordet for utmåling av Jorden. Den heter der ''gaïa'' og opptrer også i ordet [[geografi]]. 

Beregning av geodetiske kurver er mulig når  [[metrisk rom|metrikken]] eller avstanden mellom forskjellige punkt er kjent. Spesielt viktig er de i [[Riemanns differensialgeometri|riemannsk geometri]] som kuleflaten er et eksempel på. Her er metrikken gitt ved en [[tensor]] som gir avstanden mellom nærliggende punkt. Disse kan så kombineres til å gi avstanden mellom to punkt med vilkårlig avstand. Ved bruk av [[variasjonsregning]] kan herav linjen med den korteste lengden finnes.

I [[Lagrangemekanikk#Geodetisk bevegelse|mekanikken]] vil en partikkel som ikke er påvirket av noen krefter, bevege seg langs en geodetisk kurve. Det er innholdet av [[Newtons bevegelseslover|Newtons første lov]]. Men det gjelder også i [[generell relativitetsteori]] hvor lys og partikler følger slike baner. [[Planet]]ene i sine bevegelser rundt [[Solen]] går i [[Keplers lover|ellipser]] som er geodetiske kurver i det firedimensjonale [[romtid|tidrommet]] krummet av massen til Solen.

==Matematisk definisjon==

En [[kurve]] i et [[koordinatsystem]] ''x'' = (''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ... ) kan beskrives ved å la alle koordinatene variere med en parameter ''&lambda;''. I kompakt notasjon kan den derfor angis som {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''(''&lambda;'')}}. Kurven er geodetisk hvis dens lengde ''L''&thinsp; mellom to punkt som tilsvarer parameterverdiene ''&lambda;''<sub>1</sub>&thinsp; og ''&lambda;''<sub>2</sub>, er minst mulig. Da må den ha den egenskapen at denne lengden kan skrives som

: <math> L(\lambda_1,\lambda_2) = v(\lambda_2 - \lambda_1) </math>

hvor ''v&thinsp;'' er en konstant som tilsvarer en hastighet i mekanikken. Parameteren ''&lambda;'' kan derfor ikke være vilkårlig, men sies å være '''affin'''.  Den har den egenskapen at da vil også ''&lambda;'&thinsp;'' = ''a&lambda; + b&thinsp;'' hvor ''a'' og ''b'' er konstanter, være en affin parameter, men med en annen verdi for konstanten ''v''. Man kan velge å bruke kurvens egen [[buelengde]] ''s&thinsp;'' som parameter, noe som tilsvarer at ''v'' = 1. Dette omtales vanligvis som en «naturlig parametrisering». I klassisk mekanikk er tiden en slik affin parameter, mens i  relativitetsteorien har [[den spesielle relativitetsteorien#Egentid|egentiden]] for en partikkel denne egenskapen.

===Parallellitet===

[[tangent (matematikk)|Tangenten]] til en rett linje i det euklidske rommet forandrer ikke retning langs kurven. For den mer generell kurven {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''(''&lambda;'')}} er tangenten i hvert punkt {{nowrap|'''u''' {{=}} ''d''&thinsp;''x''/''d&lambda;'' {{=}} ''u<sup>&mu;</sup>''&thinsp;'''e'''<sub>''&mu;''</sub>&thinsp;}} hvor komponentene ''u<sup>&mu;</sup> = dx<sup>&mu;</sup>/d&lambda;&thinsp;'' med basisvektorene '''e'''<sub>''&mu;''</sub>. Man kan nå definere den geodetiske linjen i et krumt rom ved å forlange på samme måte at denne vektoren forblir konstant langs kurven, det vil si at  ''d''&thinsp;'''u'''/''d&lambda;'' = 0. Uttrykt ved den [[Krumlinjete koordinater#Kovariant derivasjon|kovariante deriverte]] kan dette kravet omskrives til

: <math> {d\mathbf{u}\over d\lambda} = \boldsymbol{\nabla}_\mathbf{u}\mathbf{u} = \left({du^\mu\over d\lambda} + \Gamma^\mu_{\;\alpha\beta}u^\alpha u^\beta\right)\mathbf{e}_\mu = 0 </math>

hvor &Gamma;''<sup>&mu;</sup><sub>&alpha;&beta;</sub>''&thinsp; utgjør de [[tensor#Tensoranalyse|affine konneksjonskoeffisientene]] for denne parametriseringen. De kan skrives som [[Tensor#Levi-Civita-konneksjonen|Christoffel-symbol]] av det andre slaget som uttrykkes ved de deriverte av de metriske komponentene. Her brukes [[Einsteins summekonvensjon]] hvor man summerer over all like indekser. For at ligningen alltid skal være oppfylt, må innholdet i parentesen være null. Derfor må kurven tilfredsstille kravet

: <math> {d^2x^\mu\over d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\;\alpha\beta}{dx^\alpha\over d\lambda}{dx^\beta\over d\lambda} = 0. </math>

Denne [[differensialligning]]en av andre orden kalles for den '''geodetiske ligningen'''. Men den gjelder for hver koordinatene og gir derfor opphav til like mange ligninger som [[dimensjon]]en til rommet kurven befinner seg i.

==Variasjonsberegning==

I et rom utstyrt med en [[metrisk tensor]] ''g<sub>&mu;&nu;</sub>''(''x'')&thinsp; er avstanden mellom to nærliggende punkt ''x<sup>&mu;</sup>&thinsp;'' og ''x<sup>&mu;</sup>&thinsp;'' + ''d&thinsp;x<sup>&mu;</sup>&thinsp;'' gitt ved linjeelementet

: <math> ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu </math>

Lengden av en kurve {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''(''&lambda;'')&thinsp;}} som forbinder to punkt 1 og 2 er derfor

: <math> L = \int_1^2\!ds = \int_1^2\!d\lambda \sqrt{ g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}  </math>

hvor <math> \dot{x}^\mu = dx^\mu/d\lambda </math>. Den kurven med den minste lengden kan nå beregnes ved bruk av [[variasjonsregning]]. Resultatet vil da være en kurve {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''(''&lambda;'')&thinsp;}}  som er den geodetiske linjen som forbinder disse to gitte punktene.

Beregningen vil være avhengig av hvilke koordinater og hvilken parametrisering man benytter. Dette kan illustreres ved oppgaven å finne en geodetisk linje i det euklidske planet ved bruk av [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] (''r, &theta;''). Linjeelementet er da <math> ds^2 = dr^2 + r^2d\theta^2 </math> slik at variasjonsproblemet blir

: <math> L = \int_1^2\!d\lambda\sqrt{\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2} </math>

Løsningen vil da være gitt ved å finne de to funksjonene ''r'' = ''r''(''&lambda;'')&thinsp; og ''&theta;'' = ''&theta;''(''&lambda;'')&thinsp;som gir den minimale verdien for dette integralet. Men her kan løsningen mer direkte finnes ved å beskrive kurven ved den ene funksjonen ''r = r''(''&theta;'')&thinsp; eller som ''&theta; = &theta;''(''r''). I det siste tilfellet kan ''r&thinsp;'' betraktes som parameter og variasjonsproblemet forenkles til

: <math>  L = \int_1^2\!dr\sqrt{1 + r^2\dot{\theta}^2} </math>

hvor nå <math> \dot{\theta} = d\theta/dr </math>. Kalles integranden for ''F'', vil den tilsvarende  [[variasjonsregning#Euler-Lagrange-ligningen|Euler-Lagrange-ligningen]]

:<math> {\partial F\over\partial\theta} - {d\over dr}\Big( {\partial F\over\partial\dot{\theta}}\Big) = 0 </math>

forenkles til

: <math> {d\over dr} \left({r^2\dot{\theta}\over\sqrt{1 + r^2\dot{\theta}^2}} \right) = 0. </math>

Innholdet i parantesen er derfor en konstant. Kalles denne ''b'', er problemet redusert til ligningen

: <math> {d\theta\over dr} = {b\over r\sqrt{r^2 - b^2}} </math>

Setter man her ''r'' = ''b''/''u'', forenkles denne til

: <math> {d\theta\over du} = - {1\over\sqrt{1 - u^2}} </math>

som ved direkte integrasjon gir løsningen ''&theta;'' = arccos''u'' + ''&theta;''<sub>0</sub>&thinsp; der ''&theta;''<sub>0</sub>&thinsp; er en integrasjonskonstant. Den geodetiske kurven er derfor gitt ved ligningen

: <math> r\cos(\theta - \theta_0) = b </math>

Som ventet beskriver denne en rett linje hvor ''b&thinsp;'' er avstanden fra origo til dens nærmeste punkt som ligger i retning ''&theta;''<sub>0</sub>. Disse to integrasjonskonstantene kan bestemmes ut fra koordinatene til begynnelsespunktet 1 og sluttpunktet 2 til kurven. Akkurat denne beregningen hadde naturligvis vært enklere i et [[kartesisk koordinatsystem]].

===Geodetisk ligning===

For en vilkårlig parametrisering av kurven, må variasjonen av kurvelengden  ''&delta;L'' = 0.  Man kan da innføre «energien» til kurven definert ved <math> E =  (1/2)g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu </math> i analogi med [[kinetisk energi]] for en partikkel  i [[Lagrangemekanikk|mekanikken]]. Den geodetiske linjen har derfor minimal energi. 

Det matematiske problemet kan da omformes til

: <math>\delta L =  \delta\int_1^2\!d\lambda\sqrt{2E} = \int_1^2\!d\lambda {\delta E\over\sqrt{2E}} = 0 </math>

Hvis man nå velger en naturlig parametrisering av kurven slik at ''E'' = 1/2, vil det bety at man bruker dens buelengde ''s'' som parameter. Dermed forenkles variasjonsproblemet til

: <math>\delta E = {1\over 2}\int_1^2\!ds \delta(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu) = 0 </math>

Euler-Lagrange-ligningen <math> \partial E/\partial x^\alpha = (d/ds)\partial E/\partial\dot{x}^\alpha</math> tar da formen

: <math> {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\alpha}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = 2{d\over ds} (g_{\mu\alpha}\dot{x}^\mu) =  2g_{\mu\alpha}\ddot{x}^\mu + 2{\partial g_{\mu\alpha}\over\partial x^\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu =  2g_{\mu\alpha}\ddot{x}^\mu + \Big({\partial g_{\mu\alpha}\over\partial x^\nu} + {\partial g_{\nu\alpha}\over\partial x^\mu} \Big)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu </math>

etter å ha symmetrisert det siste leddet. Det gir den geodetiske ligningen

: <math>  {d^2x^\beta\over ds^2} + \Gamma^\beta_{\;\mu\nu}{dx^\mu\over ds}{dx^\nu\over ds}  = 0 </math>

hvor

: <math> \Gamma^\beta_{\;\mu\nu} = {1\over 2} g^{\beta\alpha} \Big({\partial g_{\mu\alpha}\over\partial x^\nu} + {\partial g_{\nu\alpha}\over\partial x^\mu} - {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\alpha} \Big) </math>

er [[Tensor#Tensoranalyse|Christoffel-symbolet]] av andre sort. Dette er symmetrisk i de to nedre indeksen. Den geodetiske ligningen tar denne formen bare ved en affin parametrisering.

Den geodetiske ligningen er vanligvis vanskelig å løse for en gitt metrikk bortsett fra i det trivielle tilfellet der alle Christoffel-symbolene er null. Da har ligningen rette linjer som løsninger. Men det er også tilfelle i det mer generelle tilfellet at koordinatene er slik valgt at Christoffel-symbolene har formen

: <math> \Gamma^\beta_{\;\mu\nu} = \delta^\beta_\mu a_\nu +  \delta^\beta_\nu a_\mu</math>

for vilkårlige funksjoner ''a<sub>&mu;</sub>''(''x'').  Da gir ligningen at den andrederiverte ''d''<sup>&thinsp;2</sup>''x<sup>&beta;</sup>''/''ds''<sup>&thinsp;2</sup>  er proporsjonal med tangenten ''dx<sup>&beta;</sup>''/''ds'' som betyr at den geodetiske kurven er en rett linje.

==Hyperbolsk plan==

I praktiske anvendelser er det vanligvis ikke nødvendig å bestemme eller kjenne Christoffel-symbolene. De tilsvarende Euler-Lagrange-ligningene gir disse automatisk. Som en illustrasjon kan man beregne de geodetiske kurvene i det [[hyperbolsk geometri|hyperbolske planet]]. Ved bruk av polarkoordinater kan det beskrives ved metrikken 

: <math> ds^2 = dr^2 + \sinh^2\! r\, d\phi^2 </math>

når den radielle koordinaten gjøres dimensjonsløs. En sirkel med sentrum i origo og radius ''r''&thinsp; har derfor omkretsen 2''&pi;''&thinsp;sinh''r''. Forholdet mellom denne og radius er derfor ikke konstant i dette planet, men er alltid større enn 2''&pi;&thinsp;''.

Energifunksjonen for en kurve med affin parametrisering i det hyperbolske plan er nå <math> E = (1/2)(\dot{r}^2 + \sinh^2\! r\,\dot{\phi}^2) </math>. Da den er uavhengig av vinkelen ''&phi;'', er denne en syklisk variabel. Derfor er <math> \partial E/\partial\dot{\phi} = \sinh^2r\dot{\phi} </math> en konstant som man kan kalle ''k''. Euler-Lagrange-ligningen for denne variable gir derfor

: <math> \dot{\phi} = {k\over\sinh^2r}, </math>

mens den radielle variable må oppfylle den mer kompliserte ligningen

: <math> \ddot{r} = \sinh r\cosh r\, \dot{\phi}^2 . </math>

Ved å betrakte denne variable som en funksjon av ''&phi;'', kan man sette

: <math> {d\over ds} = {k\over\sinh^2r}{d\over d\phi} </math>

Den radielle Euler-Lagrange-funksjonen tar da formen

: <math> {d\over d\phi} \left({1\over\sinh^2r}{dr\over d\phi}\right) = \coth r  </math>

Den forenkles ved å innføre ''u'' = coth''r''&thinsp; som fører til

: <math> {d^2u\over d\phi^2} + u = 0 </math>

som er den [[harmonisk oscillator|harmoniske svingeligningen]]. Den generelle løsningen kan skrives som ''u'' = (1/''b'')&thinsp;cos(''&phi; - &phi;''<sub>0</sub>)&thinsp; hvor ''b'' og ''&phi;''<sub>0</sub>&thinsp; er integrasjonskonstanter. En geodetiske linje i det hyperbolske planet vil derfor ha formen

: <math> \tanh r\cos(\phi - \phi_0) = b </math>

i polarkoordinater. Den vil ikke se ut som en rett linje når den blir plottet på et stykke papir bortsett fra for små verdier av ''r''. Samme fenomen er kjent i all [[kartografi]] når en krum flate avbildes på et plan.

===Poincaré-koordinater===

I [[Poincarés modell]] for det hyperbolske planet avbildes det til øvre halvdel av ''xy''&thinsp;-&thinsp;planet med metrikken

: <math> ds^2 = {dx^2 + dy^2\over y^2} </math>

Den tilsvarende energien <math> E = (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)/2y^2 </math> er uavhengig av koordinaten ''x'' slik at <math> \partial E/\partial\dot{x} = \dot{x}/y^2 </math> er lik med en konstant ''k''. Med naturlig parametrisering er {{nowrap|''E'' {{=}} 1/2}} slik at man med en gang får den andre Euler-Lagrange-ligningen på formen

: <math> {dy\over dx} = {1\over ky} \sqrt{1 - k^2y^2} </math>

Etter en direkte integrasjon gir den ligningen 

: <math> (x - a)^2 + y^2 = {1\over k^2} </math>
hvor ''a&thinsp;'' er en integrasjonskonstant, for de geodetiske linjene. Disse består derfor av halvsirkler i det øvre halvplanet med sine sentra på ''x''-aksen.

==Kuleflate==

Mens det hyperbolske planet har [[Differensiell flategeometri#Krumning|gaussisk krumning]] ''K'' = - 1, har kuleflaten krumning ''K'' = 1. Med bruk av [[kulekoordinater]] (''&theta;,&phi;'')&thinsp; er den beskrevet ved linjeelementet

: <math> ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\!\theta\,d\phi^2 </math>

når dens radius settes lik ''r'' = 1. Velger man å beskrive en kurve på denne flaten som ''&phi;'' =  ''&phi;''(''&theta;''), er lengden gitt ved integralet

: <math>  L = \int_1^2\!d\theta\sqrt{1 + \sin^2\theta\dot{\phi}^2} </math>

hvor <math> \dot{\phi} = d\phi/d\theta </math>. Integranden ''F&thinsp;'' er uavhengig av parameteren ''&phi;''&thinsp; slik at  

: <math> \partial F/\partial\dot{\phi} = {\sin^2\theta\dot{\phi}\over\sqrt{1 + \sin^2\theta\dot{\phi}^2}} </math> 

er en konstant ''k&thinsp;'' for en geodetisk linje. Det gir differensialligningen

: <math> {d\phi\over d\theta} = {k/\sin^2\theta\over\sqrt{1 - k^2/\sin^2\theta}} </math>

Ved å innføre den nye variable <math> u = a\cot\theta </math> hvor <math> a = k/\sqrt{1 - k^2} </math>, omformes den til

: <math> {d\phi\over du} = - {1\over\sqrt{1 - u^2}} </math>

med løsningen <math> \phi = \arccos u + \phi_0 </math> hvor <math> \phi_0 </math> er en integrasjonskonstant. Den geodetiske linjen består dermed av punkter som oppfyller 

: <math> a\cot\theta = \cos(\phi - \phi_0) </math>.

Når den uttrykkes ved de omliggende, kartesiske koordinatene <math> x = \sin\theta\cos\phi, y = \sin\theta\sin\phi </math> og <math> z = \cos\theta </math>, tar den formen

: <math> az = x\cos\phi_0 + y\sin\phi_0 </math>

og beskriver et plan gjennom origo hvor kulens sentrum ligger. De geodetiske linjene er derfor storsirkler som fremkommer som skjæringspunktene mellom dette planet og kuleflaten.

Man kan skrive om løsningen til  <math> \tan\theta\cos(\phi - \phi_0) = a </math>. Sammenlignes dette med ligningen for linjene i det hyperbolske planet, har man her tan''&theta;'' i stedet for tanh''r''. På kuleflaten kan radius ''r&thinsp;'' identifiseres med ''&theta;''. Det er typisk at man i [[hyperbolsk geometri]] har resultat som kan fås fra [[sfærisk geometri]] ved å erstatte [[trigonometriske funksjoner]] med de tilsvarende [[hyperbolske funksjoner|hyperbolske funksjonene]].

==Generell relativitetsteori==

I [[Einstein]]s [[generell relativitetsteori|generelle relativitetsteori]] foregår all fri bevegelse langs geodetiske linjer. Metrikken er bestemt ved å løse gravitasjonsligningene hvor masse og energi inngår som kilder. Den mest kjente løsningen av disse ligningene gjelder utenfor en sentral mass ''M''. Med bruk av [[kulekoordinater]] kan denne [[Schwarzschilds løsning|Schwarzschild-metrikken]] skrives som

: <math>ds^2 = c^2\left(1-2GM/rc^2 \right)dt^2  - {dr^2\over1-2GM/rc^2} - r^2d\Omega^2\,</math>

''c&thinsp;'' er lyshastigheten, ''G&thinsp;'' er [[gravitasjonskonstanten]] og den angulære delen er skrevet som <math> d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2</math>. For <math> r = 2GM/c^2 </math> blir første ledd lik null, noe som definerer en «horisont» som karakteriserer egenskaper ved et [[sort hull]]. For mindre verdier av den radielle koordinaten er den geodetiske bevegelse rettet ubønnhørlig mot singulariteteten i ''r'' = 0. Utenfor horisonten i den ikke-relativistiske grensen beskriver den geodetiske ligningen den mer vanlige [[Keplers lover|Kepler-bevegelse]] i form av [[ellipse]]r.<ref name = MTW>  C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, ''Gravitation'', W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0. </ref>

===Rindler-metrikken===
En enklere metrikk i generell relativitetsteori beskriver geometrien utenfor en uendelig stor, plan masse. Denne gir en konstant tyngdeakselerasjon ''g'' rettet vinkelrett på dette planet. Tas denne retningen som ''z''-aksen, er løsningen av gravitasjonsligningene gitt ved Rindler-metrikken<ref name = Rindler> W. Rindler, ''Essential Relativity'', Springer Science, New York (1969). ISBN 978-0-387-90201-0. </ref>

: <math> ds^2 = (c + gz/c)^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 </math>

Første ledd blir her null for ''z'' = - ''c''<sup>2</sup>/''g&thinsp;'' som igjen signaliserer eksistensen av en horisont.

De geodetiske ligningene i ''x-'' og ''y''-retning blir trivielle, noe som viser at de ikke er direkte påvirket av tyngdefeltet. Derimot i ''z''-retning er energien

: <math> E = {1\over 2}\Big(c + gz/c\Big)^2\dot{t}^2 -  {1\over 2}\dot{z}^2.   </math>

Da den er uavhengig av tiden ''t'', er <math> \partial E/\partial\dot{t} = \dot{t}(c + gz/c)^2 = </math> konstant. Den geodetiske ligningen for koordinaten ''z&thinsp;'' kan nå omskrives til

: <math> {d\over dt}\left[\left({1\over 1 + gz/c^2}{dz\over dt}\right)^2\right] = - {g\over 1 + gz/c^2}  </math>

Ved å innføre <math> u = 1/(1 + gz/c^2) </math> som ny variable, tar denne ligningen en enklere form som direkte lar seg integrere. Den generelle løsningen for den geodetiske linjen blir da 

: <math> \Big(1 + {gz\over c^2}\Big)\cosh {g\over c}(t - t_0) = K </math>

hvor <math> t_0 </math> og <math> K </math> er integrasjonskonstanter. De avhenger av grensebetingelsene. Men uansett hvordan disse er, vil en partikkel i dette tyngdefeltet bli drevet mot horisonten {{nowrap|''z'' {{=}} - ''c''<sup>2</sup>/''g&thinsp;''}} når tiden {{nowrap|''t'' &rarr; &infin;}}. På den måten har metrikken visse likheter med et sort hull.

I den ikke-relativistsiske grensen hvor ''t'' - ''t''<sub>0</sub> << ''c''/''g'' forenkles denne løsningen av geodetiske ligningen til

: <math> z = - {1\over 2}gt^2 + v_0t + z_0 </math>

hvor ''v''<sub>0</sub>&thinsp; og ''z''<sub>0</sub>&thinsp; kan uttrykkes ved konstantene ''K&thinsp;'' og ''t''<sub>0</sub>. Dette viser den vanlige [[parabel]]banen som er karakteristisk for [[bevegelsesligning|fritt fall]] i et konstant gravitasjonsfelt.

==Referanser==
<references />

==Litteratur==
* B. O'Neill, ''Elementary Differential Geometry'', Academic Press, New York (1966). ISBN 0-12-088735-5.
* E. Kreyzig, ''Differential Geometry'', Dover Publications, New York (1991). ISBN 0-486-66721-9.

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Differensialgeometri]]
[[Kategori:Matematisk fysikk]]
[[Kategori:Variasjonsregning]]