Redigerer Fluks

[[Fil:Flux density.svg|thumb|280px|Fluks av et [[vektorfelt]] '''F''' gjennom flaten ''d'''''A'''.]]
'''Fluks''' (fra [[latin]] ''flux'': flyt, strømning) er et mål for transport av en størrelse gjennom en tenkt eller virkelig [[flate]]. Begrepet brukes i [[fysikk]] og [[anvendt matematikk]]. Da benyttes ofte den [[gresk alfabet|greske bokstaven]] &Phi; for fluks som er en [[skalar]] størrelse. 

I dagligtale kan man også høre at fluks blir benyttet til å angi hvor mange biler som passerer en bomstasjon i timen, hvor mange mennesker som hvert minutt går inn i en bygning og for andre, lignende situasjoner.

En strømning er karakterisert ved en viss størrelse og en bestemt retning i hvert punkt og beskrives derfor ved et [[vektorfelt]]. Kalles dette '''F''', er fluksen gjennom en liten flate med areal ''dS''

: <math> d\Phi = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} </math>

når man innfører flatevektoren ''d''&thinsp;'''S''' = ''dS''&thinsp;'''n''' hvor [[vektor (matematikk)|enhetsvektoren]] '''n''' står [[vinkelrett]] på flateelementet ''dS''. Er dette en del av en større [[flate]], kan fluksen gjennom hele flaten finnes ved [[integral (matematikk)|integrasjon]]. Når vektorfeltet er konstant, blir fluksen gjennom en flate med areal '''S''' derfor &Phi; = '''F'''&sdot;'''S'''.<ref name="HLL">O. Hunderi, J.R. Lien og G. Løvhøiden, ''Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 2'', Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-82-1500-006-0.</ref>  

Det er naturlig å kalle vektoren '''F''' for '''fluksvektoren'''.  Størrelsen til denne blir noen ganger  upresist omtalt som en fluks.

Begrepet fluks opptrådde først i [[fluiddynamikk]] for å beskrive transport av en viss mengde væske eller dens [[bevegelsesmengde]]. Herfra følger bildet av væskepartikler som flyter langs strømlinjer. Antall slike strømlinjer som passerer en gitt flate, er da et uttrykk for fluksen til væskestrømningen.

Dette bildet fra fluidmekanikken ble benyttet av [[Michael Faraday]] og [[James Clerk Maxwell|James Maxwell]] til å beskrive [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske felt]]
ved deres [[feltlinje]]r. Da disse tilsvarer strømlinjene til en væske, kunne fluksbegrepet på en naturlig måte innføres i [[elektromagnetisme]]n og har der en sentral betydning.

Magnetisk fluks måles i [[weber]] (Wb), mens magnetisk flukstetthet måles i [[tesla]] (T).<ref>{{kilde www
| url=https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf
| tittel=The International System of Units (SI)
| utgiver=Bureau International des Poids et Mesures
| dato=2006
| besøksdato=30. januar 2019
| arkiv-dato=2017-08-14
| arkiv-url=https://web.archive.org/web/20170814094625/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf
| url-status=død
}}</ref>

==Eksempel==

Massestrømmen av en [[væske]] med [[tetthet]] ''&rho;'' og [[kontinuitetsligning#Hastighetsfelt|hastighet]] '''v''' er gitt ved [[vektorfelt]]et {{nowrap|'''J''' {{=}} ''&rho;''&thinsp;'''v'''}}.  Er  {{nowrap|''d''&thinsp;'''S''' {{=}} ''dS''&thinsp;'''n'''&thinsp;}} et lite flateelement med retning '''n''' som danner vinkelen ''&theta;'' med '''J''', er det bare komponenten {{nowrap|''J''&thinsp;cos''&theta;''}} av denne som står [[vinkelrett]] på flateelementet, som vil strømme gjennom dette. Det tilsvarer fluksen {{nowrap|''d''&thinsp;&Phi; {{=}}  ''J''&thinsp;cos''&theta;dS'' {{=}} '''J'''&sdot;''d''&thinsp;'''S'''&thinsp;}} når man innfører [[skalarprodukt]]et mellom to vektorer.<ref name="Falkovich"> G. Falkovich, ''Fluid Mechanics: A Short Course for Physicists'', Cambridge University Press, New York (2011). ISBN 978-1-107-00575-4.</ref>

[[Fil:Flux diagram.png|right|thumb|240px|Slik kan fluks visualiseres. De røde pilene står for [[vektorfelt]]et som beskriver strømningen. Antallet piler som passerer gjennom en ring, er fluksen gjennom flaten som ringen omslutter.]]

Når dette flateelementet er en liten del av en større flate, er den totale fluksen gjennom flaten gitt ved [[integral (matematikk)|integralet]]

: <math> \Phi = \int_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} </math>

Størrelsen til fluksen sier i dette tilfellet hvor mye masse per tidsenhet som strømmer gjennom flaten. Det kommer også frem fra dens [[måleenhet]] i [[SI-systemet]] som blir

: <math> [\Phi] = {\text{kg}\over\text{m}^3}\cdot {\text{m}\over\text{s}}\cdot\text{m}^2 = {\text{kg}\over\text{s}}</math>

Under stasjonære forhold vil like mye masse strømme inn gjennom lukket flate som ut av denne, noe som matematisk tilsvarer at

: <math> \Phi = 0 = \oint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} </math>

Man tenker seg da en fast flate som delvis består av en fysisk flate som holder væsken på plass pluss tenkte deler som væsken gjennomstrømmer som sies å være åpne.  Den totale fluksen gjennom hele flaten er null og er et uttrykk for [[kontinuitetsligning]]en i [[hydrodynamikk]]. Hvis flaten inneholder to åpne deler ''S''<sub>1</sub> og ''S''<sub>2</sub> hvor strømmen har verdiene '''J'''<sub>1</sub>  og '''J'''<sub>2</sub>,  har man derfor

: <math> \rho_1\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{S}_1 +  \rho_2\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{S}_2 = 0 </math>

I det enkleste tilfelle hvor de to delflatene står vinkelrett på hastighetsfeltet '''v''' og dette er konstant over flatene, forenkles denne massebevarelsen til betingelsen ''&rho;''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub>''S''<sub>1</sub> = ''&rho;''<sub>2</sub>''v''<sub>2</sub>''S''<sub>2</sub>. Dette er det enkleste uttrykk for at fluksen inn i volumet er lik fluksen ut av det under stasjonære forhold. Vanligvis er tettheten ''&rho;'' konstant, noe som betyr at strømningshastigheten er størst gjennom den flaten som er minst.

===Elektrisk felt===

Et [[elektrisk felt]] '''E''' skapes av [[elektrisk ladning|elektriske ladninger]]. Det kan også beskrives ved [[Elektrisk felt#Elektrisk polarisasjon|forskyvningsfeltet]] '''D''' = ''&epsilon;''&thinsp;'''E''' hvor ''&epsilon;'' er [[permittivitet]]en til materialet feltene befinner seg i. Begge disse vektorfeltene kan benyttes til å definere en '''elektrisk fluks'''. Benytter man '''D'''-feltet og betrakter en flate ''S'' i dette feltet, er denne definert ved integralet

: <math> \Phi_D = \int_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} </math>

[[Fil:Surface normal.png|left|thumb|300px|Fluksen gjennom den grønne flaten er gitt ved størrelsen av fluksvektoren langs [[Flate#Normalvektor|flatenormalene]] '''n''' som her er angitt ved piler.]]
I [[SI-systemet]] måles forskyvningsfeltet '''D''' i enheter av [[Coulomb|C]]/m<sup>2</sup>, slik at den elektriske fluksen har samme [[måleenhet]] som elektrisk ladning, {{nowrap|1C {{=}} 1A&sdot;s}}. Dette kommer tydelig frem ved å betrakte en lukket flate. [[Gauss' lov]] sier da at fluksen gjennom en slik flate er den totale ladningen ''Q'' innenfor flaten. Det tilsvarer sammenhengen

: <math> \Phi_D = \oint_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = Q </math>

Ved bruk av [[divergensteoremet]] kan dette skrives som

: <math>  \oint_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} =  \int\!d^3x\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{D} = Q </math>

I denne sammenhengen omtales den lukkete flaten vanligvis som en '''Gauss-flate''' som i mange sammenhenger gjør det mulig å benytte den elektriske fluksen til å løse praktiske problem innen [[elektrostatikk]]en.<ref name = HLL/>

Da  totalladningen ''Q'' også kan skrives som et integral over det samme volumet innesluttet av ''S'' med ladningstetthet ''&rho;'' må man ha den fundamentale sammenhengen

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{D} = \rho </math>

Dette er [[Gauss' lov]] på differensiell form og omtales også som [[Maxwells ligninger|Maxwells første ligning]]. Den er gyldig også når det elektriske feltet varierer med tiden, men den tilsvarende fluksen har ikke da samme anvendbarhet.<ref name="Griffiths"> D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.</ref>

===Magnetisk felt===
[[Fil:Magnetic flux.png|thumb|right|300px|Fluksen gjennom flaten er et mål for antall [[feltlinje]]r som går gjennom den.]]
Magnetisk fluks er gitt ved det [[magnetfelt|magnetiske feltet]] '''B'''. For en flate ''S'' er den definert som

: <math> \Phi_B = \int_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} </math>

slik at '''B''' også ofte kalles for '''det magnetiske fluksfeltet'''.  Mens dette feltet måles i enheter av [[Tesla]] (T), er enheten for den tilsvarende fluksen [[Weber]] (Wb) slik at 1&thinsp;T = 1&thinsp;Wb/m<sup>2</sup>.

Uttrykkes dette ved [[Magnetfelt#Vektorpotensialet|vektorpotensialet]] som '''B''' = '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A''', kan man ved hjelp av [[Stokes' teorem]] alternativt skrive fluksen som

: <math> \Phi_B = \oint_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{s} </math>

hvor ''C'' = &part;''S'' er randen til flaten ''S'' og ''d'''''s''' er et differensielt linjeelement langs denne [[kurve]]n.<ref name = Griffiths/>

I motsetning til den elektriske fluksen, er den magnetiske fluksen gjennom en lukket flate alltid null. Dette er innholdet av [[Maxwells ligninger|Maxwells andre ligning]] som derfor kan skrives som '''&nabla;'''&sdot;'''B''' = 0. Ligningen tilsvarer at det ikke finnes virkelige, [[magnetisk monopol|magnetiske ladninger]]. Da [[feltlinje]]r alltid må starte og ende på tilsvarende ladninger, betyr det at disse for '''B'''-feltet alltid må være lukkete kurver.

Denne fluksen har en sentral plass i [[elektromagnetisme|elektromagnetisk teori]] og likså for magnetfelt som varierer med tiden. Det er spesielt tydelig i [[Faradays induksjonslov]] hvor den [[derivasjon|tidsderiverte]] av fluksen gir den induserte, elektromotoriske spenningen,

:<math> \mathcal{E} = - {d\Phi_B \over dt} </math>

På differensiell form er dette [[Maxwells ligninger|Maxwells tredje ligning]] som danner grunnlaget for alle [[elektrisk motor|elektriske motorer]] og [[generator]]er.

En lukket strømsløyfe som fører en konstant strøm ''I'' og befinner seg i et ytre magnetfelt, har en [[Magnetfelt#Magnetisk energi|vekselvirkningsenergi]] som er gitt ved

: <math> V = - I\Phi_B </math>

hvor &Phi;<sub>''B''</sub>&thinsp; er den magnetiske fluksen gjennom sløyfen. Hele energien til dette systemet vil også inkludere energien til feltet.<ref> R.P. Feynman, [http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_14.html ''The Feynman Lectures on Physics''], Vol II, Caltech, Pasadena (2013).</ref> 

Hvis arealet '''S''' til sløyfen er så lite at feltet gjennom den kan anses som konstant, blir fluksen {{nowrap|&Phi;<sub>''B''</sub> {{=}} '''B'''&sdot;'''S'''}}. Men nå er {{nowrap|'''m''' {{=}} ''I''&thinsp;'''S'''}} det [[magnetisk moment|magnetiske momentet]] til sløyfen som dermed kan beskrives som en [[dipol]] med energien

: <math> V = - \mathbf{m}\cdot\mathbf{B} </math>

i det ytre magnetfeltet. Likevektsstillingen inntrer der denne energien er minimal som tilsvarer at  dipolen har samme retning som '''B'''-feltet og fluksen gjennom den er maksimal.

Magnetiske flukser kan ikke uten videre trenge inn i [[superleder]]e. [[Kvantemekanikk]]en sier da at denne fluksen kun kan opptre med diskrete verdier som alle er et multiplum av et mindre, fundamentalt '''flukskvantum'''. Dette fenomenet kalles [[flukskvantisering]] og er eksperimentelt påvist.<ref name="QMGriffiths"> D. J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

==Andre flukser==

Kanskje den mest kjente fluksen i fysikk er [[elektrisk strøm]]. Den er definert ved en fluksvektor som er [[elektrisk strøm#Strømtetthet og Ohms lov|strømtettheten]] '''J''' som har måleenhet A/m<sup>2</sup>. Strømmen gjennom en flate '''S''' er da

: <math> I = \int_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} </math>

som måles i enheter av [[ampere|A]] = [[Coulomb|C]]/s. For enhver transportprosess med strømningsvektor '''F''' kan det defineres en tilsvarende fluks gjennom en gitt flate. Dette behøver ikke være materiell transport, men kan for eksempel også gjelde transport av [[energi]]. Det kan være [[varmeledning]] eller transport av [[elektromagnetisk felt#Poyntings teorem|elektromagnetisk strålingsenergi]] gitt ved [[Poyntings vektor]] '''E'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H'''.

I [[kvantemekanikk]]en opptrer også flukser i forbindelse med strøm av sannsynlighetsamplituder eller [[Schrödinger-ligning|bølgefunksjoner]]. En slik kvantemekansik fluks er da et mål for synnsynligheten for at en partikkel skal passere den gitte flaten.<ref name = QMGriffiths> D. J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

== Referanser ==
<references/>

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Fluiddynamikk]]
[[Kategori:Elektromagnetisme]]

[[fi:Sähkövuo]]