Redigerer Feltlinje

[[Fil:Camposcargas.PNG|thumb|Elektriske feltlinjer fra to ladninger som til venstre er like store og positive, mens til høyre er de like store og med motsatt fortegn.]]
En '''feltlinje''' er en [[kurve]] som på hvert sted har en [[tangent (matematikk)|tangent]] som er parallell med et gitt [[vektorfelt]]. Innen [[matematikk]] omtales de som '''integralkurver''' for vektorfeltet. I [[fysikk]]en blir feltlinjer benyttet for å illustrere [[elektrisk felt|elektriske]] og [[magnetisk felt|magnetiske felt]] og for å beskrive strømning av væskepartikler i [[hydrodynamikk]]en. De kalles da for '''strømlinjer''' eller '''flytlinjer'''. Gjennom hvert punkt går det kun en slik linje. Desto tettere feltlinjene ligger, desto sterkere er feltstyrken.

==Matematisk definisjon==

Et [[vektorfelt]] '''v''' = '''v'''('''x''')&thinsp; tilordner en vektor '''v'''&thinsp; med komponenter ''v<sub>k</sub>'' =  ''v<sub>k</sub>''('''x''')&thinsp; til hvert punkt '''x''' i et gitt [[rom (matematikk)|rom]]. En [[kurve]] '''x''' = '''x'''(''s'')&thinsp; med affin parameter ''s'' i dette rommet har tangentvektorer {{nowrap|'''t''' {{=}} ''d''&thinsp;'''x'''/''ds''}} i hvert punkt. Denne kurven beskriver da en feltlinje eller integralkurve hvis

: <math> {d\mathbf{x}\over ds} = \mathbf{v}(\mathbf{x}) </math>

I et tredimensjonalt, [[euklidsk rom]] gir dette tre førsteordens [[differensialligning]]er.<ref name = TL3>R. Tambs Lyche, ''Matematisk Analyse'', Bind III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1959).</ref>  De kan sammenfattes på formen

: <math> {dx\over v_x} =  {dy\over v_y} =  {dz\over v_z}  </math>

Disse ligningene kan noen tilfeller løses eksakt, men man kan alltid finne de resulterende feltlinjene med den ønskete nøyaktighet ved bruk av [[numerisk analyse|numerisk integrasjon]].

Brukes feltlinjene i forbindelse med strømning av en [[fluid|væske]], sier man ofte at de beskriver en «flyt» eller en «fluks» av partikler. Denne betegnelsen tas også noen ganger over til [[elektromagnetisme]]n hvor man snakker om strømning eller flyt av [[elektrisk felt#Elektrisk fluks|elektrisk]] og [[magnetisk felt|magnetisk fluks]].

===Kildefritt felt===
[[Divergens]]en '''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''v'''&thinsp; til vektorfeltet sier hvor mye som strømmer ut av et tilstrekkelig lite volum som man tenker seg et eller annet sted i feltet. Er denne positiv, strømmer det mer ut enn kommer inn. Vektorfeltet sies da å innholde en '''kilde''' som ligger innenfor volumet. I det motsatte tilfellet med en negativ divergens, ligger det en '''sluk''' inni volumet. Feltlinjer starter i en kilde og ender i en sluk. I det spesielle tilfellet at {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;'''v''' {{=}} 0&thinsp;}} strømmer det like mye ut som inn i volumet. Er dette tilfelle overalt i rommet, sier man at man har en «kildefri flyt». Feltlinjene er da lukkete kurver.

Det magnetiske fluksfeltet '''B'''&thinsp; er overalt kildefritt. Dette skyldes at det ikke finnes [[magnetisk monopol|magnetiske monopoler]] og derfor heller ikke mulige kilder eller sluker for dette feltet. Beskriver feltet '''v'''&thinsp; hastighetsfeltet i [[fluiddynamikk]], sier man at betingelsen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;'''v''' {{=}} 0&thinsp;}} gjelder for en '''inkompressibel''' væske. Den har konstant tetthet.<ref name="Tritton">D.J. Tritton, ''Physical Fluid Dynamics'', Van Nostrand Reinhold Company, New York (1977). ISBN 0-442-30132-4.</ref>

===Virvelfritt felt===
[[Fil:Feldlinien und Äquipotentiallinien.png|thumb|300px|Elektriske feltlinjer (svarte) og ekvipotensialflater (røde) rundt to ladninger med samme fortegn.]]
Hvis man på tilsvarende måte plasseres et tilstrekkelig lite [[vannmølle|møllehjul]] i hvert punkt i en slik væskestrøm, vil rotasjonen av dette hjulet være gitt ved [[curl]] til vektorfeltet {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''v'''}}. Er denne null overalt, sies flyten å være «virvelfri». Da kan hastighetsfeltet skrives som [[gradient]]en av et «hastighetspotensial», det vil si {{nowrap|'''v''' {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;''&Phi;''('''x''')&thinsp;}} slik at curl til hastigheten automatisk blir null.

Punkter i rommet med samme potensial, er [[ekvipotensialflate]]r og er definert ved {{nowrap|''&Phi;''('''x''') {{=}} konstant}}. Fra definisjonen står hastighetsvektorene normalt på disse [[flate]]ne. Flytlinjene skjærer derfor ekvipotensialflatene [[vinkelrett]].

I [[mekanikk]]en er en [[potensiell energi#Konservative krefter|konservativ kraft]] '''F'''&thinsp; definert ved at {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''F''' {{=}} 0}}. Den er derfor virvelfri og er gitt som gradienten til et potensial som i dette tilfellet er den [[potensiell energi|potensielle energien]]. I [[elektrostatikk]]en er det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] virvelfritt og er gitt ved det elektriske potensialet som '''E''' = - '''&nabla;'''&thinsp;''V''. De elektriske feltlinjene skjærer derfor alle ekvipotensialflatene under en [[rett vinkel]].

[[Helmholtz' teorem]] sier at et vilkårlig vektorfelt i tre dimensjoner kan splittes opp i en del som er kildefri og en del som er virvelfri.<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805325-X.</ref>

==Eksempler==
[[Fil:VFPt plus thumb.svg|thumb|220px|Elektrisk feltlinjer fra en positiv punktladning.]]
Det enkleste eksemplet på beregning av feltlinjer kommer fra [[Coulombs lov|Coulomb-feltet]] for en punktladning ''Q&thinsp;'' som kan skrives som

: <math> \mathbf{E}( \mathbf{r})  = {Q\over  4\pi\varepsilon_0 r^3}\mathbf{r}  </math>

hvor posisjonsvektoren '''r''' = (''x,y,z'')&thinsp; når ladningen ligger i origo. Feltvektorene er rettet i radiell retning. Hvis man betrakter dem i  ''xy'' - planet, oppfyller komponentene relasjonen ''E<sub>x</sub>''&thinsp;/''E<sub>y</sub>'' = ''x/y''&thinsp; slik at differensialligningen for feltlinjene der blir {{nowrap|''dx/x {{=}} dy/y''}}. Direkte integrasjon gir {{nowrap|ln&thinsp;''x'' {{=}} ln&thinsp;''y''}} = konstant. Det betyr at løsningen kan skrives som ''y = kx&thinsp;'' hvor ''k&thinsp;'' er en annen konstant. Feltlinjene er derfor rette linjer ut fra origo. Det er på denne måten Coulomb-feltet vanligvis blir illustrert.

Hvis man i stedet tenker seg et annet felt som har samme størrelse, men hvor for eksempel ''x'' - komponenten har motsatt fortegn, vil differensialligningen i  ''xy'' - planet forandres til {{nowrap|''dx/x {{=}}  - dy/y''}}. Den har løsningene {{nowrap|''y {{=}} c/x&thinsp;''}} hvor ''c&thinsp;'' nå er integrasjonskonstanten. I dette tilfellet er derfor feltlinjene [[hyperbel|hyperbler]] med ''x-'' og ''y''-aksene som asymptoter.

===Magnetisk felt===
[[Fil:Gerader leiter.svg|thumb|220px|Magnetiske feltlinjer rundt en rett strømledning.]]
Det [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] er alltid kildefritt. Et enkelt eksempel er feltet fra en uendelig lang og rett ledning som fører en strøm ''I''. Ligger den langs ''z''-aksen, er feltet gitt fra [[Biot-Savarts lov]] som

: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) = {\mu_0 I\over 2\pi r^2} \mathbf{k} \times\mathbf{r} </math>

hvor '''k'''&thinsp; er en enhetsvektor langs ''z''-aksen.<ref name = Griffiths/>  Ved derivasjon finner man da som forventet at {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;'''B''' {{=}} 0}}. Feltlinjene er derfor lukkete kurver.

I ''xy'' - planet er forholdet mellom feltkomponentene  {{nowrap|''B<sub>x</sub>''&thinsp;/''B<sub>y</sub>'' {{=}} -''y/x''}}. Herav følger differensialligningen for feltlinjene  {{nowrap|''xdx'' {{=}} -''ydy''}}. Ved direkte integrasjon gir  den {{nowrap|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> {{=}} ''R''<sup>2</sup>&thinsp;}} hvor ''R&thinsp;'' igjen er en integrasjonskonstant. Feltlinjene er derfor sirkler med sentrum på ''z''-aksen.

Magnetfeltet kan ikke skrives som gradienten av et skalart potensial slik som det elektriske feltet kan. Derfor kan man heller ikke uten videre tenke seg potensialflater for dette vektorfeltet. Derimot er feltet gitt som curl av et [[magnetisk felt#Magnetisk vektorpotensial|magnetisk vektorpotensial]]. Kalles dette for '''A''', kan man da alltid skrive at {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;&thinsp;'''&times;&thinsp;'''A'''}}. Det gjelder også når feltene varierer med tiden.

==Todimensjonal potensialstrømning==

Beregning av feltlinjer i todimensjonale systemer er matematisk interessant med mange praktiske anvendelser. Spesielt gjelder det når vektorfeltet er virvelfritt slik at det kan utledes fra et potensial. I [[hydrodynamikk]]en kalles dette ofte for ''&phi;''&thinsp; slik at hastighetsfeltet kan skrives som {{nowrap|'''v''' {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;''&phi;}}.
Komponentene er derfor gitt som

: <math> v_x = {\partial\phi\over\partial x}, \;\;\; v_y = {\partial\phi\over\partial y} </math>

Hvis vektorfeltet i tillegg beskriver en inkompressibel væske, sier man at man har en '''potensialstrømning'''. Denne ekstra betingelsen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;'''v''' {{=}} 0&thinsp;}} betyr da at hastighetspotensialet tilfredsstiller  den todimensjonale [[Laplace-operator|Laplace-ligningen]] 
: <math>  {\partial^2\phi\over\partial x^2} + {\partial^2\phi\over\partial y^2} = 0 </math>

Løsningen er derfor en [[harmonisk funksjon]].

===Strømningspotensial===
[[Fil:Inviscid flow around a cylinder.gif|thumb|300px|Flyt rundt en fast sylinder er et eksempel på todimensjonal potensialstrømning.]]
Feltlinjene kan finnes ved å innføre et '''strømningspotensial''' ''&psi;''(''x,y'') (også kjent som en '''strømfunksjon''' når man snakker om vilkårlige kildefrie felt som ikke nødvendigvis er virvelfrie) definert slik at

: <math> v_x = {\partial\psi\over\partial y}, \;\;\; v_y =  - {\partial\psi\over\partial x} </math>

På den måten blir betingelsen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;'''v''' {{=}} 0&thinsp;}} automatisk oppfylt, ettersom den partiellderiverte av en funksjon ''ψ'' med hensyn på y og deretter x, er den samme som den partiellderiverte med hensyn på x og deretter y. Altså ser vi hvorfor kildefrihet er en nødvendig betingelse for at vi skal kunne lykkes med å finne en slik ''ψ .''

Langs en bestemt strømlinje ''y'' = ''y''(''x'')&thinsp; gjelder da

: <math> {d\psi\over dx} = {\partial\psi\over\partial x} + {\partial\psi\over\partial y}{dy\over dx} = - v_y + v_x{dy\over dx} = 0 </math>

som følger fra den generelle definisjonen av feltlinjer. Dette betyr at de finnes fra strømningspotensialet ved ligningen {{nowrap|''&psi;''(''x,y'') {{=}} ''C''&thinsp;}} for hver verdi av konstanten ''C''.<ref name = Tritton/>

Fra definisjonen av dette nye potensialet ser man at det er relatert til det vanlige hastighetspotensialet ved [[Cauchy-Riemanns ligninger]],

: <math>  {\partial\psi\over\partial y} = {\partial\phi\over\partial x}, \;\;\;  {\partial\psi\over\partial x} = - {\partial\phi\over\partial y}  </math>

Strømningspotensialet oppfyller derfor også Laplace-ligningen. I tillegg betyr det også at begge potensialene inngår i et [[komplekst tall|komplekst]] potensial

: <math> f(z) = \phi(x,y) + i\psi(x,y) </math>

som er en [[funksjon (matematikk)|funksjon]] av den ene variable ''z'' = ''x'' + ''iy''&thinsp; hvor ''i'' = &radic;-1&thinsp; er den [[imaginær enhet|imaginære enhet]]. Det er denne sammenhengen med komplekse funksjoner som gjør potensialstrømning i to dimensjoner så matematisk interessant og som også tillater mer direkte beregninger av de tilsvarende feltlinjene.<ref name="CB">R.V. Churchill and J.W. Brown, ''Complex Variables and Applications'',  McGraw-Hill Inc, New York (1990). ISBN 0-070-10905-2.</ref>

===Eksempel===

Mer kompliserte strømningsforløp i to dimensjoner kan bygges ven kombinasjon av strømninger fra enkle kilder og sluk som for elektromagnetiske felt.
Da beskriver det komplekse potensialet

: <math> f(z) = {K\over 2\pi}\ln z </math>

hvor ''K&thinsp;'' er en reell konstant, en enkelt punktkilde i origo.<ref name = CB/> Dette kommer tydeligere frem ved bruk av [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] {{nowrap|(''r,&theta;'')}}. Da er {{nowrap|''x {{=}} r''&thinsp;cos''&theta;''&thinsp;}} og {{nowrap|''y {{=}} r''&thinsp;sin''&theta;''&thinsp;}} slik at {{nowrap|''z'' {{=}} ''r&thinsp;e''<sup>&thinsp;''i&theta;''</sup>}}. Hastighetspotensialet er derfor

: <math>  \phi = {K\over 2\pi}\ln r </math>

på samme måte som Coulomb-potensialet i to dimensjoner. Ekvipotensiallinjene er sirkler om origo slik at strømningen er rettet i radiell retning. Hastigheten i denne retningen {{nowrap|''v<sub>r</sub>'' {{=}} &part;''&phi;''/&part;''r''&thinsp;}} avtar som 1/''r&thinsp;'' i analogi med det elektriske feltet utenfor en [[elektrisk felt#Linjeladning|linjeladning]].

På samme måte ser man at strømningspotensialet for denne punktkilden er

: <math>  \psi = {K\over 2\pi}\theta </math>

De tilsvarende feltlinjene er derfor gitt ved ''&theta;'' = konstant. Som forventet er de rette linjer ut fra origo med en konstant verdi for den polare vinkelen.

==Se også==
* [[Gradient]]
* [[Ekvipotensialflate]]

== Referanser ==
<references/>

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematisk analyse]]
[[Kategori:Fluiddynamikk]]
[[Kategori:Elektromagnetisme]]