Redigerer Euklids Elementer

[[Fil:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|miniatyr|upright|Forsiden til den første engelske utgaven av Euklids ''Elementer'', utgitt av Henry Billingsley i 1570.]]
'''''Elementer''''' ([[gresk]]: ''Στοιχεῖα'', ''Stoikheia'') er et læreverk i [[matematikk]] skrevet av grekeren [[Euklid]] omkring 300 f.Kr. Euklid ledet en skole i [[Alexandria]], anagelig tilknyttet [[biblioteket i Alexandria]]. De 13 bøkene i verket er en grunnleggende innføring i [[geometri]], både plan- og romgeometri, samt [[tallteori]].

Den systematiske oppbyggingen av læreverket, med bruk av [[aksiom|postulater]], [[definisjon]]er, [[teorem|setninger]] og [[Matematisk bevis|bevis]], har hatt svært stor betydning for all senere matematikk.
''Elementer'' er blitt karakterisert som «den største og mest betydningsfulle lærebok i matematikk som er skrevet»<ref name=TH358>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.358</ref>
og som «den mest innflytelsesrike lærebok gjennom tidene»<ref name=CB131>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.131</ref>.
Verket og kommentarverk er gitt ut på en lang rekke språk over hele verden.  I den vestlige verden er det antagelig bare Bibelen som har blitt distribuert videre og studert nøyere.<ref name=TH358/>

''Elementer'' ble bevart i fragmenter på originalspråket og i arabiske oversettelser.  I europeisk kultur ble verket gjenintrodusert i middelalderen, ved oversettelse fra arabisk til latin.
Oversettelsene fikk stor betydning for revitaliseringen av matematikk i middelalderen. Verket fikk også betydning for utvikling av [[logikk]] og [[filosofi]].  
Gjennom de følgende århundrene er verket blitt spredd i et utall oversettelser og bearbeidelser. På 1800-tallet førte studiet av ''Elementer'' til en fornying av det aksiomatiske grunnlaget for geometri.  
Det ble også oppdaget at det er mulig å definere flere alternative geometrier.

== Euklid ==
[[Fil:Euklid2.jpg|thumb|Euklid malt av [[Justus van Gent]], omkring 1474.  Tittelen i bildet reflekterer en vanlig navneforveksling med filosofen [[Euklid fra Megara]].]]
{{Utdypende|Euklid}}
På tross av den store betydningen til ''Elementer'' er svært lite kjent om Euklid.  Mesteparten av kunnskapen kommer fra ''Det eudemiske sammendraget'' til [[Proklos]], skrevet over 700 år etter at Euklid levde.
Sammendraget er basert på et eldre verk, ''Geometriens historie'' av [[Evdemos fra Rhodos|Eudemos]], et verk som er gått tapt.  Proklos er ikke kjent med nøyaktige leveår for Euklid, men relaterer ham i tid til andre kjente greske personer.  Ut fra dette er det anslått at Euklid levde omkring 300 f.Kr., kanskje fra omkring 325 f.Kr. til ca. 265 f.Kr.<ref name=AH259>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.259ff</ref><ref name=MT>{{kilde www| url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/ |tittel=Euclid of Alexandria |utgiver=MacTutor |besøksdato=2021-04-16}}</ref>

Proklos framstiller Euklid som [[platonisme|platoniker]], og Euklid har antagelig fått opplæring av elever av [[Platon]] i Athen.  Platon la stor vekt på [[hypotese]]r og definisjoner.<ref name=TH292>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.292</ref> ''Elementer'' er imidlertid ikke påvirket av den metafysiske tenkningen til Platon, som betraktet geometriske former som fundamentale byggesteiner i universet. Verket er mer preget av logikk-læren til [[Aristoteles]].<ref>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=1959| tittel=The history of the calculus and its conceptual development| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=45-46| isbn=0-486-60509-4 }}</ref>

Fra [[Pappos fra Alexandria|Pappos]] er det kjent at Euklid virket i Alexandria og dannet en skole i matematikk der.  Euklid var kjent som en god pedagog, men han er ikke selv blitt tillagt ''nye'' matematiske resultater.<ref name=CB115>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.115</ref>
Euklid store bidrag er at han har samlet materiale, systematisert det og gitt det en helhetlig form. Proklos skriver i ''Det eudemiske sammendraget'' at «... Euklid, som satte sammen ''Elementer'', samlet mange av teoremene
til Eudoksos, perfeksjonerte resultatene til Teaetetos og viste også på en ugjendrivelig måte resultater som forgjengere bare hadde vært vist løselig».<ref name=TH354>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.354</ref>
[[Evdoksos fra Knidos|Eudoksos]] har fått æren for teorien om forholdstall, som er gjengitt i ''Elementer'' bind V.  [[Teaetetos (matematiker)|Teaetetos]] er tillagt materialet i bind X, om [[kommensurablitet (matematikk)|inkommensurable]] lengder.

Ifølge Proklos er det [[Ptolemaios I Soter|Ptolemaiois I]] som skal ha spurt Euklid om det finnes en enklere vei for å lære geometri enn gjennom ''Elementer'', hvorpå Euklid skal ha svart at «det er ingen kongelig vei til geometri».

Euklid skrev også flere andre verk, både i matematikk, i optikk og i astronomi. Mangel på biografiske kilder har fått enkelte til å spekulere i om Euklid ikke er en historisk person, men at navnet har vært et [[pseudonym]] som har vært benyttet av flere matematikere fra Alexandria. En annen hypotese er at personen Euklid har ledet en gruppe matematikere som alle har bidratt til verkene.  Et argument for begge disse teoriene er en variasjon i skrivestil som en kan finne i verkene etter Euklid.  En slik variasjon er imidlertid ikke uvanlig også fra en og samme forfatter, og tilhengerne av disse teoriene er i mindretall.<ref name=AH259/><ref name=MT/>

== Tittelen ''Elementer'' ==
Det greske navnet på ''Elementer'' er ''Stoikheia'',<ref name=TH568>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. II) s.568</ref> et ord som kunne brukes både om «bokstaver i alfabetet», «geometriske former» og «byggesteiner».<ref name=PdS>{{kilde artikkel | forfattere=Pia de Simone |tittel=Plato’s use of the term stoicheion. Origin and implications |publikasjon=Rev. Archai  |år=2020 | bind=30 |url=http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1984-249X2020000300311 }}</ref> Grunnformen av ordet hadde betydning «en i en rekke».<ref>{{kilde www |url=https://biblehub.com/greek/4747.htm |tittel=4747. stoicheion |utgiver=Bible Hub |besøksdato=2021-04-19}}</ref>  Bokstavene i alfabetet ble kalt «stoikheia» fordi de hadde en viss rekkefølge og orden.<ref>{{kilde bok| tittel=Lectures on the Science of Language |forfatter=Friedrich Max Müller | utgivelsesår=1864 |forlag=Longman, Green, Longman, Roberts, & Green |utgivelsessted=London |side=80 |url=https://books.google.no/books?id=PI1eAAAAcAAJ&printsec=frontcover&hl=no&source=gbs_ge_summary_r&cad=0 }}</ref> I omtalen av ''Elementer'' sier Proklos at verket forholder seg til resten av matematikken på samme måte som bokstavene i alfabetet forholder seg til språk.<ref name=CB115/>

Platon brukte ordet «stoikheia» ofte, som en betegnelse på grunnleggende [[kosmologi]]ske elementer som bygger opp alle ting.<ref name=PdS/>

Flere grekere før Euklid hadde gitt ut læreverk i matematikk, og noen av disse hadde også brukt tittelen ''Elementer''.  Disse verkene er imidlertid tap og kun kjent gjennom senere omtale.  Den første kjente forfatteren av ''Elementer'' er [[Hippokrates fra Khíos]].<ref name=TH171>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.171</ref><ref name=TH201>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.201</ref>  Andre kjente forfattere som har brukt samme tittel, er [[Leon (matematiker)|Leon]] og [[Teudios]].<ref name=TH335>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.335</ref>

Euklid er ofte omtalt som ''stoikheiotes'' istedenfor ved navn, det vil si som «elementator» eller «forfatter av ''Elementer''».<ref name=TH357>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.357</ref>

På norsk er verket blitt omtalt både som ''Elementer''<ref name=AH259/><ref>{{kilde www |url=https://snl.no/Euklid_-_gresk_matematiker |tittel=Euklid (gresk matematiker) |utgiver=Store norske leksikon |besøksdato=2021-04-19}}</ref><ref>{{Kilde bok| forfatter= William Karush| utgivelsesår=1982 | tittel=Matematisk oppslagsbok |isbn = 82-516-0832-5 |utgivelsessted=Oslo |forlag=Schibsted |url=http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2013102407017 }}</ref> og som ''Elementene''<ref>{{Kilde bok | forfatter=Simon Singh |utgivelsesår=1999 |tittel=Fermats siste sats |isbn = 82-03-20471-6 |utgivelsessted = Oslo |forlag=Aschehoug |url = http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2009031000029  }}</ref>. Noen presentasjoner bruker begge titler side om side.<ref>{{ Kilde bok |forfatter=Viggo Brun |utgivelsesår=1981 | tittel=Alt er tall |isbn = 82-00-05776-3 |utgivelsessted=Oslo | forlag =Universitetsforlaget | url = http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2014072305043 }}</ref>

== Oppbygging av læreverket ==

===Organisering===
''Elementer'' består av 13 bind eller bøker, i referanser ofte nummerert med romertall.

Bruken av grunnbegreper i læreverket er farget av vitenskapslæren til Aristoteles, som skilte skarpt mellom postulater og bruk av «allmenn innsikt» eller aksiomer.  
Aksiomer var betraktet som selvinnlysende utsagn, som alle ville være enig i, gyldig i alle vitenskaper.  Postulater kunne være mindre opplagte og gjorde ikke krav på allmen aksept, men ble tatt som forutsetning i en gitt undersøkelse eller i en gitt vitenskap.<ref name=CB116>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.116</ref>  Bind I blir som oftest framstilt som å inneholde fem postulater og fem «allmenne innsikter».<ref>{{ Kilde bok |forfatter=Ottar Ytrehus |utgivelsesår=1976 |tittel=Matematikkens historie |utgivelsessted = Oslo |forlag=Skolesjefen i Oslo, Avdeling for pedagogisk utviklingsarbeid |url=http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2012121406023 |side=129}}</ref><ref name=AHB69>[[#AHB|A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.69ff</ref><ref>{{kilde www| url=http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DPost%3Anumber%3D1 |tittel=Euclid, Elements |utgiver=Perseus Digital Library |besøksdato=2021-04-18}}</ref> De eldre kildene er imidlertid ikke konsistente om dette, og noen kilder grupperer alle ti sammen.  I dagens matematikk er det ikke vanlig å skille mellom «postulater» og «aksiomer».<ref name=CB116/>

Hoveddelen av verket består av setninger eller teoremer, med tilhørende bevis.  Gresk matematikk skilte mellom ''analyse'' og ''syntese'': I analyse blir et komplekst problem brutt ned til
kjente elementer, mens syntese går ut på å utlede nye resultater fra kjente og beviste setninger.  ''Elementer'' er helt og fullt gjennomført basert på syntese.<ref name=TH371>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.371</ref> Verket inkluderer figurer, men ellers er formen verbal, uten bruk av ligninger eller formler.

=== Definisjoner ===

''Elementer'' har verken forord eller innledning. Første bind går rett på sak med 23 definisjoner, der de tre første er slik:

# Et punkt er det som ikke har noen del.
# En linje er en lengde uten bredde.
# Starten og slutten på en linje er punkter.

En linje trenger ikke være rett, men blir betraktet som endelig, det vi i dag omtaler som et [[linjestykke]]. Fortsettelsen inkluderer definisjon av vinkler, både rette, spisse og stumpe.  En sirkel blir definert, med sentrum og diameter. En av definisjonene inkluderer et teorem tillagt [[Tales fra Milet]], om at diameteren deler sirkelen i to. Trekanter blir også presentert, inkludert spesielle trekanter som likesidet, likebeint og rettvinklet. Firkantene kvadrat, rektangel, rombe og trapes er definert, men ikke parallellogrammet.

I bind I har Euklid til en viss grad bygd på definisjoner kjent fra Platons skole, men har også reformulert noen av disse.  Et par av definisjonene er antatt å være laget av Euklid selv.
 
Bind VI definerer for eksempel [[formlikhet|formlike]] figurer.  Bind X definerer kommensurable og inkommensurable størrelser.

Gresk geometri hadde ingen definisjoner av lengde, areal eller volum, og det ble ikke knyttet tallverdier til slike størrelser.  Et spørsmål som «hva er arealet av en sirkel» ville derfor ikke gi mening 
i gresk geometri.  Derimot kunne en ''sammenligne'' to størrelser av samme type, for eksempel ved å definere forholdet mellom to areal.<ref>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=1959| tittel=The history of the calculus and its conceptual development| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=32| isbn=0-486-60509-4 }}</ref>

Respekt for tradisjonen viser seg ved at Euklid tar med enkelte definisjoner som ikke blir brukt videre i verket. Dette gjelder for eksempel definisjonen av en rombe.<ref name=TH373>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.373ff</ref>

=== Postulater ===
[[Fil:Parallel postulate.svg|thumb|right|Euklids femte aksiom sier at de to linjene ''h'' og ''k'' vil skjære hverandre i et punkt ''S'' hvis summen av vinklene &alpha;&nbsp; og &beta;&nbsp; er mindre enn to rette vinkler.]]

De fem grunnleggende postulatene er gitt i bind I:<ref name=AH263>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.263</ref><ref name=AH12>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 2) s.12</ref>

# Mellom to punkter kan det trekkes en entydig linje.
# En linje kan forlenges vilkårlig i hver retning.
# Rundt hvert punkt kan beskrives en sirkel med en vilkårlig radius.
# Alle rette vinkler er like store.
# Hvis en rett linje skjærer to rette linjer slik at summen av de indre vinklene på samme side er mindre enn to rette vinkler, da skjærer de to rette linjene hverandre på den siden hvor de indre vinklene befinner seg, når linjene forlenges vilkårlig langt.

Postulat 4 er ofte omtalt som et teorem, men trengs som et postulat for at innholdet i postulat 5 skal ha mening.<ref name=TH373/>

Postulat 5 er det berømte [[parallellaksiomet|parallellpostulatet]].  Parallelle linjer er introdusert i den siste definisjonen i bind I, men postulatet er formulert uten å nevne slike linjer. Postulatet gir et vilkår for at to linjer ''ikke'' er parallelle.

[[Thomas Heath]] mener at formuleringen av både det fjerde og det femte postulatet, muligens alle fem, må komme fra Euklid selv.<ref name=TH373/>

=== Aksiomer ===

De fem «allmenne innsiktene» eller aksiomene i ''Elementer'' er, i oversettelse fra engelsk:<ref>{{kilde www|url=https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DCN%3Anumber%3D1 |tittel=Euclid, Elements |utgiver=Perseus Digitial Library |besøksdato=2021-04-21}}</ref>

# Ting som er lik samme ting, er også like hverandre.
# Dersom likt blir lagt til likt, så er det hele også likt.
# Dersom likt blir tatt fra likt, så er resten også likt.
# Ting som er sammenfallende, er like.
# Det hele er større enn hver enkelt del.

Thomas Heath påpeker at aksiom 4 er knyttet til geometri og derfor ikke helt i samsvar med Aristoteles definisjon av aksiomer, som allmenne sannheter.  Etter Heaths mening er det sannsynlig at de to siste
aksiomene ikke er laget av Euklid, men er lagt til verket i ettertid.<ref name=TH373/>

=== Setninger og bevis ===

Hvert bind inneholder en rekke setninger eller teoremer som stegvis bygger på hverandre, med tilhørende bevis for hver setning.  Referanse til en setning blir i dag vanligvis gitt ved numeret på bindet og 
setningsnummeret.  [[Pytagoras’ læresetning]] er for eksempel gitt i slutten av bind I, som setning I.47.

Til en setning skulle det høre «data», det vil si former og objekter som var «gitt». Tilsvarende starter en i dag ofte geometriske problem med utsagn av typen «Gitt en rett linje og en sirkel med sentrum som ikke ligger på linjen».
Euklid drøfter i et annet verk, ''Data'', hva som ligger i at data er «gitt».<ref name=TH421>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.421</ref>  Dette verket ligger tett opp til de fire første
bøkene i ''Elementer''.

Der det har vært nødvendig for sammenhengen, har Euklid konstruert nye bevis, hvis rekkefølgen i verket har gjort at kjente bevis ikke har fungert.  Beviset for Pytagoras’ setning er antagelig konstruert av 
Euklid selv.<ref name=TH378>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.378</ref>

==Innhold i bøkene ==

===Bok I - IV: Plangeometri===

[[Fil:Euclidis elementorum libri priores sex Fleuron T145401-9.png |thumb|Illustrasjon til Euklids bevis for den pytagoreiske læresetning. fra en utgave i fra 1756.]]

De første fire bindene inneholder plageometri.  Storparten av materialet i bind I og II var kjent fra [[pytagoreerne]].<ref name=TH153>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.153</ref> 
Teorien i bind III og VI var kjent fra [[Hippokrates fra Khíos|Hippokrates]]' tid.  Siden formlike trekanter blir introdusert først i bind VI, så er alle bevisene gjennomført uten bruk av teori for formlikhet.

Et produkt av to størrelser ble i gresk geometri alltid behandlet som et areal.  [[Geometrisk algebra]] var etter pytagoreerne en form for geometri og [[aritmetikk]] for areal.  Behandling av areal var helt grunnleggende i 
gresk matematikk og opptrer for eksempel i beviset for Pytagoras’ læresetning.  Til en gitt lengde <math>a</math> kunne en definere produktet <math>a^2</math>, som arealet av et kvadrat konstruert
med <math>a</math> som sidelengde.  Grekerne sammenlignet aldri et areal med en lengde, og en ligning som <math>x^2 = a</math> ville derfor ikke gitt greske matematikere mening.

* Bind I: Postulatene og aksiomene som presenteres i bind I, er felles for alle de 13 bøkene. Bindet inneholder grunnleggende plangeometri, med setninger for linjer, vinkler, trekanter og firkanter.  Setning I.32 viser for eksempel at vinkelsummen i en trekant er lik to rette vinkler. Bindet avsluttes med den pytagoreiske læresetningen I.47 og det omvendte teoremet I.48.
* Bind II: Geometrisk algebra. Her vises en rekke setninger som vi i dag vil uttrykke med [[algebra]], for eksempel [[kvadratsetningene]].  Setning II.11 gir en geometrisk løsning til ligningen <math>x^2 + ax = a^2</math>.  Setningene II.12 og II.13 er geometriske former for [[cosinussetningen]], for henholdsvis en spissvinklet og stumpvinklet trekant.
* Bind III: Grunnleggende geometri for sirkler.  Setning III.31 svarer til [[Tales’ teorem]] om en rett vinkel i en halvsirkel. De to siste setningene behandler [[potens til et punkt|et punkts potens]] med hensyn på en sirkel.
* Bind IV: Setninger om [[Innskrevet (geometri)|innskrevne]] og [[omskrevet (geometri)|omskrevne sirkler]] til trekanter og til [[regulær mangekant|regulære polygoner]] med 4, 5, 6 og 15 sider.

===Bok V - VI: Proporsjoner ===

Tall som vi i dag omtaler som [[rasjonalt tall|rasjonale tall]] eller brøker ble av grekerne behandlet geometrisk, som et forhold mellom to linjestykker eller to areal.  En [[proporsjon]] er likhet mellom to eller flere
tallforhold og kan for eksempel uttrykkes i dagens formspråk som

:<math>a : b = A : B \ . </math>

Størrelsene <math>a</math> og <math>b</math> må være av samme type (heltall, linjestykke, areal, volum), men trenger ikke være av samme type som <math>A</math> og <math>B</math>.

* Bind V: Teori for proporsjoner, ofte tilskrevet Eudoksos.  Thomas Heath skriver at «gresk geometri kan ikke skryte av noen finere enn denne teorien».<ref name=TH358/>  Teorien er gjeldende for alle typer størrelser, både rette linjer, areal, volum eller heltall, så lenge størrelsene som inngår er av samme type.
* Bind VI: Bindet bruker teorien i fra bind V til plangeometri.  Her defineres likedannede eller formlike figurer.  Geometrisk algebra brukes til å finne løsning på generelle former for kvadratiske ligninger.  Løsningene er alltid begrenset til å være positive størrelser.

===Bok VII - IX: Tallteori===

Tre bøker omhandler elementær tallteori.  Platon omtaler slik tallteori for «aritmetikk», en bruk av ordet som ikke samsvarer med moderne definisjon av aritmetikk.<ref name=TH13>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.13</ref>  Grekerne skilte mellom tallteori (aritmetikk) og beregning med tall, omtalt som «logistikk».  I logistikk studerte en addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av heltall.   De tre bøkene omtales som «de aritmetiske bøkene i ''Elementer''».

For Euklid var et tall alltid et positivt heltall.  I definisjonene i bind VII er 1 ikke regnet som et tall, men som en grunnleggende enhet.

* Bind VII:  Grunnleggende tallteori.  Innledningsvis defineres blant annet partall og oddetall, [[primtall]] og [[sammensatt tall|sammensatte tall]]. Et ''plant tall'' er et tall som kan skrives som et produkt av to tall, mens et ''romlig tall'' er et produkt av tre tall. Setning VII.2 beskriver det som i dag kalles [[Euklids algoritme]] for å beregne [[største felles divisor]] for to heltall.  Algoritmen var kjent lenge før Euklid.<ref>{{Kilde bok | redaktør = Hans Niels Jahnke| forfatter= | utgivelsesår=2003| tittel=A history of analysis (A history of matematics vol.24)| forlag=American Mathematical Society| side=13| isbn=0-8218-2623-9}}</ref>
* Bind VIII:  Konstruksjon av [[geometrisk følge|geometriske følger]]. Også dobbelte proporsjoner blir behandlet, slik som <math>a:b = c : d = e : f</math>.
* Bind IX: Bruker resultatene fra bind VII og VIII.  Setning IX.14 gir en form av [[aritmetikkens fundamentalteorem]], som sier at en [[primtallsfaktorisering]] av et vilkårlig tall alltid er entydig.  Om setningen er helt samsvarende med fundamentalteoremet eller gir et noe svakere resultat, er omdiskutert.<ref name=AH267>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.267</ref>  Setning IX.20 sier at antall primtall er uendelig.  Setning IX.35 gir et uttrykk for summen av et endelig antall ledd i en geometrisk følge. Den siste setningen IX.36 viser hvordan en kan finne [[perfekt tall|perfekte tall]].

=== Bok X: Inkommensurable størrelser ===

Thomas Heath beskriver bok X sm den mest bemerkelsesverdige av alle de 13 bindene og den boka som er mest perfekt i form.  [[Carl Benjamin Boyer|Carl Boyer]] skriver også at dette var den boka som var mest
fryktet.<ref name=CB129>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.129</ref>  Boka omhandler inkommensurable størrelser, svarende til irrasjonale tall.  Innholdet i bindet er hele tiden i en geometrisk form.  Oppdagelsen av de første tilfellene av inkommensurable størrelser skal ha vært gjort av pytagoreerne, og antagelig var en lengde svarende til <math>\sqrt{2}</math> den første som ble oppdaget.<ref name=TH155>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.155</ref>  [[Teodors fra Kyrene]] viste at størrelser svarende til tallene <math>\sqrt{3}, \sqrt{5}, ..., \sqrt{17}</math> er inkommensurable.  Æren for det mer generelle innholdet i bind X er i hovedsak gitt Teaetetos.<ref name=TH402>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.402</ref>

Bok X starter med å legge grunnlaget for det som i dag betegnes som [[ekshausjonsbevis]]<ref>{{kilde www| url=https://snl.no/ekshausjonsbevis |tittel=Ekshausjonsbevis | utgiver=Store norske leksikon |besøksdato=2021-04-23}}</ref> eller «utfyllingsprinsippet»<ref name=AH269>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.269</ref>.  Dette er en bevisform hvor en kontinuerlig størrelse, en lengde, et areal eller et volum, blir tilnærmet 
med stadig mindre enheter. For eksempel kan en sirkel tilnørmes med regulære mangekanter av stadig høyere orden.  En slik prosess ligger nært opp til en moderne uendelig [[Grenseverdi|grenseprosess]]. For
grekerne var det imidlertid alltid en prosess som ble avsluttet med en rest, etter et endelig antall steg.<ref>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=1959| tittel=The history of the calculus and its conceptual development| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=33ff| isbn=0-486-60509-4 }}</ref>

I bok X er det videre drøftet linjer som (i moderne notasjon) kan konstrueres som uttrykk av typen

:<math>a \pm \sqrt{b}  \qquad \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \qquad \sqrt{a \pm \sqrt{b}}  \qquad \sqrt{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}\ ,</math>

når <math>a</math> og <math>b</math> er to kommensurable størrelser.  Hver enkelt form er i ''Elementer'' gitt sitt eget navn.

===Bok XI - XIII: Romgeometri===

De tre bøkene XI, XII og XIII drøfter geometri i tre dimensjoner.  [[Arkimedes]] gir Eudoksos æren for å ha vært den første som beregnet volumet av en kjegle og en pyramide.<ref name=AH231>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.231</ref>
                                                                            
* Bind XI:  Definisjonene i dette bindet gjelder alle tre bindene om romgeometri.  Her defineres blant annet romlige legemer, en normal til et plan, vinkelen mellom plan og [[romvinkel|romvinkler]].  Mange av setningene i bindet er paralleller til setninger i plangeometri gitt i bind I og IV.  Boka drøfter også formlike [[parallellepiped]].
* Bind XII:  Beregning av volum av ulike romlegemer, som kjegle og pyramide, ved hjelp av utfyllingsprinsippet.  Dette prinsippet blir også brukt til å vise at forholdet mellom arealet av to sirkler er lik forholdet mellom kvadratet av diameterne.
* Bind XIII: Konstruksjon av de fem [[platonsk legeme|platonske legemene]] inne i en kuleflate.

=== Tabelloversikt ===

Den følgende tabellen gir en oversikt over innholdet i Euklids ''Elementer''.

{| class="wikitable"
|+ 
! Bok
! I
! II
! III
! IV
! V
! VI
! VII
! VIII
! IX
! X
! XI
! XII
! XIII
! Sum
|-
! Definisjoner
| 23 || 2 || 11 || 7 || 18 || 4 || 22 || - || - || 16 || 28 || - || - || 131
|-
! Postulater
| 5 || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || 5 
|-
! Allmenne innsikter
| 5 || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || - || 5 
|-
! Setninger
| 48 || 14 || 37 || 16 || 25 || 33 || 39 || 27 || 36 || 115 || 39 || 18 || 18 || 465
|}

== Apokryfe verker ==

To ekstra bind XIV og XV ble i middelalderen tillagt ''Elementer'', men i dag er det kjent at disse to er [[apokryfer]], antageligvis skrevet av henholdsvis [[Hypsikles]] og [[Isidoros fra Milet]].<ref name=TH419>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.419</ref>   Hypsikles levde i den andre århundre før Kristus, mens Isidoros levde i det femte århundre etter Kristus.  Begge de to apokryfe bindene omhandler romgeometri.

== Overlevering av verket ==

[[Fil:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg|thumb|Fragment som viser en del av femte teorem i andre bok av ''Elementene''. Det er skrevet på papyrus og ble funnet ved  [[Oxyrhynchus]] i Egypt.]]

Ingen originalversjon av ''Elementer'' er bevart.  Biblioteket i Alexandria, der Euklid virket, ble ødelagt under ulike stridigheter og kriger en gang før år 300 e.Kr.  Da verket ble reintrodusert i europeisk kultur,
omkring 1100 e.Kr., ble oversettelsene til latin basert på arabiske tekster.  Det er også funnet fragmenter av ulike versjoner av ''Elementer'' samt kommentarverk på gresk.  
[[Theon av Alexandria|Teon fra Alexandria]] (ca. 335-405 e.Kr.) reviderte ''Elementer'', både språklig og innholdsmessig.  I revisjonen fyller han ut steg i bevisene og ga alternative bevis.  Det er Teons versjon som er bevart i de fleste greske fragmentene vi i dag har at verket. En stor utfordring for ettertiden har vært å rekonstruere ''Elementer'', slik en tror Euklid laget verket.

En rekke greske forfattere skrev kommentarverk til ''Elementer'', inkludert [[Heron av Alexandria|Heron]], Pappos, [[Porfyrios]], Proklos og [[Simplicius]].<ref name=TH358/>
Noen av disse er [[skolia]], det vil si verk med kommentarer plassert i margen.  Den første romerske kilden som nevner Euklid er [[Marcus Tullius Cicero|Cicero]], men antagelig var ikke ''Elementer'' oversatt til latin på dette tidspunktet, da teoretisk geometri ikke vekte særlig interesse blant romerne.

Noen eldre kilder hevder at [[Boëthius]] (ca. 480-525) oversatte Euklid til latin.  Det geometriske verket som i dag er kjent etter Boëthius, er imidlertid høyst sannsynlig satt sammen fra flere kilder på 1100-talet. Verket inneholder et fåtall deler av de fire første bindene av ''Elementer'', uten noen av bevisene.  Tegn tyder på at den som laget sammensetningen, kan ha hatt tilgang til eldre oversettelser til latin, av uvisst opphav.<ref name=TH359>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.359</ref>

[[Fil:Woman_teaching_geometry.jpg|thumb|left|Forsideblad til Adelards latinske utgave av ''Elementer'']]
Til den arabiske verden kom ''Elementer'' som en følge av kontakten med [[østromerriket]].  Kalif [[Al-Mansur]] (regjeringstid 754-775) skal ha vært den første som fikk en utgave.<ref name=TH362>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.362</ref> 
I Bagdad var [[Visdommens hus]] et bibliotek, et verksted for oversettelser og et senter for vitenskap, opprettet av [[abbasidene]]. Et stort antall manuskripter på gresk, hebraisk og syrisk ble oversatt til arabisk.  
Svært viktig for oversettelser av matematiske verk ble [[Thābit ibn Qurra]] (826-901), som ledet en gruppe av oversettere i Bagdad.  I tillegg til å få laget svært gode oversettelser, leverte han også egne bidrag
i matematikk, for eksempel et alternativt bevis for Pytagoras' setning I.47.<ref name=CB258>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.258f</ref>  Noen av de arabiske oversettelsene av greske manuskripter
er bevarte i dag.

I Europa ble matematikk lenge neglisjert, inntil interessen våknet opp igjen i middelalderen.  Den engelske munken [[Adelard fra Bath]] (ca.1075-1160) er den første vi kjenner til som oversatte ''Elementer'' til latin, og innslag
av arabiske ord i oversettelsen viser at kilden må ha vært arabiske manuskript.  Hovedkanalene for utveksling mellom den muslimske verden og Europa var gjennom Spania, Sicilia og Øst-Europa, men det er ikke kjent i 
detalj hvordan Adelard kom i kontakt med muslimsk kultur.  Italieneren [[Gerard fra Cremona]] (ca. 1114-1187) arbeidet i [[Toledo]] i Spania, og han laget en ord-for-ord oversettelse av en revidert utgave av 
Thābit ibn Qurras arabiske versjon av ''Elementer''. En tredje oversettelse ble laget av [[Johannes Campanus]] (ca. 1220-1296).<ref name=TH361>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.361ff</ref>

Verket ''Practica geometriae'' av [[Leonardo Fibonacci]] er fra 1220, og innholdet er delvis basert på ''Elementer'', men også flere andre greske verk.<ref name=TH367>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.367</ref>

[[Fil:Euclid's Elements, 1482.jpg|thumb|Sider i den første trykte utgave av ''Elementer'', fra 1482.]]
Den første trykte utgaven av ''Elementer'' ble gitt ut i Venezia i 1482, av [[Erhard Ratdolt]].<ref name=TH364>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.364f</ref>  
Denne var basert på oversettelsen til Johannes Campanus.  Hvordan Ratdolt greide å trykke figurene, er ikke kjent med sikkerhet.  Andre utgaver ble gitt ut i 1486 i Ulm i Tyskland og i 1491 i Vicenza i Italia.
Siden disse første versjonene, er det gitt ut over tusen utgaver av verket.<ref name=CB131/>

Som den viktigste oversettelsen av ''Elementer'' til latin, regnes utgaven til [[Federico Commandino]]. Denne oversettelsen kom ut i Italia i 1572.  Verket var basert på både greske or arabiske tekster.  I tillegg til eldre merknader inneholdt denne utgaven også kommentarer fra Commandino selv.<ref name=TH364/>

En fullstendig utgave på engelsk kom første gang i 1570, i oversettelse av [[Henry Billingsley]].  En viktig oversettelse til latin ble utført av [[Isaac Barrow]] i 1655, fulgt av en engelsk versjon i 1660.  Barrow var professor ved universitetet i Cambridge.

[[François Peyrard]] (1760-1822) oversatte ''Elementer'' til fransk.  Under arbeidet fant Peyrard i Vatikanet en versjon av ''Elementer'' som ikke inneholdt Teons revisjoner. Det er antatt at denne versjonen er eldre enn Teons.
Versonen er i dag omtalt bare som «P», til ære for finneren.<ref name=TH360>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.360</ref>

Den italienske misjonæren [[Matteo Ricci]] oversatte på begynnelsen av 1700-tallet deler av ''Elementer'' til kinesisk, fra en latinsk versjon. Tidlig på 1800-tallet ble det også laget en versjon på sanskrit, basert på en arabisk versjon.<ref>{{kilde www| url=https://www.hf.uio.no/ikos/english/research/groups/a-cross-disciplinary-study-of-euclids-elements/ |tittel=A Cross-Disciplinary Study of Euclid’s Elements |utgiver=UiO |besøksdato=2021-04-18}}</ref>

En nyere oversettelsen til engelsk ble gjort av Thomas Heath, gitt ut første gang i 1908.

== ''Elementer'' som lærebok ==

Da de første universitetene ble grunnlagt i middelalderen, ble studiet av matematikk svært ofte en del av undervisningen. I [[de frie kunstene]] som var grunnlag for undervisningen, inngikk aritmetikk og geometri.  Euklids ''Elementer'' ble en ofte brukt lærebok. Hvor mye som krevdes, kunne variere fra universitet til universitet.

For mange stoppet undervisningen etter ganske få setninger.  Den femte setningen I.5 (om vinkler i en likebeint trekant) er noe foraktelig blitt kalt [[pons asinorum]], latin for «eselbroen».  Denne setningen ble betraktet av mange studenter som siste hindring i studiet av matematikk. [[Robert Bacon]] brukte også navnet «elefuga» og «fuga miserorum» om setningen, fra latin ''fuga'' («flukt») og gresk ''elegia'' («misere, tristhet»), altså «flukten fra miseren».<ref name=TH368/>

Undervisning basert på ''Elementer'' ble gitt i Wien (grunnlagt 1365), Heidelberg (1386) og i Køln (1388).  Wien krevde gjennomgang av første bind for lavere grad, men de fem første bindene for å få lisens til å undervise.  I Paris ble undervisning i geometri på 1300-tallet neglisjert, mens ved universitetet i Praha ble det til den høyere graden krevd at en hadde gjennomgått de seks første bindene av ''Elementer''. I Oxford, midt på 1500-tallet, var studiet av de to første bindene obligatorisk.<ref name=TH368>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.368</ref>

[[Isaac Newton]] begynte på universitetet i Cambridge i 1661, 18 år gammel.  Han skal ha kjøpt sin første utgave av ''Elementer'' i 1663, men begynte å studere verket for alvor først i 1664, et år som regnes som svært viktig
for Newtons utvikling som vitenskapsmann. Han skal først ha tatt lett på lesingen, for mange av resultatene syntes ham banalt riktige. En historie forteller at Isaac Barrow eksaminerte Newton i ''Elementer'' og konkluderte 
med at studenten manglet kunnskap om emnet.  Newton tok opp lesingen på nytt, med større grundighet, og han skal ha blitt spesielt påvirket av bind II, V, VII og X.  Newtons sekretær fortalte at han aldri hadde hørt Newton le, bortsett fra den ene gangen da han ble spurt om en kunne ha nytte av å studere ''Elementer''. Da Newton døde, arvet slektninger boksamlingen etter ham. Deler av samlingen ble solgt på auksjon i 1920 som «diverse bøker», uten at selgeren forsto verdien av bøkene.  Newtons utgave av Barrows' ''Elementer'', med håndskrevne kommentarer, ble solgt for fem shilling!<ref>{{Kilde bok | forfatter=V. Frederick Rickey| redaktør=Frank J. Swetz| utgivelsesår=2013| artikkel=Isaac Newton: Man, Myth, and Mathematics| tittel=The European Mathematical Awakening| utgivelsessted=Mineola, New York| forlag=Dover Publications| side=149-173| isbn=0-486-49805-0 }}</ref><ref>{{kilde bok| tittel=Vestens tenkere |bind=1 |redaktør=Trond Berg Eriksen |utgivelsesår=1998 |isbn=82-03-16628-8 |forlag=Aschehoug |forfatter=Per Strømholm |artikkel=Evklid}}</ref>

[[Joachim Frederik Ramus]] (1685-1769) var norsk-født og professor i matematikk ved universitetet i København.  I 1737 fikk han utgitt de seks første bøkene av ''Elementer'' på latin, til undervisningsformål. Et nytt opplag kom ut i 1740.<ref>{{kilde www|url=https://biografiskleksikon.lex.dk/J.F._Ramus |tittel=J.F. Ramus |utgiver=Dansk Biografisk Leksikon |besøksdato=2021-04-26}}</ref>

== ''Elementer'' og utvikling av moderne matematikk  ==

Geometri basert på postulatene i ''Elementer'' er i dag kalt [[euklidsk geometri]]. Innholdet i ''Elementer'' er i planet begrenset til studiet av punkt, linjer og sirkler, mens det i dag ikke ligger noen begrensning hvilke typer objekter en studerer i euklidsk geometri. I tradisjonen etter Euklid har en skilt mellom ''elementær geometri'' (punkt, linjer, sirkler) og ''høyere geometri'' ([[kjeglesnitt]], [[transendental kurve|transendentale kurver]]).<ref name=AHB135>[[#AHB|A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.135</ref> [[Konstruksjon (geometri)|Geometrisk konstruksjon]] er i elementær geometri begrenset til kun å omfatte konstruksjoner som lar seg gjennomføre med passer og linjal.  Disse hjelpemidlene kan også bare brukes i overensstemmelse med Euklids postulater og kalles da ''euklidske hjelpemidler''. Detaljer om hvordan disse reglene kom til å bli etablert er ikke kjent, men de ble praktisert ''før'' Euklid virket.  Tradisjonen har knyttet opphavet til Platon, men det er tegn på at reglene var i bruk også før Platon.<ref name=AG13>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=2004| tittel=History of analytical geometry| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=13-14| isbn= 0-486-43832-5 }}</ref><ref name=TH288>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.288</ref> Platon mente at linjer og sirkler var mer ideelle objekter en andre typer kurver.

Euklids fire første postulater ble lenge betraktet som selvinnlysende.  Det femte postulatet, parallellpostulatet, skapte imidlertid hodebry og kontroverser.  
Mange matematikere var misfornøyd med dette postulatet og forsøkte enten å finne alternative formuleringer eller å bevise det ved hjelp av de fire første postulatene.  Både [[Klaudios Ptolemaios|Ptolemaios]] og Proklos forsøkte å finne et slikt bevis. Under dette arbeidet ble det oppdaget mange alternative formuleringer av det femte postulatet.<ref name=AHB71>[[#AHB|A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.71</ref>
En ofte brukt formulering ble først gitt av Proklos og kalles i dag [[Playfairs aksiom]], etter den skotske matematikeren [[John Playfair]].

''Elementer'' fikk svært stor betydning for overføring av gresk matematikk til resten av Europa og for revitaliseringen av matematikk i middelalderen.  Men begrensningene som er innebygget i verket var kanskje 
også et hinder for videreutvikling av nyere matematiske retninger.  Carl Boyer spekulerer i om kanskje noen av Euklids verker som i dag er tapt, har hatt større betydning for utvikling av [[analytisk geometri]], for eksempel ''Porismata'' og ''Flatepunkter''.<ref name=AG22>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=2004| tittel=History of analytical geometry| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=22| isbn= 0-486-43832-5 }}</ref> Analytisk geometri er basert på bruk av koordinater, mens koordinatfri geometri - slik som en finner det i ''Elementer'' - omtales som [[syntetisk geometri]] eller ''ren geometri''.
Da [[infinitesimalregning]] ble introdusert på slutten av 1600-tallet, hadde mange matematikere motforestillinger, blant annet fordi en mente at teorien stod i strid med innholdet i ''Elementer''.<ref name=CB475>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.475</ref>.

Ettertiden har erkjent at grunnlaget som Euklid la for geometri, ikke er tilstrekkelig rigorøst, verken i definisjonene, postulatene eller aksiomene.  
For å rette på dette, er det foreslått flere moderne versjoner av grunnlaget for euklidsk geometri, blant annet av [[David Hilbert]] i 1899.<ref name=AHB167>[[#AHB|A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.167f</ref>

Geometri var lenge synonymt med euklidsk geometri.  På 1800-tallet ble det innsett at det femte postulatet ikke er en absolutt sannhet.  Det er mulig å definere geometrier både ved å utelate parallellpostulatet og
ved å erstatte det med alternativ.  Geometri basert kun på Hilberts aksiomer, uten parallellpostulatet, kalles [[nøytral geometri]] eller absolutt geometri. Ved å ''erstatte'' parallellpostulatet med alternativ, kan en definere [[ikke-euklidsk geometri|ikke-euklidske geometrier]].<ref name=AHB167/>

== Referanser ==
<references/>

==Litteratur==

*{{Kilde bok
| ref=CB
| forfatter= Carl B.Boyer
| utgivelsesår=1968
| tittel=A history of mathematics
| utgivelsessted= Princeton, USA
| forlag= John Wiley & Sons, Inc
| isbn= 0-691-02391-3 }}
*{{Kilde bok
| ref=TH
| forfatter= Thomas Heath
| utgivelsesår=1981
| tittel=A history of Greek mathematics
| bind=I og II
| utgivelsessted=New York
| forlag=Dover Publications
| isbn=0-486-24073-8 }}
*{{Kilde bok
| ref=AH
| forfatter= Audun Holme
| utgivelsesår=2008
| tittel=Matematikkens historie
| utgivelsessted=Bergen
| forlag=Fagbokforlaget
| bind=1 og 2
| isbn=978-82-450-0697-1}}
*{{Kilde bok
| ref=AHB                                       
| forfatter= Audun Holme
| utgivelsesår=2002
| tittel=Geometry.  Our cultural heritage.
| utgivelsessted=Berlin
| forlag=Springer-Verlag
| isbn=3-540-41949-7}}
*{{kilde bok
| forfatter=M. Kline
| utgivelsesår= 1972
| tittel=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
| forlag=Oxford University Press
| utgivelsessted= New York
| isbn=0-19-506135-7}}

== Eksterne lenker ==

* {{kilde www| url=https://www.c82.net/euclid/#books |tittel= Byrne's Euclid | utgiver=Nicholas Rougeux  |kommentar=Nettutgave av Oliver Byrnes Euclid fra 1847 |språk=en |besøksdato=2021-04-18}}
* {{kilde www| url=http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DPost%3Anumber%3D1 |tittel=Euclid, Elements |utgiver=Perseus Digital Library |kommentar=Nettutgave av T.Heaths Euclid, uten figurer| språk=en | besøksdato=2021-04-18}}
* {{kilde www| url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html |tittel=Euclid's Elements |utgiver=David E. Joyce, Clark University |språk=en |kommentar=Med figurer |besøksdato=2021-04-23}}
* {{kilde www| url=https://runeberg.org/elementa/ |tittel=Euclidis Elementa |utgiver=Project Runeberg |språk=svensk |besøksdato=2021-04-23}}
* {{kilde www| url=https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.01.0085 |tittel=Euclid, Elements |utgiver=Perseus Digital Library |kommentar=Nettutgave av J.L-Heibergs Euclid, uten figurer| språk=gresk | besøksdato=2021-04-18}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Euklidsk geometri]]
[[Kategori:Matematiske verk]]