Redigerer Euklid

{{andrebetydninger}}
{{infoboks biografi}}
'''Euklid''' eller '''Evklid''' ([[gresk]]: Εὐκλείδης – ''Eukleídēs''; levde omkring 300 f.Kr.<ref name=TH354/>) var en [[Hellas|gresk]] [[matematiker]] som virket i [[Alexandria]]. 
Han er omtalt som «geometriens grunnlegger»<ref name=LB/>, «geometriens far»<ref>{{kilde www| url=https://www.storyofmathematics.com/hellenistic_euclid.html |tittel=Who is Euclid |utgiver=The Story of Mathematics |besøksdato=2021-04-17}}</ref> og «den mest innflytelsesrike matematiker noesinne».<ref name=LB>{{kilde bok| forfattere= Leonard C. Bruno, Lawrence W. Baker |tittel=Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world |bind=1 |side=125 |forlag=U X L |utgivelsessted=Detroit | utgivelsesår=1999 |isbn=978-0-7876-3813-9 |url=https://archive.org/details/mathmathematicia00brun/page/124/mode/2up }}</ref>
Euklids mest kjent verk, [[Euklids Elementer|''Elementer'']], er blitt karakterisert som «den største og mest betydningsfulle lærebok i matematikk som er skrevet».<ref name=TH358>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.358 </ref>  Den systematiske oppbyggingen av læreverket, med bruk av [[aksiom|postulater]], definisjoner, setninger og bevis, har hatt svært stor betydning for all senere matematikk.  

Lite er kjent om Euklids liv. Den lille kunnskapen vi har, stammer i all hovedsak fra ''Det evdemiske sammendraget'' til [[Proklos]]. Opprinnelige greske utgaver av Euklids verker har også mer eller mindre gått tapt.  ''Elementer'' ble bevart i arabiske oversettelser og fra disse oversettelsene gjenintrodusert til europeisk kultur.  Euklid skrev også om andre emner enn matematikk, for eksempel om [[astronomi]] og [[optikk]]. 

Geometri basert på Euklids postulater fra ''Elementer'' er i ettertiden kalt [[euklidsk geometri]].  I mange tusen år ble postulatene oppfattet som selvinnlysende, inntil matematikere på
1800-tallet viste at alternative [[ikke-euklidsk geometri]]er er mulig. 

== Kilder ==
Den [[nyplatonisme|nyplatonske]] filosofen Proklos er hovedkilden til kunnskapen om Euklid.  Han levde på 400-tallet etter Kristus, over sju hundre år etter Euklid.  Proklos skrev et kommentarverk til
bok I av ''Elementer'', og i dette har han en introduksjon med et sammendrag av et tidligere historieverk, [[Evdemos fra Rhodos|Evdemos]]' ''Geometriens historie''.  Dette historieverket har gått tapt, og alt som finnes igjen er Proklos' sammendrag, i ettertiden kalt ''Det evdemiske sammendraget''.<ref name=TH530>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. II) s.530</ref><ref name=AH259>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.259ff </ref>   Dette har en kort omtale av Euklid.<ref name=TH354>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.354ff </ref> 

I tillegg til omtalen til Proklos, er Euklid nevnt mer eller mindre sporadisk av andre kilder, inkludert [[Arkimedes]] og [[Pappos fra Alexandria|Pappos]]. På samme måte som Proklos var det en rekke forfattere som skrev kommentarverk til ''Elementer'', inkludert [[Heron av Alexandria|Heron]], Pappos, [[Porfyrios]] og [[Simplicius]].<ref name=TH358/> Den første kjente romerske kilden som nevner Euklid, er [[Marcus Tullius Cicero|Cicero]]. Antagelig var ikke ''Elementer'' oversatt til latin på Ciceros tid, da teoretisk geometri ikke vekte særlig interesse blant romerne.  

Flere arabiske kilder gir biografiske opplysninger om Euklid, men disse er vurdert som lite troverdige.<ref name=TH354/>  Kildene reflekterer arabisk tendens til å ville knytte kjente grekere til østen, og også en arabisk vektlegging av stamtreet til kjente personer. Arabiske kilder gir også en feilaktig tolking an navnet Euklid, som de gjengir som ''Uklides'' eller ''Ikludes''.  Navnet ble tolket som sammensatt av ''Ukli'' («nøkkel») og ''dis'' («mål» eller «geometri») og skulle altså bety «nøkkelen til geometri».

I mange kilder fra middelalderen er Euklid omtalt som [[Evklid fra Megara]], men dette er en sammenblanding med en filosof som levde samtidig med [[Platon]].<ref name=TH354/>  Den første kjente forekomst av denne
sammenblandingen er fra [[Valerius Maximus]], som i første århundre etter Kristus skriver at Platon sendte bud på Euklid for å få hjelp til problemet med [[kubens fordobling]].

== Navnet Euklid ==

Navnet ''Euklid'' var relativt vanlig i [[antikkens Hellas]], og flere personer med dette navnet er omtalt i kilder.  For å poengtere hvilken Euklid det er snakk om, kalles matematikeren også for ''Euklid fra Alexandria''.
Navnet er sammensatt av ''Εὐ'' («god»), ''κλέος'' («ære») og [[Patronymikon|patronym-endingen]] ''ἴδης''.<ref>{{kilde www| url=https://www.behindthename.com/name/euclid |tittel=Euclid |utgiver=Behind the Name |besøksdato=2021-04-16}}</ref>  Som helhet kan navnet tolkes som «den ærerike».  

==Biografi==
[[Fil:Euclid Pisano OPA Florence.jpg|mini|upright=1.4|Euklid ved sine geometriske studier. Relieff fra kampanilen ved domkirken i [[Firenze]].  Relieffet er laget av Nino Pisano på 13-hundretallet.]]
Fødested til Euklid er ikke kjent.<ref name=TH354/><ref name=LB/>  Når noen biografier i dag oppgir Alexandria som fødested,<ref name=MT/> må dette betraktes som en gjetning.
Proklos har ikke hatt kunnskap om Euklids fødested og leveår.  Alt han gir er et omtrentlig levetidspunkt, ved å relatere Euklid til andre greske personer.  Euklid skal ha levd i «Ptolamaios' tid», en referanse til 
[[Ptolemaios I Soter]], som regjerte fra 306 til 283 f.Kr.  Det kan også fastslås med sikkerhet at Euklid virket ''før'' [[Arkimedes]] og [[Eratosthenes|Eratostenes]], men ''etter'' de første elevene til Platon.  
Arkimedes levde fra 287 til 212 f.Kr., og Platon døde rundt 348 f.Kr. Fra dette kan en fastslå at Euklid må ha levd og virket omkring 300 før Kristus.  
Fødselsåret er blitt anslått til omkring 325 f.Kr. og dødsåret til ca. 265 f.Kr.<ref name=AH259/><ref name=MT>{{kilde www| url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/ |tittel=Euclid of Alexandria |utgiver=MacTutor |besøksdato=2021-04-16}}</ref>

Den egyptisk-arabiske historikeren [[al-Qifti]] (død 1248) hevder at Euklid ble født i [[Tyr]] i Libanon og betraktet [[Damaskus]] som sin hjemby, men dette regnes som en tvilsom kilde.<ref name=TH354/>
Samme kilde oppgir også at far til Euklid skal ha hatt navnet Naukrates.

Proklos framstiller Euklid som [[platonisme|platoniker]], men dette er usikkert.  Det er likevel sannsynlig at Euklid fikk matematisk opplæring i Athen, fra Platons elever.  Ikke så mange andre kunne ha gitt Euklid
den nødvendige opplæringen.  I verkene til Euklid finner en ingen spor av den [[metafysikk|metafysiske]] tankegangen til Platon, som betraktet geometriske former som grunnleggende elementer i universet.  
Euklid er kanskje mer farget av [[Aristoteles]] og hans logikk-lære.<ref>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=1959| tittel=The history of the calculus and its conceptual development| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=45-46| isbn=0-486-60509-4 }}</ref>

Pappos forteller at [[Apollonios fra Perge|Apollonoios]] «oppholdt seg lenge hos Euklids elever i Alexandria». Dette er grunnlaget for å si at Euklid dannet en skole i Alexandria. [[Biblioteket i Alexandria]] ble opprettet av Ptolemaios I eller av sønnen og etterfølgeren [[Ptolemaios II Filadelfos|Ptolemaios II]], omtrent på den tiden da Euklid var i byen.  Det er ikke usannsynlig at Ptolemaios I hentet Euklid til Alexandria, som et ledd i dette arbeidet.<ref name=AH259/> Ifølge Proklos er det Ptolemaiois I som skal ha spurt Euklid om det finnes en enklere vei for å lære geometri enn gjennom ''Elementer'', hvorpå Euklid skal ha svart at «det er ingen kongelig vei til geometri».

Heller ikke hvor Euklid døde er kjent med sikkerhet, selv om det er antatt at han ble værende i Alexandria og døde der.<ref name=LB/>

Ut fra den grundige oppbyggingen av læreboka ''Elementer'' kan en anta at Euklid har vært en god pedagog. En fortelling om pedagogen Euklid er fortalt av [[Stobaios]]: En av Euklids elever, etter å ha lært det første teoremet,
skal ha spurt læreren om nytten av å studere matematikk. Euklid tilkalte en slave en slave og sa: «Gi ham en obol, siden han føler han må tjene på det han lærer».<ref name=TH354/><ref name=AH259/>  
En ''obol'' var en mynt som svarte til seks [[drakme]]r.

Mangel på biografiske kilder har fått enkelte til å spekulere i om Euklid ikke er en historisk person, men at navnet har vært et [[pseudonym]] som har vært benyttet av flere matematikere fra Alexandria.
En annen hypotese er at personen Euklid har ledet en gruppe matematikere som alle har bidratt til verkene.  Et argument for begge disse teoriene er en variasjon i skrivestil som en kan finne i verkene.  En slik variasjon
er imidlertid ikke uvanlig også fra en og samme forfatter, og tilhengerne av disse teoriene er i mindretall.<ref name=AH259/><ref name=MT/>

Euklid er kjent som lærer og forfatter, men selv er ikke Euklid blitt tillagt ''nye'' matematiske resultater.<ref name=CB115>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.115 </ref>  Det som i dag kalles [[Euklids algoritme]] i [[tallteori]], var kjent lenge før Euklid.<ref>{{Kilde bok | redaktør = Hans Niels Jahnke| forfatter= | utgivelsesår=2003| tittel=A history of analysis (A history of matematics vol.24)| forlag=American Mathematical Society| side=13| isbn=0-8218-2623-9}}</ref>

== ''Elementer'' ==
{{Utdypende|Euklids Elementer}}
Det er vanlig å tilskrive personen Euklid æren for å ha skrevet ''Elementer'', selv om det historisk grunnlaget for dette er spinkelt.  Verket består av 13 bøker, ofte nummerert med [[romertall]]. De fire første bindene omhandler plangeometri. Bind V til bind IX drøfter en form for tallteori, men i geometrisk form. Bind X behandler [[kommensurablitet (matematikk)|inkommensurable]] størrelser.  Bind XI-XIII tar for seg romgeometri.  
Det eksisterer også to tilleggsbind som i middelalderen feilaktig ble inkludert i ''Elementer'', men disse to bindene tror en i dag er skrevet av henholdsvis [[Hypsikles]] og [[Isidoros fra Milet]].<ref name=TH419>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.419ff </ref>   Hypsikles levde i den andre århundre før Kristus, mens Isidoros levde i det femte århundre etter Kristus.    

Mesteparten av stoffet i ''Elementer'' var kjent før Euklid, og verket er i hovedsak basert på materiale fra andre greske matematikere.  Storparten av materialet i bind I og II var kjent fra [[pytagoreerne]].<ref name=TH153>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.153 </ref>  Teorien i bind III og VI var kjent på [[Hippokrates fra Khíos|Hippokrates]]' tid. Innholdet i bind V er alminnelig antatt å komme fra [[Evdoksos fra Knidos|Evdoksos]].  Euklid skriver selv ingenting om opphavet til de ulike delene av verket.  

Det store bidraget til Euklid er systematikken, med den stegvise oppbyggingen av en helhetlig teori, basert på et grunnleggende sett av postulater og definisjoner.  Bruken av grunnbegreper er farget av vitenskapslæren til Aristoteles, som skilte skarpt mellom postulater og bruk av «allmenn innsikt» eller aksiomer.  Aksiomer var betraktet som mer selvinnlysende utsagn, som alle ville være enig i.  Postulater kunne være mindre opplagte og gjorde ikke krav på allmenn aksept, men ble tatt som forutsetning i en gitt undersøkelse.<ref name=CB116>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.116 </ref>  Det er vanlig å framstille ''Elementer'' som i bind I å inneholde fem postulater og fem «allmenne innsikter».<ref>{{ Kilde bok |forfatter=Ottar Ytrehus |utgivelsesår=1976 |tittel=Matematikkens historie |utgivelsessted = Oslo |forlag=Skolesjefen i Oslo, Avdeling for pedagogisk utviklingsarbeid |url=http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2012121406023 |side=129}}</ref><ref name=AHB69>[[#AHB| A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.69ff </ref><ref>{{kilde www| url=http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DPost%3Anumber%3D1 |tittel=Euclid, Elements |utgiver=Perseus Digital Library |besøksdato=2021-04-18}}</ref> Kildene er imidlertid ikke konsistente om dette, og noen kilder grupperer alle ti sammen.  I nyere matematikk er det ikke vanlig å skille mellom «postulater» og «aksiomer».<ref name=CB116/>  

''Elementer'' er basert på [[syntese (filosofi)|syntese]], ved alltid å bygge på kjente og beviste setninger, og fra disse utlede nye resultater.<ref name=TH371>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.371 </ref> Der det har vært nødvendig for sammenhengen, har Euklid konstruert nye bevis, hvis rekkefølgen i verket har gjort at kjente bevis ikke har fungert. Respekt for tradisjonen viser seg ved at han tar med enkelte eldre resultat som ikke blir brukt videre i verket.<ref name=TH354/>  

''Elementer'' var ikke et forsøk på å samle all tilgjengelig kunnskap, men en lærebok i matematikk, tenkt som en introduksjon til emnet.<ref name=CB115/>

Det greske navnet på ''Elementer'' er ''Stoikheion'', et ord som kunne bety både «bokstaver i alfabetet», «geometriske former» og «byggesteiner».<ref>{{kilde artikkel | forfattere=Pia de Simone |tittel=Plato’s use of the term stoicheion. Origin and implications |publikasjon=Rev. Archai  |år=2020 | bind=30 |url=http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1984-249X2020000300311 }}</ref> Euklid er ofte omtalt som ''stoikheiotes'' istedenfor ved navn, det vil si som «forfatter av ''Elementer''».  Flere greske matematikere hadde gitt ut verk med samme navn før Euklid, men ingen av disse verkene er bevart.  Platon brukte ordet ''stoikheion'' ofte, om en type grunnleggende kosmologiske elementer som bygger opp alle ting.  

==Andre verk==

I tillegg til ''Elementer'' har en bevart flere andre av Euklids verk:

* [[Data (Euklid)|''Data'']].  Dette verket drøfter hva det vil si at data er «gitt» i geometriske problem, og innholdet ligger tett opp til de fire første bøkene i ''Elementer''.  Fra et «gitt» linjestykke vil det for eksempelvære mulig å lage kopier.<ref name=TH421>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.421 </ref>
* ''Om deling'' (''av figurer'').  Verket er bare ufullstendig kjent, fra arabiske oversettelser.<ref name=TH425>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.425 </ref>  Verket diskuterer oppdeling av figurer, etter gitte krav og spesifikasjoner.  
* ''Phenomena''. Omhandler sfærisk astronomi.  Dette verket er bevart på originalspråket gresk.<ref name=TH440>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.440 </ref> 
* ''Optikk''.  Om perspektiv og synsinntrykk.  Euklid følger en tradisjon etter Platon og beskriver at synsinntrykk oppstår ved at øyet sender ut stråler, som reflekteres fra objektet en ser på.<ref name=TH441>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.441ff </ref> 
* ''Catoptrica'' («Om speil»).  Dette verket har blitt tillagt Euklid, men det er mer sannsynlig at det er skrevet av en annen forfatter, kanskje [[Theon av Alexandria|Teon fra Alexandria]].<ref name=TH441/>
* ''Elementer av musikk''.  Dette verket er tillagt Euklid av Proklos og av [[Marinos fra Tyr|Marinos]].  To verk som kan svare til denne beskrivelsen er bevart, men det er usikkert om Euklid er forfatteren.<ref name=TH444>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.444 </ref> 

I tillegg kjenner en flere verk av Euklid av omtale, men dette er verk som ikke er bevart i dag:

* ''Kjeglesnitt''.  Ifølge Pappos skrev Euklid fire bøker om [[kjeglesnitt]], og disse ble komplettert av Apollonios, som skrev fire tilleggsbind.  Antagelig var Euklids bøker om kjeglesnitt alt tapt på Pappos' levetid.<ref name=TH438>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.438 </ref> 
*''[[Porismata]]''.  Innholdet i verket er bare kjent gjennom en beskrivelse fra Pappos.<ref name=TH431>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.431ff </ref> En hypotese er at verket var et biprodukt av arbeidet med kjeglesnittene, med drøfting av kurver.  Tolkingen av tittelen på verket er omdiskutert. En «porisme» kunne ifølge Proklos bety to ulike ting: Det kunne tilsvare et [[korrolar]], en slutning som kan utledes fra en større setning.<ref name=TH372>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.372 </ref>  Den andre betydningen - som antagelig er brukt i tittelen på Euklids' verk - er uklar, omtalt av Proklos som «verken problem eller teorem».  En tolking er at en porisme er «ufullstendige teorem som uttrykker en relasjon mellom variable». Dette kan være det nærmeste gresk matematikk kom ligninger for å beskrive en kurve.<ref name=CB22>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=2004| tittel=History of analytical geometry| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=22f| isbn= 0-486-43832-5 }}</ref>  ''Porismata'' var et avansert verk, og [[Thomas Heath]] omtaler det som «kanskje det viktigste av alle Euklids verk».<ref name=TH431/>
* ''Psevdaria''.  Proklus kaller dette verket «Boken om feilslutninger». Dette var antagelig et verk om elementær geometri, med presentasjon av korrekte og feilaktige logiske slutninger.<ref name=TH430>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.430 </ref>
* ''Flatepunkt''.  Også tittelen på dette verket er uklar.  
* Arabiske kilder tillegger Euklid også forfatterskapet til flere bøker om mekanikk, inkludert ''Boken om det tunge og det lette''.<ref name=TH445>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.445 </ref>

Verkene ''Porismata'' og ''Flatepunkt'' skal ha inngått i en samling omtalt av Proklos og Pappos som «Analysens skattkiste».<ref name=CB22/><ref name=TH431/>  Også verk av [[Aristaios den eldre|Aristaios]] og Appolonios 
skal ha vært inkludert i denne samlingen.  Ifølge Pappos skal samlingen ha vært spesiell verdifull for alle som ønsket å løse problemer som involverte kurver.  

== Euklid i ettertiden ==

=== Overlevering av verkene ===
[[Fil:P. Oxy. I 29.jpg|thumb|Et av de eldste fragmentene av ''Elementer'', med tekst på gresk.  Fra 75-125 e.Kr.]]
Som tidligere nevnt var det en rekke matematikere som skrev kommentarverk til Euklids ''Elementer''.  Teon fra Alexandria (ca. 335-405 e.Kr.) reviderte ''Elementer'', både språklig og innholdsmessig.  I revisjonen fyller han ut 
steg i bevisene og ga alternative bevis.  Det er Teons versjon som er bevart i de fleste greske fragmentene vi i dag har at verket.

Noen eldre kilder hevder at [[Boëthius]] (ca. 480-525) oversatte Euklid til latin.  Det geometriske verket som i dag er kjent etter Boëthius, er imidlertid høyst sannsynlig satt sammen fra flere kilder på 1100-tallet.
Verket inneholder et fåtall deler av de fire første bindene av ''Elementer''.  Tegn tyder på at den som laget sammensetningen, kan ha hatt tilgang til eldre oversettelser til latin, av uvisst opphav.<ref name=TH359>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.359 </ref> 

Til den arabiske verden kon ''Elementer'' i det åttende århundre, ved utveksling med [[Østromerriket|det østromerske riket]].  Flere arabiske oversettelser av deler av verket er bevart.   Fra arabisk ble
verket igjen oversatt til latin, blant annet av [[Adelard fra Bath]] (ca.1075-1160) og [[Gerard fra Cremona]] (ca. 1114-1187).<ref name=TH361>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.361ff </ref> 

Den første trykte utgaven av ''Elementer'' ble gitt ut i Venezia i 1482.<ref name=TH364>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.364 </ref>  En fullstendig utgave på engelsk kom
første gang i 1570, i oversettelse av [[Henry Billingsley]].  En viktig oversettelse til latin ble utført av [[Isaac Barrow]] i 1655, fulgt av en engelsk versjon i 1660.  Barrow var professor ved universitetet 
i Cambridge.

[[François Peyrard]] (1760-1822) oversatte ''Elementer'' til fransk.  Under arbeidet fant Peyrard i Vatikanet en versjon av ''Elementer'' som ikke inneholdt Teons revisjoner. Det er antatt at denne versjonen er eldre enn Teons.
Versjonen er i dag omtalt bare som «P», til ære for finneren.<ref name=TH360>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.360 </ref> 

Den italienske misjonæren [[Matteo Ricci]] oversatte på begynnelsen av 1700-tallet deler av ''Elementer'' til kinesisk, fra en latinsk versjon. Tidlig på 1800-tallet ble det også laget en versjon på sanskrit, basert på en arabisk versjon.<ref>{{kilde www| url=https://www.hf.uio.no/ikos/english/research/groups/a-cross-disciplinary-study-of-euclids-elements/ |tittel=A Cross-Disciplinary Study of Euclid’s Elements |utgiver=UiO |besøksdato=2021-04-18}}</ref>

En nyere oversettelsen til engelsk ble gjort av Thomas Heath, gitt ut første gang i 1908.

En generell utfordring med Euklids verker har vært å forsøke å føre disse tilbake til originalversjonene. Oversettelser, tillegg og andre redigeringer gjør at verkene finnes i mange ulike utgaver.

=== ''Elementer'' som lærebok ===

Fram til 1200-tallet ble studiet av matematikk i Europa for en stor del neglisjert.  Da de første universitetene ble grunnlagt i middelalderen, ble studiet av matematikk svært ofte en del av undervisningen. I [[de frie kunstene]] som var grunnlaget for undervisningen, inngikk [[aritmetikk]] og geometri.  Euklids ''Elementer'' ble en viktig lærebok, men hvor mye som krevdes, kunne variere fra universitet til universitet. Undervisning basert på ''Elementer'' ble gitt i Wien  (grunnlagt 1365), Heidelberg (1386) og i Køln (1388).  Wien krevde gjennomgang av første bind for lavere grad, men kjennskap til de fem første bindene for å få lisens til å undervise.  I Paris ble undervisning i geometri på 1300-tallet neglisjert, mens ved universitetet i Praha ble det til den høyere graden krevd at en hadde gjennomgått de seks første bindene av ''Elementer''.  I Oxford, midt på 1500-tallet, var studiet av de to første bindene obligatorisk.<ref name=TH368>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.368 </ref>

[[Isaac Newton]] skal ha kjøpt sin første utgave av ''Elementer'' i 1662 eller 1663, og han startet matematikkstudiet i 1664.

=== Euklidsk geometri ===

Geometri basert på Euklids postulater i ''Elementer'' er i dag kalt [[euklidsk geometri]]. Ettertiden har erkjent at grunnlaget som Euklid la for geometrien, ikke er tilstrekkelig rigorøst.
For å rette på dette, er det foreslått flere moderne versjoner av aksiomene for euklidsk geometri, blant annet av [[David Hilbert]] i 1899.<ref name=AHB167>[[#AHB| A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.167f </ref>

I planet begrenset Euklid seg i ''Elementer'' til studiet av punkt, linjer og sirkler, mens det i dag ikke ligger noen begrensning hvilke typer objekter en studerer i euklidsk geometri. I tradisjonen etter Euklid har en skilt mellom ''elementær geometri'' (punkt, linjer, sirkler) og ''høyere geometri'' (kjeglesnitt, [[transendental kurve|transendentale kurver]]).<ref name=AHB135>[[#AHB| A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.135 </ref>
[[Konstruksjon (geometri)|Geometrisk konstruksjon]] er i elementær geometri begrenset til kun å omfatte konstruksjoner som lar seg gjennomføre med passer og linjal.  Disse hjelpemidlene kan også bare brukes i overensstemmelse
med Euklids postulater og kalles da ''euklidske hjelpemidler''. Detaljer om hvordan disse reglene kom til å bli etablert er ikke kjent, men de ble praktisert ''før'' Euklid virket.  Tradisjonen har knyttet opphavet til Platon, men det er tegn på at reglene var i bruk også før Platon.<ref name=AG13>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=2004| tittel=History of analytical geometry| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=13-14| isbn= 0-486-43832-5 }}</ref><ref name=TH288>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.288</ref> Platon mente at linjer og sirkler var mer ideelle objekter enn andre typer kurver.

''Elementer'' fikk svært stor betydning for overføring av gresk matematikk til resten av Europa og for revitaliseringen av matematikk i middelalderen.  Begrensningene som er innebygget i verket, var kanskje 
også et hinder for videreutvikling av nyere matematiske retninger.  [[Carl Benjamin Boyer|Carl Boyer]] spekulerer i om kanskje noen av Euklids verker som i dag
er tapt, har hatt større betydning for utvikling av [[analytisk geometri]], for eksempel ''Porismata'' og ''Flatepunkter''.<ref name=CB22/> 

=== Parallellpostulatet ===
Euklids fire første postulater ble lenge betraktet som selvinnlysende.  Det femte, [[parallellaksiomet|parallellpostulatet]], skapte imidlertid hodebry og kontroverser.  Mange matematikere var misfornøyd med dette postulatet og forsøkte enten å finne alternative formuleringer eller å bevise det ved hjelp av de fire første postulatene.  Både [[Klaudios Ptolemaios|Ptolemaios]] og Proklos forsøkte å finne et slikt bevis. 

Diskusjonen om parallellpostulatet skulle forfølge matematikere i flere tusen år.  Først med utviklingen av [[ikke-euklidsk geometri]]er i første halvdel av 1800-tallet ble det vist at 
postulatet ikke er nødvendig.  Geometri basert kun på de fire første (reviderte) postulatene kalles [[nøytral geometri]]. Ved å ''erstatte'' parallellpostulatet, kan en definere alternative ikke-euklidske 
geometrier.<ref name=AHB167/>

== Referanser ==
<references/>

== Litteratur ==

*{{Kilde bok
| ref=CB
| forfatter= Carl B.Boyer
| utgivelsesår=1968
| tittel=A history of mathematics
| utgivelsessted= Princeton, USA
| forlag= John Wiley & Sons, Inc
| isbn= 0-691-02391-3 }}
*{{Kilde bok
| ref=TH                                           
| forfatter= Thomas Heath
| utgivelsesår=1981
| tittel=A history of Greek mathematics
| bind=I og II
| utgivelsessted=New York
| forlag=Dover Publications
| isbn=0-486-24073-8 }}
*{{Kilde bok
| ref=AH                                          
| forfatter= Audun Holme
| utgivelsesår=2008
| tittel=Matematikkens historie
| utgivelsessted=Bergen
| forlag=Fagbokforlaget
| bind=1
| isbn=978-82-450-0697-1}}
*{{Kilde bok
| ref=AHB                                         
| forfatter= Audun Holme
| utgivelsesår=2002
| tittel=Geometry.  Our cultural heritage.
| utgivelsessted=Berlin
| forlag=Springer-Verlag
| isbn=3-540-41949-7}}

==Eksterne lenker== 

=== Om Euklid ===
* {{kilde www| url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euclid.html |tittel=Euclid of Alexandria |utgiver=MacTutor University of St. Andrews |språk=en | besøksdato=2021-04-18}}

=== Om Euklids verker ===
* {{kilde www |url=https://www.c82.net/euclid/#books |tittel= Byrne's Euclid | utgiver=Nicholas Rougeux  |kommentar=Nettutgave av Elementer i Oliver Byrnes oversettelse fra 1847 |språk=en |besøksdato=2021-04-18}}
* {{kilde www| url=http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DPost%3Anumber%3D1 |tittel=Euclid, Elements |utgiver=Perseus Digital Library |kommentar=Nettutgave av Elementer i Thomas Heaths oversettelse| språk=en | besøksdato=2021-04-18}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Greske matematikere fra oldtiden]]
[[Kategori:Geometere]]
[[Kategori:Personer fra Alexandria]]
[[Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha]]