Redigerer Einsteins oscillatormodell

[[Fil:DebyeVSEinstein.jpg|thumb|300px|Varmekapasitetene til faste stoffer ifølge oscillatorteoriene til [[Einstein]] og [[Peter Debye|Debye]]. ]]

'''Einsteins oscillatormodell''' ble foreslått i 1907 av [[Albert Einstein]] for å forklare [[varmekapasitet]]en til faste stoffer. Den representerer det første forsøk på å beskrive egenskapene til slike materialer ved bruk av tidlig [[kvantemekanikk]] som [[Max Planck]] hadde benytteti i 1900 for [[varmestråling]]. 

Selv om modellen var en grov forenkling, ga den likevel en mye bedre kvalitativ forståelse av de observerte varrmekapasitetene enn klassisk teorier var i stand til. De forutsa at disse skulle være uavhengige av temperaturen med en konstant verdi. Denne konklusjonen var kjent som [[Spesifikk varmekapasitet#Dulong-Petits lov|Dulong-Petits lov]]. Eksperimentene viste derimot at varmeekapasitene avtok mot null ved lave temperaturer.<ref name="Pais"> A. Pais, ''Inward Bound'', Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref> 

Modellen til Einstein var baserrt på den enkle antagelsen at alle partiklene i et fast stoff kan vibrere om sine likevektsposisjoner som [[Harmonisk oscillator|harmoniske oscillatorer]] med samme frekvens. Einstein selv innså svakheten med denne antagelsen, og den ble rettet opp av [[Peter Debye]]  i 1912 . Han tok hensyn til at oscillatorene er koblet sammen med hverandre og vil derfor opptre med et like stort stort antall [[Harmonisk oscillator#Koblete oscillatorer|egensvingninger]] som det er partikler i materialet. Denne mer realistiske modellen benyttes fremdeles ved beregninger av varmekapasiteten for faste stoffer.<ref name="Schroeder"> D.V. Schroeder, ''An Introduction to Thermal Physics'', Addison Wesley Longman, San Fransisco, CA (2000). ISBN 0-201-38027-7.</ref>

==Bakgrunn==

På begynnelsen av 1900-tallet syntes den [[Spesifikk varmekapasitet|spesifikke varmekapasiteten]] for faste stoffer ved vanlig romtemperatur å ha en nesten konstant verdi rundt {{nowrap|''c<sub>V</sub>&thinsp;'' {{=}} 3''R&thinsp;''}} som også var den samme for ulike stoffer. Disse egenskapene ble oppsummert i [[Spesifikk varmekapasitet#Dulonng-Petits lov|Dulong-Petits lov]] og ble gitt en forklaring basert på [[Statistisk mekanikk|ekvipartisjonsprinsippet]]. Man tenkte seg at molekylene i et fast stoff kunne utføre små [[svingning]]er rundt sine likevektsposisjoner. For et homogent materiale kan disse foregå i tre forskjellige retninger. Ifølge dette prinsippet vil da oscillasjonene til ett molekyl  bidra med {{nowrap|3&sdot;(1/2 + 1/2)''k<sub>B</sub>&thinsp;T&thinsp;'' {{=}} 3&thinsp;''k<sub>B</sub>&thinsp;T&thinsp;''}} til den [[indre energi]]en når den uttrykkes ved [[Boltzmanns konstant]] ''k<sub>B</sub>''. Ett [[mol (enhet)|mol]] av stoffet vil derfor ha varmekapasiteten

: <math> c_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = 3R </math>

da  [[gasskonstant]]en ''R'' =  ''N<sub>A</sub>&thinsp;k<sub>B</sub>&thinsp;'' med bruk av [[Avogadros konstant]] ''N<sub>A</sub>''. Men dette resultatet hadde begynt å vise seg mer og mer usikkert da flere materialer ved lave temperaturer hadde varmekapasiteter som lå betraktelig under denne klassiske verdien.<ref name = Pais/> 

[[Einstein]] var på denne tiden også opptatt av å forstå egenskapene til [[sort stråling]]. I den forbindelse hadde [[Max Planck]] i 1900 konstruert sin banebrytende [[Plancks strålingslov|formel]] for dens frekvensfordeling ved å anta at materialet i veggene som omsluttet strålingen, var [[Harmonisk oscillator|harmoniske oscillatorer]] som kun kunne oppta og avgi stråling i diskrete [[kvant]]. 

===Kvantisert oscillator===
Denne beskrivelsen av et fast stoff tok Einstein over i en ny beregning av dets indre energi. Han antok at hvert oscillerende molekyl satt fast  i et [[Krystallstruktur|krystallinsk gitter]] og at alle kunne svinge i tre retninger med samme [[frekvens]] ''&nu;''.  Ifølge Planck kunne nå energien som oppstår fra oscillasjonene til ett molekyl i én retning, da bare ta de diskrete verdiene {{nowrap|''E<sub>n</sub>'' {{=}} ''nh&nu;&thinsp;''}}  hvor ''h&thinsp;'' er [[Plancks konstant]] og kvantetallet ''n'' = 0, 1, 2, etc.

Ved å gjøre bruk av [[Boltzmann-fordeling#Kvantisert oscillator|Boltzmann-fordelingen]], blir  den midlere energien til én oscillator

: <math> \langle E \rangle =  {3h\nu\over e^{h\nu/k_BT} - 1 } </math>

når den er [[termisk likevekt]] med omgivelsene ved temperatur ''T&thinsp;'' og man adderer sammen bidragene fra de tre, uavhengige svingeretningene. Hvis temperaturen er så høy at ''k<sub>B</sub>&thinsp;T&thinsp;'' >> ''h&nu;'', kan man rekkeutvikle [[eksponensialfunksjon]]en i nevneren. Det gir

: <math> \langle E \rangle  =  {3h\nu\over  h\nu/k_BT + \cdots } =  3k_BT + \cdots </math>

som er resultatet til Dulong og Petit basert på det klassiske ekvipartisjonsprinsippet. Men så snart temperaturen er lavere enn en viss «Einstein-temperatur» <math> T_E = h\nu/k_B, </math>  sier kvantemekanikken at den indre energien skal være mindre.<ref name = Schroeder/>

==Spesifikk varmekapasitet==

Når man betrakter ett [[mol (enhet)|mol]] med stoff, det vil si med ''N<sub>A</sub>&thinsp;'' molekyler, vil det ifølge Einsteins modell ha en indre energi

: <math> U =  {3 N_A h\nu\over e^{h\nu/k_BT} - 1 } </math>

Ved derivasjon med hensyn på temperaturen blir den spesifikk varmekapasitet nå

: <math> c_V =  3N_A k_B \left({h\nu\over k_BT}\right)^2 {e^{h\nu/k_BT} \over (e^{h\nu/k_BT} - 1)^2 } </math> 

Ved så høye temperaturer at <math> T \gg T_E, </math> gir dette Dulong-Petits verdi <math> c_V = 3R.</math>  Derimot i den motsatte grensen der temperaturen  nærmer seg null, gir Einsteins modell

: <math> c_V  =  3R  \left({h\nu\over k_BT}\right)^2 e^{- h\nu/k_BT}, \quad T \ll T_E </math>

Den spesifikke varmekapasiteten forventes altså å gå eksponensielt mot null ved svært lave temperaturer.<ref name = AE> A. Einstein,  ''Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme'', Annalen der Physik, '''22''', 180–190 (1907). [http://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/einstein-papers/1907_22_180-190.pdf PDF.] </ref>

På tross av at dette først syntes å være mye bedre i overensstemmelse med målte verdier, ble det snart klart at varmekapasiteten nærmer seg null på en litt annen måte enn hva dette resultatet sier. Dette problemet ble løst i 1912 da [[Peter Debye]] forbedret modellen til Einstein ved å forkaste antagelsen om at alle oscillatorene svinger med samme frekvens. Han viste at når man i stedet antar at molekylene er koblet sammen med identiske, harmoniske krefter, vil de oscillere med frekvenser som i praksis danner et kontinuum. De tilsvarer frekvensene som opptrer når materialet skaper [[lydbølge]]r. I denne [[Debye-modell]]en nærmer varmekapasiteten seg null som ''T''<sup>&thinsp;3</sup> og stemmer enda bedre med observasjonene.<ref name="Goodstein"> D.L. Goodstein, ''States of Matter'', Prentice Hall Inc, New Jersey (1975). ISBN 0-13-843557-X. </ref>

Einstein selv var klar over begrensningene til sin egen modell og understreket også at den ikke kunne forklare hvorfor man ikke kunne se noe bidrag til varmekapasiteten fra [[elektron]]ene i metaller. På den tiden hadde [[Paul Drude]] lansert sin [[Drude-modell|teori]] for ledning av elektrisk strøm basert på antagelsen at metaller inneholder elektroner som kan bevege seg fritt bortsett fra skjeldnere kollisjoner med krystallgitteret. Dette problemet ble først løst flere år senere da det ble klart at elektroner ikke følger klassisk [[Maxwell-Boltzmann statistikk]], men må beskrives med kvantemekanisk [[Fermi-Dirac statistikk]].

==Referanser==
<references/>

==Eksterne lenker==

* M. Beekman et al., [https://arxiv.org/pdf/2102.04258 ''Clarification on Einstein’s model for heat capacity of a solid''], matematisk grunnlag (2021)

[[Kategori: Fysikk]]
[[Kategori: Termodynamikk]]
[[Kategori: Faststoffysikk]]
[[Kategori: Kvantemekanikk]]