Redigerer Dirac-formalisme

[[Fil:P.A.M. Dirac at the blackboard.jpg|thumb|280px|[[Paul Dirac]] under en forelesning.]]
'''Dirac-formalisme''' elller '''bra-ket-notasjon''' benyttes i [[lineær algebra]] hvor operatorer virker i et [[komplekst tall|komplekst]]
[[vektorrom]]. Den ble oppfunnet av den engelske fysiker [[Paul Dirac]] i 1939 for bruk i [[kvantemekanikk]], men kan lett benyttes ved andre anvendelser.

En [[vektor (matematikk)|vektor]] '''v''' omtales som en «ket-vektor» og betegnes med symbolet <math> |v \rangle </math>, mens en dual vektor '''u'''* kalles en «bra-vektor» med betegnelsen <math> \langle u | </math>. Dermed kan [[indreprodukt]]et av disse to vektorene skrives som <math>  \langle u| v \rangle. </math>  På denne formen minner dette om en engelsk ''bracket&thinsp;'' hvor bokstaven ''c&thinsp;'' er erstattet med en loddrett strek som skiller vektorene.<ref name = Dirac-QM> P.A.M. Dirac, ''The Principles of Quantum Mechanics'', Oxford at the Clarendon Press, Oxford (1947).</ref>

==Matrisenotasjon==
I et komplekst vektorrom <math>\mathbf{C}^N </math> med en basis kan operatorer representeres som ''N'' &times; ''N''  [[matrise]]r. De virker på vektorer som er kolonnematriser og kan betraktes som ket-vektorer. Hvis vektorens komponenter er ''v<sub>n</sub>&thinsp;'' hvor indeksen ''n'' = 1, 2, ..., ''N'', kan den derfor representeres ved kolonnevektoren

: <math> | v \rangle = (v_1, v_2, \ldots , v_N)^T </math>

hvor ''T&thinsp;'' står for [[Matrise#Transponering|transponering]].

Når en operator <math> \hat{A} </math> virker på denne, vil den gi en ny ket-vektor <math> | v' \rangle = \hat{A} |v \rangle. </math> Da operatoren er representert ved matrisen ''A'' = (''A<sub>mn</sub>'') i denne basisen, er hver komponent til denne transformerte vektoren  gitt som

: <math> v'_m  = \sum_{n=1}^N A_{mn} v_n </math>

Den duale vektoren til ket-vektoren <math> | v \rangle </math> er bra-vektoren <math> \langle v | </math> med komponenter i en radvektor,

: <math> \langle v | = (v_1^*, v_2^*, \ldots , v_N^*) </math>

Formelt finnes den fra kolonnevektoren <math> | v \rangle </math> ved  [[kompleks konjugasjon]] etterfulgt av transponering.<ref name="Boas"> M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.</ref>

Indreproduktet mellom en bra-vektor <math> \langle u | </math> og ket-vektoren <math> | v \rangle </math>  kan uttrykkes ved vektorenes komponenter som

: <math>\begin{align} \langle u| v \rangle &= \sum_{n=1}^N u_n^* v_n \\ &= u_1^*v_1 + u_2^*v_2 + \ldots + u_N^*v_N \end{align}</math>

Formelt kan derfor bra- og ket-vektorer betraktes som rad- og kolonnevektorer med komplekse komponenter.

==Kvantemekanikk==
Kvantemekaniske [[bølgefunksjon]]er kan beregnes fra en [[Kvantemekanikk#Kvantemekanikkens postulater|tilstandsvektor]]  <math> | \psi\rangle </math> i et komplekst og lineært vektorrom kjent som et [[Hilbert-rom]]. Det kan ha uendelig mange dimensjoner og vektorene kan ha indekser som varierer kontinuerlig.

Med en diskret basis i Hilbert-rommet kan denne «ortonormeres» slik at

: <math> \langle m | n \rangle = \delta_{mn} </math>

hvor det vanlige [[Kronecker-delta]]et opptrer på høyre side. I denne basisen kan man uttrykke tilstandsvektoren som

: <math> |\psi\rangle = \sum_n \psi_n |n\rangle </math>,

hvor komponenten  <math>  \psi_n = \langle n | \psi \rangle </math> er å betrakte som en «sannsynnlighetsamplitude» som angir graden av sannsynlighet for at systemet befinner seg i tilstand <math> |n\rangle .</math>

For en partikkel som kan bevege seg langs en linje med kontinuerlig koordinat ''x'', er det naturlig å benytte en [[Kvantemekanikk#Koordinatbasis|koordinatbasis]] basert på egentilstander <math> |x \rangle </math>. Deres normering er nå

: <math> \langle x' |x \rangle = \delta(x' - x) </math>,

hvor [[Diracs deltafunksjon]] opptrer på høyre side. 

[[Bølgefunksjon]]en til partikkelen er formelt komponenten <math>\psi(x) = \langle x|\psi\rangle. </math>  Den er sannsynlighetsamplituden for at partikkelen skal finnes i punktet ''x''. Indreproduktet mellom to tilstandsvektorer <math> |\psi\rangle </math> og <math> |\phi\rangle </math> er nå gitt som

: <math>  \langle \phi |\psi \rangle = \int_{-\infty}^\infty \!dx\, \phi^*(x) \psi(x) </math>.

Denne beskrivelsen lar seg lett utvide til å gjelde for en kvantemekanisk partikkel som kan bevege seg i tre dimensjoner.<ref name="Griffiths"> D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

==Referanser==
<references />

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kvantemekanikk]]