Redigerer Delingsforhold

[[Fil:Teilverhaeltnis-definition.png|300px|thumb|Forskjellige delinger av linjestykket ''AB'' med resulterende delingsforhold.]]
'''Delingsforhold''' blir brukt i [[geometri]]en til å angi forholdet mellom lengdene til to deler av et [[linje]]stykke. I enkleste tilfelle kan man tenke seg en [[linje]] som går gjennom to punkter ''A'' og ''B''. Linjestykket mellom disse to punktene kan da betegnes med ''AB''. Et nytt punkt ''T'' på dette linjestykket deler det i to mindre stykker ''AT'' og ''TB''. Delingsforholdet er da gitt ved brøken {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} ''AT/TB''}} og angis også ofte som (''A,B;T''). Hvis linjestykket ''AB'' halveres av punktet ''T'', er derfor ''&lambda;'' = 1. Jo nærmere ''T'' ligger ''A'', desto mindre blir delingsforholdet. I det motsatte tilfellet når ''T'' nærmer seg ''B'', vokser det mot uendelig.

Hvis man angir en viss retning langs linjen slik at den har en ''orientering'', vil et linjestykke ha en positiv eller negativ verdi avhengig av om man går med eller mot denne retningen. Betegnelsen ''AB'' betyr da at man beveger seg fra ''A'' mot ''B''. Det medfører at ''AB = - BA''.

Dette gjør det mulig å utvide definisjonen av delingsforholdet til å gjelde også når punktet ''T'' ligger utenfor punket ''A'' eller punktet ''B''. Dette kan da kalles '''utvendig deling''' og vil gi et negativt delingsforhold bortsett fra verdien ''&lambda;'' = - 1 som ikke lar seg konstruere. I det motsatte tilfellet er delingsforholdet positivt og man har en '''innvendig deling'''.

Delingsforholdet ble benyttet av den tyske matematiker [[August Ferdinand Möbius|August Möbius]] i 1827 da han introduserte [[barysentriske koordinater]] i [[geometri]]en. De var det første eksempel på ''homogene koordinater'' som senere viste seg spesielt egnet i [[projektiv geometri]].

I [[euklidsk geometri]] kan verdien av delingsforholdet (''A,B;T'') beregnes fra lengdene til linjestykkene ''AT'' og ''TB''. Det er derfor uforandret eller '''invariant''' under translasjoner og rotasjoner. Men det har en bredere betydning da det er invariant også under [[affin transformasjon|affine transformasjoner]]. Disse definerer en mer generell [[affin geometri]] hvor lengder av linjestykker ikke lenger er definert, heller ikke vinkler mellom linjer. På tross av det er likevel delingsforholdet {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} ''AT/TB''}} veldefinert. Derimot er det ikke invariant under [[projektive transformasjoner]], men kan for det tilfellet benyttes til å definere det invariante [[dobbeltforhold]]et.

==Affin geometri==

Et punkt ''T'' på linjen mellom ''A'' og ''B'' kan i [[affin geometri]] angis som {{nowrap|''T'' {{=}} (1- ''t'')''A'' + ''tB''&thinsp;}} hvor ''t'' er en parameter som også kalles en ''barysentrisk koordinat''. For ''t'' = 0&thinsp; er ''T = A'', mens ''t'' = 1&thinsp; gir ''T = B''. Midtpunktet mellom ''A'' og ''B'' tilsvarer ''t'' = 1/2. Dette kan også skrives som  {{nowrap|''T'' {{=}} ''A'' + '''v'''''t''}} hvor [[Vektor (matematikk)|vektoren]] '''v''' = ''B - A&thinsp;'' forbinder punktene ''A'' og ''B''.

[[Fil:Teilverhaeltnis-vektoren.png|250px|thumb|Posisjonsvektorer ved indre deling av linjestykket ''AB'' i punktet ''T''.]]
Velger man et punkt ''O'' som [[origo]] i dette [[affint rom|affine rommet]], kan man da angi punktet ''T'' ved posisjonsvektoren  {{nowrap|'''r'''<sub>''T''</sub> {{=}} ''T - O&thinsp;''}}  og tilsvarende for punktet ''A''. Da har man tilsvarende at

: <math> \mathbf{r}_T = \mathbf{r}_A + \mathbf{v}t. </math>

Man kan nå identifisere linjestykket ''AT&thinsp;'' med vektoren {{nowrap|'''r'''<sub>''T''</sub> - '''r'''<sub>''A''</sub> {{=}} '''v'''''t''&thinsp;}} og tilsvarende ''TB'' med {{nowrap|(1 - ''t'')'''v'''}}. På den måten vil linjestykket {{nowrap|''AB {{=}} AT + TB&thinsp;''}} tilsvare vektoren '''v'''. Dermed har man for delingsforholdet

: <math> \lambda = {t\over 1 - t} </math>

hvor ikke lengden til vektorene inngår.<ref name = STL>A. Søgaard og R. Tambs Lyche, ''Matematikk for den høgre skolen'' II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).</ref>

Hvis linjestykket ''AB&thinsp;'' er en indre del av et større linjestykke ''PQ&thinsp;'', vil man på tilsvarende måte kunne skrive {{nowrap|''T'' {{=}} (1- ''t'')''P''+ ''tQ''&thinsp;}}. Punktet ''A'' er da angitt ved parameterverdien ''t = a&thinsp;'', mens punktet ''B&thinsp;'' har ''t = b''. Da blir på samme måte

: <math> \lambda = {t -a\over b - t} </math>

Det viser at delingsforholdet er negativt når '' t < a&thinsp;'' som tilsvarer at ''T&thinsp;'' ligger utenfor punktet ''A''. Det samme skjer når ''t > b&thinsp;'' som betyr at delingspunktet ligger utenfor punktet ''B''. Mer nøyaktig, så er da ''&lambda;'' < - 1, mens i det første tilfellet ligger delingsforholdet i intervallet {{nowrap|- 1 < &lambda; < 0}}. Når punktet ''T&thinsp;'' nærmer seg ''B'', går delingsforholdet mot &plusmn;&infin;, avhengig av fra hvilken side tilnærmelsen skjer.<ref name = Fenn>R. Fenn, ''Geometry'', Springer Undergraduate Mathematics Series, London (2003). ISBN 1-85233-058-9.</ref>

==Harmonisk deling==

Betrakter man et linjestykke ''AB''&thinsp; som blir innvendig delt av et punkt ''T'', så kan man alltid finne et annet punkt ''S'' som deler linjestykket utvendig og som har et like stort delingsforhold, men med motsatt fortegn. Man sier da at punktene ''S&thinsp;'' og ''T&thinsp;'' er '''harmonisk konjugerte''' med hensyn til linjestykket ''AB''. Da oppfyller delingsforholdene  (''A,B;T'') = - (''A,B;S'')&thinsp; som kan skrives som

: <math> {b - t\over t - a} = - {b - s\over s - a} </math>

hvor ''s&thinsp;'' og ''t&thinsp;'' er de affine parametrene for punktene ''T&thinsp;'' og ''S''. Nå er ''b - t = b - a'' - (''t - a'')&thinsp;  og ''b - s'' = ''b - a'' - (''s - a'')&thinsp; som gir

: <math> {2\over b - a} = {1\over t - a} +  {1\over s - a}. </math>

I [[euklidsk geometri]] vil  linjestykket ''AB&thinsp;'' ha en lengde proporsjonal med parameterdifferansen ''b - a&thinsp;'' og tilsvarende for de andre linjestykkene. Resultatet kan da skrives som

: <math> {2\over AB} = {1\over AT} + {1\over AS}   </math>

som viser at ''AB&thinsp;'' er det [[harmonisk gjennomsnitt|harmoniske gjennomsnittet]] av linjestykkene ''AT&thinsp;'' og ''AS''. Man sier også at linjestykket ''AB&thinsp;'' er [[harmonisk deling|harmonisk delt]] av punktene ''T&thinsp;'' og ''S''. Gitt ''A'', ''B&thinsp;'' og ''T'', kan man ved en ren geometrisk konstruksjon finne punktet ''S&thinsp;'' som gir en slik spesiell deling.

==Referanser==
<references/>

== Se også ==

* [[Harmonisk deling]]
* [[Harmonisk gjennomsnitt]]
* [[Dobbeltforhold]]

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Projektiv geometri]]
[[Kategori:Analytisk geometri]]
[[Kategori:Divisjon]]
[[Kategori:Forhold]]