Redigerer Buelengde

[[Fil:Arc length.gif|thumb|alt=Buelengde.|Utretting av en kurve]]

'''Buelengde''' eller '''kurvelengde''' er i [[geometri]] lengden av en [[bue (geometri)|bue]], det vil si et vilkårlig segment av en [[kurve]].<ref name=COLLINS1/> For at lengden skal være definert, må buen kunne 
«rettes ut», og dette setter matematisk krav til definisjon av kurven.

Beskrivelse av kurver blir ofte enklere og mer elegant når buelengden brukes som parameter i kurvedefinisjonen, sammenlignet med andre valg av parameter.  

== Prinsippet for definisjonen av buelengde ==
[[File:Arclength.svg|thumb|alt=Buelengde.|Tilnærming av en kurve i planet med en stykkevis lineær kurve]]
En kurve i planet kan tilnærmes ved å trekke linjestykker mellom et endelig sett av punkt på kurven. Linjestykkene definerer en kurve som er stykkevis [[linearitet|lineær]].  Lengden av hvert linjestykke lar seg lett 
bestemme ved hjelp av [[Pythagoras’ læresetning]], og lengden av den stykkevis lineære linjen er lik summen av linjestykke-lengdene.  
Dersom den krumme kurven er tilstrekkelig glatt, så vil lengden av den stykkevis lineære kurven nærme seg lengden av den opprinnelige kurven når vi øker antallet punkt i settet brukt til å definere tilnærmingen.  

For mange kurver vil det eksistere en minste øvre [[skranke (matematikk)|skranke]] <math>L</math> for lengden av den stykkevis lineære kurven.  Slike kurver sies å være «rektifiserbare», det vil si i stand til å 
kunne rettes ut. Verdien <math>L</math> defineres som ''buelengden'' til den opprinnelige kurven.  

== Buelengden for en glatt romkurve ==

En romkurve er en kurve i det [[Euklidsk geometri|euklidske]] rommet <math>\mathbf{R}^3</math>, definert med en parameterframstilling

:<math>
\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i}+ y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k} \qquad  t \in [a,b] \, 
</math>

Kurven er ''glatt'' når funksjonene <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> og <math>z(t)</math> er deriverbare og de deriverte er kontinuerlige.  For en slik romkurve er buelengden gitt ved<ref name=STRUIK1/>

:<math>L = \int_{a}^{b}| \mathbf{r}\ '(t)|\,dt= = \int_a^b \sqrt{ x'^2 + y'^2 +  z'^2} \; dt \ . </math>

Her betyr merket den deriverte med hensyn på parameteren <math>t</math>, slik at <math>x' = dx / dt</math>.

Som eksempel kan vi se på lengden av en full sirkelbue, gitt ved parametriseringen

:<math>
\mathbf{r}(t) = R \cos t \, \mathbf{i}+ R \sin t \, \mathbf{j} \qquad  t \in [0,2\pi) \, 
</math>

Formelen for buelengden gir det kjente resultatet

:<math>
L = \int_0^{2\pi} \sqrt{ (-R \sin t)^2 +  (-R \cos t)^2 } = 2 \pi R .
</math>

== Buelengden til en funksjonsgraf ==

[[Funksjonsgraf|Grafen]] til en reell [[funksjon (matematikk)|funksjon]] av en variabel er en kurve med parametriseringen

:<math>
\mathbf{r}(x) = x \mathbf{i}+ f(x) \mathbf{j} \qquad  x \in [a,b] \, 
</math>

Buelengden av funksjonsgrafen er dermed gitt ved

:<math>L = \int_a^b\sqrt{1+ (f'(x))^2}\, dx </math>

== Buelengden til en plan kurve i polarkoordinater ==

For en plan kurve <math>r = r(\theta)</math> i [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] er buelengden

:<math>L = \int_a^b\sqrt{r^2( \theta)+r'( \theta)^2}\,d \theta</math>

for intervallet <math>\theta \in [a,b] </math>.

== Referanser ==
<references>

<ref name=COLLINS1>{{Kilde bok
| ref=                                                 
| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein
| redaktør=
| utgivelsesår=1989
| artikkel=
| tittel=Dictionary of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=Glasgow
| forlag=Collins
| side=
| isbn=0-00-434347-6
| id=
| kommentar=
| url= }}  [''Arc'']
</ref>

<ref name=STRUIK1>[[#STRUIK|D.J. Struik: ''Lectures on classical differential geometry'']], s.5</ref>

</references>

== Litteratur ==

*{{Kilde bok
| ref=STRUIK                                           
| forfatter= D.J. Struik
| redaktør=
| utgivelsesår=1961
| artikkel=
| tittel=Lectures on classical differential geometry
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=New York
| forlag=Dover Publications
| side=
| isbn=0-486-65609-8
| id=
| kommentar=
| url= }}

==Eksterne lenker==
* [https://web.archive.org/web/20071008133735/http://www.realisten.com/artikkel.php?id=117  Om buelengde hos realisten.com]  Besøkt 11. desember 2019.

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Differensialregning]]
[[Kategori:Lengde]]
[[Kategori:Kurver]]