Redigerer Brahmaguptas formel

[[Fil:ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់.png|thumb|280px|Hjørnene i en syklisk firkant ligger på en sirkel.]]
'''Brahmaguptas formel''' gir [[areal]]et av en [[firkant|syklisk firkant]] uttrykt ved lengdene av de fire sidene i firkanten.  I en syklisk firkant ligger alle hjørnene på en sirkel. Formelen er oppkalt etter den indiske [[matematiker]]  [[Brahmagupta]] som levde på [[600]]-tallet.

Kaller man sidelengdene  i firkanten for ''a'', ''b'', ''c'' og ''d'', kan dens areal skrives som

:<math>S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} </math>

etter at man har innført den halve omkretsen til firkanten,

: <math>s = \frac 12 (a+b+c+d). \,</math>

Når en av sidene i firkanten blir forsvinnende liten, går den over til å bli en [[trekant]]. Formelen til Brahmagupta går da over i [[Herons formel]] som gir arealet til trekanten uttrykt ved  dens sidelengder.

På [[1800]]-tallet ble det vist at Bramhaguptas formel kunne utvides til å gjelde for en vilkårlig firkant.

==Utledning==

La lengden av sidene i firkanten være  ''a'', ''b'', ''c'' og ''d''. Arealet ''S'' av firkanten er da lik summen av arealene til de to trekantene ''ABD'' og ''BDC'' som vist i figuren. Ved bruk av formelen for arealet til en vanlig [[trekant]], har man da

: <math> S = \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C</math>

hvor ''A'' er vinkelen i hjørnet ''A'' og tilsvarende for ''C''. I en syklisk firkant er summen av vinklene {{nowrap|''A + C'' {{=}} 180°}} som følger fra teoremet om [[periferivinkel|periferivinkler]]. Derfor er {{nowrap|sin''A'' {{=}} sin''C''}} slik at arealet er gitt ved

: <math> S = \frac{1}{2}\big(ab + cd\big)\sin A </math>

Vinklene ''A'' og ''C'' kan nå finnes fra [[cosinussetningen]] brukt på trekantene ''ABD'' og ''BDC''. De har siden ''BD'' felles slik at

: <math>a^2 + b^2 - 2ab\cos A = c^2 + d^2 - 2cd\cos C </math>

Da nå cos''A'' = - cos''C'', følger herav at {{nowrap|''2(ab + cd)&thinsp;''cos''A {{=}} a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> -  c<sup>2</sup>  -  d<sup>2</sup>''}}. Dette resultatet for cos''A'' kan nå benyttes i uttrykket for arealet til frikanten da

: <math> S = {1\over 2}\big(ab + cd\big) \sqrt{1 - \cos^2\!A} =  {1\over 2}\big(ab + cd\big) \sqrt{1 + \cos A}\sqrt{1 - \cos A}</math>

Settes her inn for {{nowrap|''(ab + cd)&thinsp;''cos''A''}}, får man

: <math>\begin{align}  S &= {1\over 4}\sqrt{2(ab + cd) + a^2 + b^2 - c^2 - d^2}\sqrt{2(ab + cd) - a^2 - b^2 + c^2 + d^2}\\
              &= {1\over 4} \sqrt{(a+b)^2 - (c-d)^2}\sqrt{(c+d)^2 - (a-b)^2}\\
              &= {1\over 4} \sqrt{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d + a -b)(c +d -a+b)}
\end{align} </math>

Dette er nå Brahmaguptas formel som sees ved å sette inn den halve omkretsen ''s = (a + b + c +d)/2'' til firkanten.

==Generalisering==

I en vilkårlig firkant er vinkelen ''&theta; = (A + C)/2'' ikke nødvendigvis nøyaktig lik 90° som i det sykliske tilfellet.  Men den samme beregningen kan likevel benyttes til å gi resultatet

:<math>S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\cos^2\!\theta} </math>

for arealet av en alminnelig [[firkant]]. Det ble vist vist  i [[1842]] av de tyske matematikerne [[Carl Anton Bretschneider]] og [[Karl von Staudt]] uavhengig av hverandre. Da summen av de indre vinklene i en [[firkant]] alltid er 360°, spiller det ingen rolle hvilke to motstående vinkler blir brukt i bestemmelsen av vinkelen ''&theta;''.

==Litteratur==

* C.B. Boyer, ''A History of Mathematics'', Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Areal]]
[[Kategori:Euklidsk plangeometri]]
[[Kategori:Teorem i geometri]]
[[Kategori:Firkanter]]