Redigerer Bølgefunksjon

[[Fil:Travelling Particle Wavefunction.svg|thumb|280px|Bølgefunksjonen ''&psi;&thinsp;'' for en fri partikkel i én dimension ved et visst tidspunkt ''t''. En liten tid senere er spiralen forflyttet et stykke mot høyre.]]

'''Bølgefunksjon''' i [[kvantemekanikk]]en er en [[komplekst tall|kompleks]] funksjon som inneholder informasjon om tilstanden til én eller flere partikler eller mer generelle system. Den representerer ikke en fysisk [[bølge]] i det tredimensjonale rommet og omtales derfor mer korrekt som en '''tilstandsfunksjon'''. Mer formelt defineres den som projeksjonen av [[Kvantemekanikk#Kvantemekanikkens postulater|tilstandsvektoren]] til systemet på en basisvektor i [[Hilbert-rom]]met som benyttes i beskrivelsen.

Kvadratet av [[Komplekst tall#Absoluttverdi|absoluttverdien]] til bølgefunksjonen er proporsjonalt med [[sannsynlighet]]en for å finne partiklene eller systemet i en bestemt tilstand. Av den grunn kalles den også for en «sannsynlighetsamplitude».

Funksjonen varierer med tiden på en måte som er styrt av [[Schrödinger-ligning]]en. Hvilke andre variable som inngår som dens argument, avhenger av hvilke [[Kvantemekanikk#Heisenbergs matrisemekanikk|observable]] man benytter i beskrivelsen av systemet.

==Bakgrunn==

Begrepet «bølgefunksjon» har sin bakgrunn i  [[Louis de Broglie|de Broglies]] forslag i 1924 å beskrive partikler som [[bølge]]r. For en partikkel med  [[Bevegelsesmengde|impuls]] ''p&thinsp;'' er da [[bølgelengde]]n ''&lambda;'' = ''h''/''p&thinsp;'' der ''h&thinsp;'' er [[Plancks konstant]]. Vel ett år senere fant [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]] [[Schrödinger-ligning|bølgeligningen]] for de tilsvarende [[materiebølge]]ne. At partikler hadde slike bølgeegenskaper,  ble også eksperimentelt verifisert ved [[spredning ]]av partikler mot krystaller.<ref name = Pais> A. Pais, ''Inward Bound'', Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref> 

Hvis bølgefunksjonen for elektronet i [[hydrogenatom]]et betegnes ved &Psi;, mente Schrödinger opprinnelig at kvadratet |&Psi;&thinsp;|<sup>2</sup> av [[Komplekst tall#Absoluttverdi|absoluttverdien]] skulle være proporsjonalt med elektronets ladningstetthet i atomet. Men da [[Max Born]] ett år senere betraktet spredning av elektroner i den samme teorien, konkluderte han med at dette kvadratet i stedet angir sannsynligheten for å finne partikkelen på et bestemt sted. Grunnen var at ved en slik prosess hvor elektronet kan komme ut i mange forskjellige retninger, vil ikke dets ladning «smøres ut» over et stort område. Derimot vil det alltid ble registrert som en intakt partikkel.<ref name = Born>M. Born, ''Atomic Physics'', Blackie & Son Limited, Glasgow (1962).</ref>

===Sannsynlighetstetthet===
For én partikkel som beveger seg i tre dimensjoner med koordinater '''x''' = (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>) er bølgefunksjonen en kompleks funksjon <math> \psi = \psi(\mathbf{x},t) </math> som generelt også varierer med tiden ''t''. Sannsynligheten for å observere partikkelen i et liten volumelement ''d''<sup>&thinsp;3</sup>''x&thinsp;'' ved tiden ''t&thinsp;'' er definert som 

: <math> dP = \Psi^*\Psi\, d^3x </math>

Av denne grunn er det naturlig å omtale produktet |&Psi;&thinsp;|<sup>2</sup>  som en «sannsynlighetstetthet». Da partikkelen befinner seg et eller annet sted, må derfor bølgefunksjonen oppfylle kravet

: <math> \int\!d^3x\, \Psi^*\Psi = 1 </math>

Integralet går her over hele rommet og inkluderer også områder av dette hvor partikkelen klassisk ikke kan befinne seg. Dette kravet kalles oftest for  et «normeringsintegral».<ref name= Griffiths>D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

Hvis partikkelen befinner seg i en tilstand med en viss energi ''E'', er den i en [[egenvektor|egentilstand]] av [[Hamilton-operator]]en. Ifølge den tidsavhengige [[Schrödinger-ligning]]en vil den da variere med tiden som

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) =  \psi(\mathbf{x})e^{-iEt/\hbar} </math>

der ''ħ&thinsp;'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Sannsynlighetstettheten vil i dette tilfellet bare variere med posisjonen til partikkelen. Men når partikkelen er i en [[Schrödinger-ligning#Superposisjon|superposisjon]] av flere slike egenfunksjoner med forskjellige energier, vil sannsynlighetstettheten forandre seg med tiden.

===Eksempel===

Schrödinger-ligningen for en partikkel som befinner seg i en uendelig dyp, éndimensjonal potensialbrønn kan løses [[Schrödinger-ligning#Partikkel i kassepotensial|eksakt]]. Hvis denne har en utstrekning ''a'', kan da partikkelen befinne seg mellom ''x'' = 0 og ''x'' = ''a'' når man velger origo passende. Utenfor begge disse posisjonene er bølgefunksjonen lik med null. Tilstanden med lavest energi {{nowrap|''E''<sub>1</sub> {{=}} ''ħ''<sup>2</sup>''&pi;''<sup>2</sup>/2''ma''<sup>2</sup>}} der ''m&thinsp;'' er partikkelens masse, har bølgefunksjonen

: <math> \psi_1(x) = \sqrt{2\over a} \sin{\pi x\over a} </math>

i området 0 < ''x'' < ''a''. Tilstander med høyere energier har bølgefunksjoner av samme form, men hvor argumentet i sinus-funksjonen blir erstattet med  ''n&pi;x''/''a&thinsp;'' hvor ''n'' = 2, 3, 4  og så videre.<ref name = Griffiths/>

Erstattes det uendelig dype brønnen med potensialet for en éndimensjonal, [[Kvantisert harmonisk oscillator#Bølgefunksjoner|harmonisk oscillator]] med frekvens ''&omega;'', er laveste energi {{nowrap|''E''<sub>0</sub> {{=}} (1/2)''ħ&omega;''}} og tilsvarende bølgefunksjon

: <math> \psi_0(x) = \left({m\omega\over\pi\hbar}\right)^{1/4} e^{-m\omega x^2/2\hbar} </math>

Den gjelder for alle posisjoner ''x'', men avtar raskt fra sentrum ''x'' = 0 til potensialet. Sannsynligheten for å finne partikkelen i det klassisk forbudte området hvor den potensielle energien er større en partikkelens totalenergi, er ikke lenger null. Dette er eksempel på kvantemekanisk [[Kvantetunnelering|tunnelering]].

Det er ikke enkelt å se noe som minner om vanlige [[bølge]]r i disse løsningene. Derimot for en fri partikkel som beveger seg med en gitt impuls '''p''' i et veldig stort, tredimensjonalt rom, er den fulle bølgefunksjonen

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = \sqrt{1\over V}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - Et)/\hbar} </math>

der ''V&thinsp;'' er volumet den befinner seg i. Dette er virkelig en kompleks, [[Bølge#Plane bølger|plan bølge]] med bølgevektor '''k''' = '''p'''/''ħ'' og [[vinkelfrekvens]] ''&omega;'' = ''E''/''ħ''. Men for flere partikler minner de kvantemekaniske bølgefunksjonene enda mindre om klassiske bølger.<ref name = Born/>

==Mange partikler==

[[Schrödinger-ligning#Mange partikler|Schrödinger-ligningen]] kan lett utvides til å beskrive et vilkårlig antall ''N&thinsp;'' med ikke-relativistiske partikler. Det resulterer i en bølgefunksjon &Psi; = &Psi;('''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, ..., '''x'''<sub>''N''</sub>,''t''&thinsp;) som inneholder all informasjon om egenskapene til systemet. Befinner det seg i en tilstand med en bestemt energi ''E'', er tidsavhengigheten igjen gitt som

: <math> \Psi(\mathbf{x}_1, .. , \mathbf{x}_N, t) =  \psi(\mathbf{x}_1, .. , \mathbf{x}_N) \, e^{-iEt/\hbar} </math>

Energien ''E&thinsp;'' er den totale energien til alle partiklene i systemet. Sannsynlighetstettheten er fremdeles gitt som &Psi;*&Psi;, men er nå en funksjon i et rom med 3''N&thinsp;'' romlige koordinater. For eksempel kan ikke den bølgemekaniske beskrivelsen av to partikler tenkes som to forskjellige bølger i det tredimensjonale rommet. Bølgefunksjonen har mistet alle likhetspunkter med en vanlig bølge, bortsett fra at den varierer i tiden med en bestemt frekvens når systemet har en gitt energi.<ref name = Liboff> R.L. Liboff, ''Introductory Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.</ref>

===Uavhengige partikler===

Når partiklene ikke har noen gjensidig vekselvirkning med hverandre, sies de å være uavhengige. De kan for eksempel alle bevege seg i et felles, ytre potensial som ikke varierer med tiden. [[Hamilton-operator]]en er da en sum av enklere operatorer som alle inneholder forskjellige variable.  I det enkleste tilfellet er partiklene helt frie når også dette bakgrunnspotensialet ikke finnes.

For to [[Schrödinger-ligning#To partikler|uavhengige partikler]] kan bølgefunksjonen skrives som et produkt

: <math> \psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) =  u(\mathbf{x}_1)v(\mathbf{x}_2) </math>

hvor funksjonene ''u''('''x''') og ''v''('''x''')  er løsninger av Schrödinger-ligningen for hver av dem. Partiklene har da energier ''E''<sub>1</sub> og ''E''<sub>2</sub> slik at totalenergien for systemet er {{nowrap|''E'' {{=}} ''E''<sub>1</sub> + ''E''<sub>2</sub>}}. 

Bølgefunksjonen kan også skrives som et slikt produkt når de to partiklene kun har en gjensidig vekselvirkning som avhenger av den relative avstanden {{nowrap|'''r''' {{=}} '''x'''<sub>1</sub> - '''x'''<sub>2</sub>}} mellom dem.  Dette gjelder for eksempel for de to partiklene som utgjør [[hydrogenatom]]et. Den ene bølgefunksjonen ''u'' = ''u''('''R''') vil da beskrive bevegelsen av [[massesenter]]et '''R''', mens funksjonen ''v'' = ''v''('''r''') vil beskrive den relative bevegelsen til de to partiklene.<ref name = Griffiths/>

===Identiske partikler===

Når partiklene er helt like med hverandre og ikke kan adskilles, sies de å være identiske. De klassifiseres da i to hovedgrupper avhengig av deres [[spinn]]. Når dette er heltallig, er de [[boson]]er som må beskrives med helt symmetriske bølgefunksjoner. Den andre klassen med halvtallige spinn er [[fermion]]er og beskrives med helt antisymmetriske bølgefunksjoner.<ref name = Liboff/>

Da produktet av to funksjoner med forskjellige argument, generelt ikke er hverken symmetrisk eller antisymmetrisk i de to argumentene, vil bølgefunksjonen for identiske partikler vanligvis bestå av en sum av flere ledd som har den ønskede symmetrien. For eksempel, vil to uavhengige bosoner hvor det ene er i énpartikkeltilstanden ''u''<sub>1</sub>('''x''') og det andre i en tilsvarende tilstand ''u''<sub>2</sub>('''x'''), ha den symmetriske bølgefunksjonen

: <math>  \psi_S(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = u_1(\mathbf{x}_1)u_2(\mathbf{x}_2) + u_1(\mathbf{x}_2)u_2(\mathbf{x}_1) </math>

Disse to tilstandene kan godt være den samme på lignendene måte som at de to bosonene kan befinne seg i samme punkt. Derimot hvis de to partiklene er fermioner, er deres felles bølgefunksjon gitt ved den antisymmetriske kombinasjonen

: <math>  \psi_A(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = u_1(\mathbf{x}_1)u_2(\mathbf{x}_2) - u_1(\mathbf{x}_2)u_2(\mathbf{x}_1) </math>

Den er automatisk lik null når de to tilstandene er de samme. Likedan er denne bølgefunksjonen null hvis de to fermionene befinner seg i samme punkt, det vil si når '''x'''<sub>1</sub> = '''x'''<sub>2</sub>. Dette er et uttrykk for [[Paulis eksklusjonsprinsipp]].

For større antall med identiske partikler kan bølgefunksjoner konstrueres på lignende måte slik at de har den ønskede symmetri.<ref name = Wessbluth> M. Wessbluth, ''Atoms and Molecules'', Academic Press, New York (1978). ISBN 0-12-744452-1.</ref>

===Andrekvantisering===

For systemer med veldig mange identiske partikler er det ofte hensiktsmessig å erstatte en beskrivelse ved bølgefunksjoner med [[andrekvantisering]]. Fra løsningene ''u<sub>n</sub>''('''x''') av Schrödinger-ligningen med energier ''E<sub>n</sub>'' vil da den mest generelle bølgefunksjon for én partikkel skrives som

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = \sum_n a_n u_n (\mathbf{x}) e^{-iE_nt/\hbar} </math>

hvor koeffisientene ''a<sub>n</sub>'' er komplekse tall. Ved å la disse bli operatorer <math> \hat{a}_n </math> i et utvidet [[Hilbert-rom]], fremkommer da [[kvantefeltteori|kvantefeltoperatoren]]

: <math> \hat{\Psi}(\mathbf{x},t) = \sum_n \hat{a}_n u_n (\mathbf{x}) e^{-iE_nt/\hbar} </math>

Her er nå  <math> \hat{a}_n </math> en [[stigeoperator]] som fjerner en partikkel fra tilstanden ''u<sub>n</sub>''('''x'''), mens den adjungerte operatoren <math> \hat{a}^\dagger_n </math> skaper en partikkel i den samme tilstanden. På dette vis kan feltoperatoren <math> \hat{\Psi} </math> sies å fjerne en partikkel fra posisjon '''x''' ved tiden ''t'', mens den adjungrete operatoren <math> \hat{\Psi}^\dagger </math> skaper en partikkel der på samme måte.<ref name = MF> S.S. Schweber, H.A. Bethe and F. de Hoffmann, ''Mesons and Fields'', Volume I: ''Fields'', Row, Peterson and Company, Evanston Illinois (1955).</ref>

==Referanser==
<references />

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kvantemekanikk]]