Redigerer Adveksjonsligningen

'''Adveksjonsligningen''' er en partiell [[differensialligning]] som styrer bevegelsen til en konservert [[skalar]] når den blir [[adveksjon|advektert]] av et kjent [[vektorfelt]]. Den blir utledet ved å bruke skalaren sin [[bevaringslov]] sammen med [[Gauss' teorem]] og ved å bruke [[infinitesimal]]e grenser.

Dette beskriver det som skjer når et bevart kvantum (skalaren), for eksempel varme, vann, mudder ol. transporteres med og spres i (adekveres av) en strømning (vektorfeltet) i f.eks. vann eller luft. Spesifikt brukes adveksjonsligningen ofte for å beskrive den horisontale transport av varme og fuktighet som foregår i luftmasser.

Det beste eksempel på dette er kanskje transport av oppløst salt i vann.

Matematisk kan en uttrykke adveksjonsligningen som: 
:<math>
\frac{\partial\psi}{\partial t}
+\nabla\cdot\left(
\psi{\mathbf u}\right)
=0
</math>
der  ∇· er [[divergens]]en. <math>\psi </math> er skalæren og <math> \mathbf u </math> er vektorfeltet. Ofte tenker en seg at hastighetsfeltet er [[solenoidal]]t, altså er <math>\nabla\cdot{\mathbf u}=0</math>. Når dette er oppfylt blir ligningen over redusert til

:<math>
\frac{\partial\psi}{\partial t}
+{\mathbf u}\cdot\nabla\psi=0.
</math>

Hvis strømmen er laminær, er <math>{\mathbf u}\cdot\nabla\psi=0</math> som viser at <math>\psi</math> er konstant langs en [[strømlinje]].

Adveksjonsligningen er ikke enkel å løse [[numerisk analyse|numerisk]]: Systemet er en hyperbolsk partiell differensialligning, og interesseområdet er vanligvis [[kontinuerlig funksjon|diskontinuerlige]] «sjokkløsninger» (som er svært vanskelig å takle for numeriske skjema).

Selv med konstant fart og et endimensjonalt rom er systemet vanskelig å simulere (det er en standardtest for adveksjonsskjema som kalles [[grisehusproblemet]]). Ligningen over blir da:

:<math>
\frac{\partial\psi}{\partial t}+u\frac{\partial\psi}{\partial x}=0
</math>

der <math>\psi=\psi(x,t)</math>.

Ifølge Zan [2] kan en [[skjevsymmetrisk matrise|skjevsymmetrisk]] form av adveksjonsoperatoren hjelpe den numeriske løsningen.

:<math>
\frac{1}{2} {\mathbf u} \cdot \nabla {\mathbf u} + \frac{1}{2} \nabla ({\mathbf u} {\mathbf u})
</math>

der <math> \nabla ({\mathbf u} {\mathbf u}) </math> er en vektor med komponenter <math>[\nabla ({\mathbf u} u_x),\nabla ({\mathbf u} u_y),\nabla ({\mathbf u} u_z)]</math> der en har brukt notasjonen <math> {\mathbf u} = [u_x,u_y,u_z]</math>.

Siden skjevsymmetri bare medfører [[komplekse tall|komplekse]] [[egenverdi]]er, reduserer denne formen «oppblåsning» og «spektral blokkering», som en ofte får i numeriske løsninger med skarpe diskontinuiteter (se Boyd [1] pp.&nbsp;213).

==Andre størrelser==

Adveksjonslignen gjelder også om størrelsen som blir advektert er representert ved en [[tetthetsfunksjon]] i hvert punkt, men å regne ut diffusjonene er da vanskeligere.

==Se også==
* [[Adveksjon]]
* [[Kontinuitetsligningen]]
* [[Couranttall]]
* [[Partiell differensialligning]]

==Kilder==
*Boyd, J.P.: 2000, [http://www-personal.engin.umich.edu/~jpboyd/BOOK_Spectral2000.html Chebyshev and Fourier Spectral Methods 2nd edition], Dover, New York
*Zang, T: 1991, On the rotation and skew-symmetric forms for incompressible flow simulations, ''Applied Numerical Mathematics'','''7''',27-40.

{{Autoritetsdata}}
[[Kategori:Partielle differensialligninger]]
[[Kategori:Fluiddynamikk]]