Redigerer Sirkelinversjon (avsnitt)

===Inversjon av kurver===
[[Fil:Lemniskate hyperbel.svg|right|thumb|300px|En symmetrisk [[hyperbel]] med sentrum i origo transformeres til en [[lemniskate]]. Deler av kurvene med samme farge går over i hverandre.]]

En generell [[kurve]] kan angis på den implisitte formen ''f''(''x,y'') = 0. Under sirkelinversjonen (''x,y'') &rarr; (''X,Y'') vil ligningen dermed fremstille en ny kurve.

Som et eksempel kan man betrakte den symmetriske [[hyperbel]]en ''x''<sup>&thinsp;2</sup> - ''y''<sup>&thinsp;2</sup> = ''s''<sup>&thinsp;2</sup> som skjærer ''x''-aksen i punktene &plusmn;''s''. Ved inversjon i [[enhetssirkel]]en går den over til 

: <math> X^2 - Y^2 = s^2(X^2 + Y^2)^2 </math>

Dette fremstiller en [[lemniskate]] som skjærer ''x''-aksen i punktene &plusmn;1/''s''.

[[Fil:Inverse Curves Parabola Cardioid.svg|left|thumb|210px|Inversjon av [[parabel]]en i en sirkel i dens brennpunkt gir en [[kardioide]].]]

[[Parabel]]en  ''y''<sup>&thinsp;2</sup>  =  4''a''(''x'' + ''a'') har sitt brennpunkt i origo. Den skjærer ''x''-aksen i punktet (-''a'',0) og og ''y''-aksen i punktene (0,&plusmn;2''a''). 
Når denne kurven inverteres i en sirkel med sentrum i origo og med radius {{nowrap|''r'' {{=}} 2''a''}}, tar dens ligning i de nye koordinatene formen

: <math> 4a^2Y^2 = (X^2 + Y^2)^2 + 4aX(X^2 + Y^2) </math>

Den beskriver en [[kardioide]] med spiss i origo og skjærer ''x''-aksen i punktet (-4''a'',0).

Ved å uttrykke parabelen i [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] (''r,&theta;'') med sentrum i dens brennpunkt, blir denne transformasjonen bedre klarlagt. Ligningen for parabelen er da <math> r = 2a/(1 - \cos\theta) </math>. Inversjon i sirkelen {{nowrap|''r'' {{=}} 2''a''}} gir dermed en ny, polar koordinat <math> r \rightarrow R = (2a)^2/r </math> som ganske enkelt blir

: <math> R = 2a(1 - \cos\theta) </math>

Dette er ligningen for kardioiden i polarkoordinater.

To påfølgende inversjoner av et punkt fører tilbake til det samme punktet. Det betyr derfor at den inverse kurven til en lemniskate er en hyperbel på samme måte som at den inverse av en kardioide er en parabel.