Redigerer Pol og polare (avsnitt)

===Polaritet===
En symmetrisk matrise ''C'' = (''C<sub>ij</sub>'') kalles en [[Projektivt plan#Korrelasjoner og polariteter|polaritet]] og relaterer hvert punkt ''P<sub>i</sub>'' = {{nowrap|(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>,''z''<sub>0</sub>)}} i det projektive planet til en linje &ell;. Den er polaren til punktet ''P'' og kan angis ved tre homogene [[linjekoordinater|linjekoordinatene]] {{nowrap|&ell;<sub>''j''</sub> {{=}} (''u,v,w'')}}. De kan utledes fra sammenhengen {{nowrap|&ell;<sub>''i''</sub> {{=}} ''C<sub>ij</sub>&thinsp;P<sub>j</sub>''&thinsp;}}. Settes her inn komponentene til matrisen ''C'', finner man <math> u = ax_0 + by_0 + dz_0 </math>, <math> v = bx_0 + cy_0 + ez_0 </math> og <math> w = dx_0 + ey_0 + fz_0 </math>. Et vilkårlig punkt {{nowrap|''X<sub>i</sub>'' {{=}} (''x,y,z'')}} på polaren er da bestemt ved ligningen <math> \ell_i X_i = ux +vy + wz = 0 </math> i overensstemmelse med hva som ble funnet fra utledningen basert på to vilkårlige skjæringspunkt med en rett linje. 

Polaren til ''P'' oppfyller derfor den lineære ligningen

: <math> C_{ij}X_i P_j = 0 </math>

og sies å være [[Projektivt plan#Dualitet|dual]] til punktet ''P''. Selve kjeglesnittet er gitt som de punkt som ligger på sin egen polare og derfor er gitt ved ligningen {{nowrap|''C<sub>ij</sub>&thinsp;X<sub>i</sub>&thinsp;X<sub>j</sub>'' {{=}} 0}}. 

Fra den [[Matrise#Invers|inverse matrisen]] {{nowrap|''M'' {{=}} ''C''<sup> -1</sup>}} kan man likedan for hver linje {{nowrap|&ell;<sub>''j''</sub> {{=}} (''u,v,w'')}} finne det duale punktet med koordinater {{nowrap|''X<sub>i</sub>'' {{=}} ''M''<sub>''ij''</sub>&thinsp;&ell;<sub>''j''</sub>}}. Dette punktet er polen til linjen &ell; og dens polare er den opprinnelige linjen da matrisen ''M'' er den inverse til polariteten ''C''.<ref name = Coxeter/>

Som et enkelt eksempel kan man betrakte kjeglesnittet <math>x^2 + 2 x y - y^2  + 4 x - 6 = 0 </math> . Det ligger i den affine delen av det projektive planet med {{nowrap|''z'' {{=}} 1}}. Polaren til et punkt ''P'' = (1, 0) vil nå ha ligningen 

: <math>
\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\
                1 & -1 & 0 \\
                2 & 0 & -6 
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =  3 x + y - 4 = 0
</math>

som vil være i overensstemmelse med hva man kunne finne ved en [[Konstruksjon (geometri)|geometrisk konstruksjon]].