Redigerer Matrisemekanikk (avsnitt)

===Spinn-1/2===

For å beregne elementene i spinn-matrisene introduserte de matrisekombinasjonene

: <math>  \hat{J}_\pm =  \hat{J}_1 \pm i \hat{J}_2 </math>

med kommutatoren 

: <math>  \left[\hat{J}_3, \hat{J}_\pm \right] = \pm \hbar\hat{J}_3\ </math>

De kunne herav beregne elementene til disse matrisene. Mens

: <math>  (\hat{J}_3)_{mm'} = m\hbar\,\delta_{m,m'} </math>

hvor indeksene ''m&thinsp;'' tar samme samme verdier som kvantetallet ''m'', fant de rent algebraisk at

: <math>  (\hat{J}_+)_{mm'} = \hbar \delta_{m, m' + 1} \sqrt{j(j + 1) - mm'} </math>

mens matrisen  <math> \hat{J}_- </math> finnes ved å [[Matrise#Transponering|transponere]] <math> \hat{J}_+ .  </math> 

I det enkleste tilfellet for spinn-1/2 gir dette 

: <math>  \hat{J}_3 =  {\hbar\over 2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} </math>

sammen med

: <math>  \hat{J}_+ = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \;\;  \hat{J}_-  = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. </math>

Fra definisjonen av disse to matriser følger nå at

: <math>  \hat{J}_1 = {\hbar\over 2}  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \;\;  \hat{J}_2  = {\hbar\over 2}  \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}. </math>

På denne måten fremkommer [[Pauli-matrise]]ne som [[Wolfgang Pauli]] introduserte et år senere for å kunne beskrive et [[elektron]] med spinn. Sammen med Jordan hadde da Heisenberg allerede vist at  denne nye matrisemekanikken løste de gamle problemene forbundet med [[finstruktur]]en i [[hydrogenatom]]et og Zeeman-effekten.<ref name = HJ> W. Heisenberg und P. Jordan, ''Anwendung der Quantenmechanik auf das Problem der anomalen Zeemaneffekte'', Zeit. Phys. '''37''', 263-277 (1926). [http://www.neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/heisenberg_-_anomalous_zeeman_effect.pdf PDF] </ref>