Redigerer Magnetfelt (avsnitt)

==Vektorpotensialet==
Det  magnetiske  feltet oppfyller alltid  [[Maxwells ligninger|Maxwell-ligningen]] '''&nabla;&thinsp;&sdot;&thinsp;B''' = 0.  Det har derfor ikke noen kilder,  og dets feltlinjer danner derfor lukkede kurver. Dette er ekvivalent med å si at det ikke finnes noen [[magnetisk monopol|magnetiske monopoler]]. 

Nå kan denne loven brukes til å uttrykke feltet ved et magnetisk potensial på tilsvarende måte som at i [[elektrostatikk]]en kan man skrive det [[elektriske felt]]et som  {{nowrap|'''E''' {{=}} - '''&nabla;'''''&Phi;''&thinsp;}}  når det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]] ''&Phi;'' innføres. Da [[Nabla-operator|divergens]]en av en  [[Nabla-operator|curl]] er identisk lik null, så kan magnetfeltet alltid kunne skrives som 

: <math>  \mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A} </math>
 
hvor {{nowrap|'''A''' {{=}} '''A'''('''r''',''t'')&thinsp;}} er det [[Elektromagnetisk felt#Elektromagnetiske potensial|magnetiske vektorpotensialet]]. På samme måte som det elektriske potensialet, kan det forenkle mange betraktninger hvor det magnetiske feltet inngår. Dette gjelder spesielt for tidsvariable problem som for [[elektromagnetisk stråling]] hvor det har den avgjørende rolle i alle beregninger.<ref name = Griffiths/>

Av måten vektorpotensialet er definert, ser vi at det ikke er entydig bestemt. Vi kan alltid addere en gradient av en [[skalar]] funksjon til det uten at magnetfeltet  selv forandrer verdi. Og det er dette feltet som har fysisk innhold. Denne invariansen av feltet skyldes identiteten {{nowrap|'''&nabla;''' &times; '''&nabla;''' {{=}} 0}}  for [[nabla-operator]]en som er sentral i [[vektoranalyse]]n.  Det betyr at man kan benytte et alternativt vektorfelt

: <math>  \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \boldsymbol{\nabla} \chi, </math>

uten at det fysiske innhold forandres for en vilkårlig funksjon {{nowrap|&chi; {{=}} &chi;('''r''',''t'')&thinsp;}}. En slik forandring kalles en [[gaugetransformasjoner|gaugetransformasjon]] og alle fysiske anvendelser av vektorpotensialet må være slik at denne «gaugeinvariansen» er bevart.

For en generell strømtetthet '''J''' = '''J'''('''r''',''t'') kan vektorpotensialet beregnes fra den inhomogene [[Elektromagnetisk felt#Bølgeligninger|bølgeligningen]]

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{A} - {1\over c^2} {\partial^2\mathbf{A}\over\partial t^2} = -  \mu_0\mathbf{J} </math>

ved bruk av [[gaugetransformasjoner#Lorenz-gauge|Lorenz-gaugen]]. Den generelle løsningen kan skrives som

: <math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\! d^3x' \frac{\mathbf J (\mathbf{r'},  t')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

ved bruk av den [[Elektromagnetisk felt#Retarderte løsninger|retarderte tiden]] ''t'&thinsp;'' = ''t'' - ''&Delta;t''. Her er  tidsforsinkelsen ''&Delta;t'' = |'''r''' - '''r''''|/''c''&thinsp; hvor ''c'' er [[lyshastigheten]], den tiden en forandring i feltet ved punktet '''r'''' bruker for å nå frem til feltpunktet '''r'''. Ved statiske forhold er det ingen avhengighet av tiden slik at man alltid har ''t'&thinsp;'' = ''t''. 

En  [[kvantemekanikk|kvantemekanisk]] beskrivelse av elektromagnetiske fenomen er umulig uten å gjøre bruk av det magnetiske vektorpotensialet. Det magnetiske feltet '''B''' er her vanligvis et sekundært felt, mens '''A''' er det primære. I enda større grad er dette tilfelle i [[kvanteelektrodynamikk]]en som kun kan formuleres ved bruk av vektorpotensialet.  Det er derfor denne er en [[gaugeteori]] som de andre teoriene i [[standardmodellen]] også er.<ref name="Cheng-Li">  T.-P. Cheng and L.-F. Li,  ''Gauge theory of elementary particle physics'',  Clarendon Press, Oxford (1994). ISBN 0-19-851961-3.</ref>

===Rett ledning===
For en ledning som fører en konstant strøm ''I''&thinsp; bestående av ladninger med tetthet ''&rho;'' som beveger seg med hastigheten '''v''', kan man skrive

:<math> \mathbf{J}\,d^3x = \rho\mathbf{v}\,d^3x =  \mathbf{v}\,dq = Id\mathbf{s}</math>

Vektorpotensialet skapt av en slik strømsløyfe er derfor

: <math> \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint\! {d\mathbf{s'} \over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

Dette er også en direkte konsekvens av [[Biot-Savarts lov]] når man benytter at

: <math> \boldsymbol{\nabla}{1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|}  = - {\mathbf{r} - \mathbf{r'} \over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3}, </math>

For en uendelig lang og rett edning som ligger langs ''z''-aksen, vil da linjeelementet ''d''&thinsp;'''s'&thinsp;''' = '''e'''<sub>''z''</sub>&thinsp;''dz&thinsp;'' slik at vektorfeltet '''A''' blir parallelt med ''z''-aksen. I en avstand ''r&thinsp;'' fra denne har det en verdi gitt ved integralet

: <math> A_z(r) =  \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty {dz\over\sqrt{z^2 + r^2}}  </math>

som gir et uendelig stort resultat. Det kan man unngå på samme måte som ved beregning av det elektriske potensialet utenfor et [[elektrostatikk#Ladet linjestykke|rett, ladet linjestykke]] med  lengde 2''L'' som man etterpå lar bli vilkårlig stor.<ref name = Griffiths/>  På den måten kan svaret skrives som

: <math> \mathbf{A}(r) = - {\mu_0 I\over 2\pi}\mathbf{e}_z \ln{r\over 2L} </math>

så lenge som ''L'' >> ''r''. Selve magnetfeltet er da gitt  som [[curl]] av dette vektorpotensialet som etter utregning gir

: <math> \mathbf{B}(r) = {\mu_0 I\over 2\pi r^2} (x\mathbf{e}_y - y\mathbf{e}_x) </math>

uavhengig av størrelsen ''L''. De tilsvarende [[feltlinje]]ne er sirkler om ledningen med radius ''r&thinsp;'' hvor feltet har verdien {{nowrap|''B'' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>''I''/2''&pi;&thinsp;r''}}. Det tilsvarer Maxwells ligning {{nowrap|'''&nabla;&thinsp;&times;&thinsp;B''' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>'''J'''}} hvor '''J''' er strømtettheten i ledningen.  Antas at denne har et sirkulært tverrsnitt med radius ''a'',  er størrelsen av strømtettheten gitt ved {{nowrap|''I {{=}}  J&pi;&thinsp;a''<sup>2</sup>}}.

===Flukstube===

I en [[magnetisk fluks|flukstube]] er magnetfeltet forskjellig fra null bare innenfor [[tube]]n. Et eksempel er feltet i en uendelig lang [[induktans|spole]]. Fører den strømmen ''I''&thinsp; og har ''n'' vindinger per lengdeenhet, er feltet inni den {{nowrap|''B'' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>''In''}} og null utenfor. Man kan nå lett finne vektorpotensialet '''A''' som gir et slikt magnetfelt. Da dette skal oppfylle definisjonen {{nowrap|'''&nabla;&thinsp;&times;&thinsp;A''' {{=}} '''B'''}}, ser man at dette problemet er matematisk identisk med det forangående eksemplet. Ligger flukstuben langs ''z''-aksen, er derfor vektorpotensialet i en avstand ''r'' utenfor denne gitt som

: <math> \mathbf{A}(r) = {\Phi\over 2\pi r^2} (x\mathbf{e}_y - y\mathbf{e}_x) </math>

hvor ''&Phi;'' = ''B&pi;&thinsp;a''<sup>2</sup> er den magnetiske fluksen i tuben når den antas å ta radius ''a''. Selv om magnetfeltet '''B''' utenfor er null, eksisterer det likevel et vektorpotensial der. Dette avtar omvendt proporsjonalt med avstanden til flukstuben.

Vektorpotensialet '''A''' utenfor spolen eller flukstuben kan påvises ved å la magnetfeltet langs den variere med tiden. Da vil det oppstå et [[elektrisk felt]] {{nowrap|'''E''' {{=}} - &part;'''A'''/&part;''t''}} som kan påvirke en elektrisk ladning. Er for eksempel en ladet partikkel plassert utenfor en spole som fører en konstant strøm, vil partikkelen begynne å bevege seg så snart strømmen slåes av slik at magnetfeltet i spolen blir null. Utenfor spolen forblir magnetfeltet lik null.