Redigerer Geodetisk kurve (avsnitt)

===Rindler-metrikken===
En enklere metrikk i generell relativitetsteori beskriver geometrien utenfor en uendelig stor, plan masse. Denne gir en konstant tyngdeakselerasjon ''g'' rettet vinkelrett på dette planet. Tas denne retningen som ''z''-aksen, er løsningen av gravitasjonsligningene gitt ved Rindler-metrikken<ref name = Rindler> W. Rindler, ''Essential Relativity'', Springer Science, New York (1969). ISBN 978-0-387-90201-0. </ref>

: <math> ds^2 = (c + gz/c)^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 </math>

Første ledd blir her null for ''z'' = - ''c''<sup>2</sup>/''g&thinsp;'' som igjen signaliserer eksistensen av en horisont.

De geodetiske ligningene i ''x-'' og ''y''-retning blir trivielle, noe som viser at de ikke er direkte påvirket av tyngdefeltet. Derimot i ''z''-retning er energien

: <math> E = {1\over 2}\Big(c + gz/c\Big)^2\dot{t}^2 -  {1\over 2}\dot{z}^2.   </math>

Da den er uavhengig av tiden ''t'', er <math> \partial E/\partial\dot{t} = \dot{t}(c + gz/c)^2 = </math> konstant. Den geodetiske ligningen for koordinaten ''z&thinsp;'' kan nå omskrives til

: <math> {d\over dt}\left[\left({1\over 1 + gz/c^2}{dz\over dt}\right)^2\right] = - {g\over 1 + gz/c^2}  </math>

Ved å innføre <math> u = 1/(1 + gz/c^2) </math> som ny variable, tar denne ligningen en enklere form som direkte lar seg integrere. Den generelle løsningen for den geodetiske linjen blir da 

: <math> \Big(1 + {gz\over c^2}\Big)\cosh {g\over c}(t - t_0) = K </math>

hvor <math> t_0 </math> og <math> K </math> er integrasjonskonstanter. De avhenger av grensebetingelsene. Men uansett hvordan disse er, vil en partikkel i dette tyngdefeltet bli drevet mot horisonten {{nowrap|''z'' {{=}} - ''c''<sup>2</sup>/''g&thinsp;''}} når tiden {{nowrap|''t'' &rarr; &infin;}}. På den måten har metrikken visse likheter med et sort hull.

I den ikke-relativistsiske grensen hvor ''t'' - ''t''<sub>0</sub> << ''c''/''g'' forenkles denne løsningen av geodetiske ligningen til

: <math> z = - {1\over 2}gt^2 + v_0t + z_0 </math>

hvor ''v''<sub>0</sub>&thinsp; og ''z''<sub>0</sub>&thinsp; kan uttrykkes ved konstantene ''K&thinsp;'' og ''t''<sub>0</sub>. Dette viser den vanlige [[parabel]]banen som er karakteristisk for [[bevegelsesligning|fritt fall]] i et konstant gravitasjonsfelt.